Формула Саймонса

Математическая формула

В математической области дифференциальной геометрии формула Саймонса (также известная как тождество Саймонса , а в некоторых вариантах как неравенство Саймонса ) является фундаментальным уравнением в изучении минимальных подмногообразий . Она была открыта Джеймсом Саймонсом в 1968 году. ^[1] Её можно рассматривать как формулу для лапласиана второй фундаментальной формы риманова подмногообразия . Её часто цитируют и используют в менее точной форме формулы или неравенства для лапласиана длины второй фундаментальной формы.

В случае гиперповерхности M евклидова пространства формула утверждает, что

${\displaystyle \Delta h=\operatorname {Hess} H+Hh^{2}-|h|^{2}h,}$

где, относительно локального выбора единичного нормального векторного поля, h — вторая фундаментальная форма , H — средняя кривизна , а h ² — симметричный 2-тензор на M, заданный как h²
_ij= g ^pq h _ip h _qj . ^[2] Это имеет следствием то, что

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\Delta |h|^{2}=|\nabla h|^{2}-|h|^{4}+\langle h,\operatorname {Hess} H\rangle +H\operatorname {tr} (A^{3})}$

где A — оператор формы . ^[3] В этом случае вывод особенно прост:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta h_{ij}&=\nabla ^{p}\nabla _{p}h_{ij}\\&=\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{jp}\\&=\nabla _{i}\nabla ^{p}h_{jp}-{{R^{p}}_{ij}}^{q}h_{qp}-{{R^{p}}_{ip}}^{q}h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-(h^{pq}h_{ij}-h_{j}^{p}h_{i}^{q})h_{qp}-(h^{pq}h_{ip}-Hh_{i}^{q})h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-|h|^{2}h+Hh^{2};\end{aligned}}}$

единственными задействованными инструментами являются уравнение Кодацци (равенства № 2 и 4), уравнение Гаусса (равенство № 4) и коммутационное тождество для ковариантного дифференцирования (равенство № 3). Более общий случай гиперповерхности в римановом многообразии требует дополнительных членов, связанных с тензором кривизны Римана . ^[4] В еще более общем случае произвольной коразмерности формула включает сложный многочлен во второй фундаментальной форме. ^[5]

Ссылки

Сноски

1. Саймонс 1968, Раздел 4.2.
2. Хейскен 1984, Лемма 2.1(i).
3. Саймон 1983, Лемма B.8.
4. Хейскен 1986.
5. Саймонс 1968, раздел 4.2; Черн, ду Кармо и Кобаяши 1970.

Книги

• Тобиас Холк Колдинг и Уильям П. Миникоцци, II. Курс минимальных поверхностей. Аспирантура по математике, 121. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2011. xii+313 стр. ISBN  978-0-8218-5323-8
• Энрико Джусти. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. Монографии по математике, 80. Birkhäuser Verlag, Базель, 1984. xii+240 стр. ISBN 0-8176-3153-4 
• Леон Саймон. Лекции по геометрической теории меры. Труды Центра математического анализа, Австралийский национальный университет, 3. Австралийский национальный университет, Центр математического анализа, Канберра, 1983. vii+272 стр. ISBN 0-86784-429-9 

Статьи

• SS Chern, M. do Carmo и S. Kobayashi. Минимальные подмногообразия сферы со второй фундаментальной формой постоянной длины. Functional Analysis and Related Fields (1970), 59–75. Труды конференции в честь профессора Маршалла Стоуна, состоявшейся в Чикагском университете, май 1968 г. Springer, Нью-Йорк. Под редакцией Феликса Э. Браудера. doi :10.1007/978-3-642-48272-4_2
• Герхард Хейскен. Течение средней кривизны выпуклых поверхностей в сферы. Дж. Дифференциальная геометрия. 20 (1984), вып. 1, 237–266. дои : 10.4310/jdg/1214438998
• Герхард Хейскен. Стягивание выпуклых гиперповерхностей в римановых многообразиях по их средней кривизне. Invent. Math. 84 (1986), № 3, 463–480. doi :10.1007/BF01388742
• Джеймс Саймонс. Минимальные многообразия в римановых многообразиях. Ann. of Math. (2) 88 (1968), 62–105. doi :10.2307/1970556