Курс анализа

Основополагающий учебник 1821 года

Титульный лист

Курс анализа Королевской политехнической школы; Я вечеринка. «Алгебрический анализ» (« Курс анализа » на английском языке) - это оригинальный учебник по исчислению бесконечно малых , опубликованный Огюстеном-Луи Коши в 1821 году. В описании своего содержания статья следует переводу Брэдли и Сандифера.

Введение

На странице 1 Введения Коши пишет: «Говоря о непрерывности функций , я не мог обойтись без рассмотрения основных свойств бесконечно малых величин, свойств, которые служат основой исчисления бесконечно малых». Переводчики комментируют в сноске: «Интересно, что Коши не упоминает здесь также и пределы » .

Коши продолжает: «Что касается методов, я стремился придать им всю строгость , которую требуют от геометрии , так что никогда не нужно полагаться на аргументы, выведенные из общности алгебры ».

Предварительные

На странице 6 Коши сначала обсуждает переменные величины, а затем вводит понятие предела в следующих терминах: «Когда значения, последовательно приписываемые определенной переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению таким образом, что в конечном итоге отличаются от него настолько мало, насколько мы желаем, то это фиксированное значение называется пределом всех других значений».

На странице 7 Коши определяет бесконечно малую величину следующим образом: «Когда последовательные числовые значения такой переменной бесконечно уменьшаются, таким образом, что становятся ниже любого заданного числа, эта переменная становится тем, что мы называем бесконечно малой , или бесконечно малой величиной ». Коши добавляет: «Переменная такого рода имеет своим пределом ноль».

На странице 10 Брэдли и Сэндифер путают обращенный косинус с покрытым синусом . Коши изначально определил синус против ( версинус ) как siv( θ ) = 1  − cos( θ ), а косинус против (то, что теперь также известно как coversine ) как cosiv( θ ) = 1  − sin( θ ). Однако в переводе косинус против (и cosiv) неправильно связаны с обращенным косинусом (то, что теперь также известно как vercosine ), а не с покрытым синусом .

Обозначение

лим

вводится на странице 12. Переводчики отмечают в сноске: «Обозначение «Lim.» для предела впервые использовал Симон Антуан Жан Люлье (1750–1840) в [L'Huilier 1787, стр. 31]. Коши записал это как «lim.» в [Cauchy 1821, стр. 13]. Точка исчезла к [Cauchy 1897, стр. 26]».

Глава 2

Эта глава имеет длинное название «О бесконечно малых и бесконечно больших величинах и о непрерывности функций. Особые значения функций в различных частных случаях». На странице 21 Коши пишет: «Мы говорим, что переменная величина становится бесконечно малой , когда ее численное значение бесконечно уменьшается таким образом, что стремится к предельному нулю». На той же странице мы находим единственный явный пример такой переменной, который можно найти у Коши, а именно

${\displaystyle {\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{7}},\ldots }$

На странице 22 Коши начинает обсуждение порядков величин бесконечно малых следующим образом: «Пусть будет бесконечно малой величиной, то есть переменной, численное значение которой бесконечно уменьшается. Когда различные целые степени , а именно ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots }$

входят в тот же расчет, эти различные мощности называются соответственно бесконечно малыми первого , второго , третьего порядка и т. д. Коши отмечает, что «общая форма бесконечно малых величин порядка n (где n представляет собой целое число) будет

${\displaystyle k\alpha ^{n}\quad {}}$ или по крайней мере . ${\displaystyle {}\quad k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon )}$

На страницах 23–25 Коши излагает восемь теорем о свойствах бесконечно малых величин различных порядков.

Раздел 2.2

Этот раздел называется «Непрерывность функций». Коши пишет: «Если, начиная со значения x, заключенного между этими пределами, мы прибавляем к переменной x бесконечно малое приращение , то сама функция увеличивается на разность ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$"

и заявляет, что

«функция f ( x ) является непрерывной функцией x между заданными пределами, если для каждого значения x между этими пределами численное значение разности неограниченно уменьшается с числовым значением ». ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Далее Коши дает курсивное определение непрерывности в следующих терминах:

« Функция f ( x ) непрерывна по x в заданных пределах, если в этих пределах бесконечно малое приращение переменной всегда производит бесконечно малое приращение самой функции » .

На странице 32 Коши формулирует теорему о промежуточном значении .

Теорема суммы

В теореме I в разделе 6.1 (стр. 90 в переводе Брэдли и Сэндифера) Коши представляет теорему о сумме в следующих терминах.

Когда различные члены ряда (1) являются функциями одной и той же переменной x, непрерывными относительно этой переменной в окрестности определенного значения, для которого ряд сходится, то сумма s ряда также является непрерывной функцией x в окрестности этого определенного значения.

Здесь серия (1) появляется на странице 86: (1) ${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},u_{n+1},\ldots }$

Библиография

• Коши, Огюстен-Луи (1821). «Алгебрический анализ». Курс анализа королевской политехнической школы . Том. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi . Проверено 7 ноября 2015 г.* Бесплатная версия на archive.org
• Брэдли, Роберт Э.; Сэндифер, К. Эдвард (14.01.2010) [2009]. Бухвальд, Дж. З. (ред.). «Cours d'analyse» Коши: аннотированный перевод. Коши, Огюстен-Луи . Springer Science+Business Media, LLC . стр. 10, 285. doi :10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN  2009932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . Получено 2015-11-09 .
• Грабинер, Джудит В. (1981). Истоки строгого исчисления Коши . Кембридж: MIT Press. ISBN 0-387-90527-8.