Динамическая теория электромагнитного поля

Статья Джеймса Максвелла по физике 1865 года.

« Динамическая теория электромагнитного поля » — это статья Джеймса Клерка Максвелла об электромагнетизме , опубликованная в 1865 году . ^[1] В этой статье Максвелл выводит уравнение электромагнитной волны со скоростью света, близко согласующейся с измерениями, сделанными экспериментально: и приходит к выводу, что свет — это электромагнитная волна.

Публикация

Следуя стандартной для того времени процедуре, документ был впервые зачитан Королевскому обществу 8 декабря 1864 года, а Максвелл отправил его обществу 27 октября. Затем он прошел рецензирование и был отправлен Уильяму Томсону (позже лорду Кельвину ) 24 декабря 1864 года. ^[2] Затем 23 марта 1865 года он был отправлен Джорджу Габриэлю Стоксу , секретарю Общества по физическим наукам. Он был одобрен для публикации в «Философские труды Королевского общества» от 15 июня 1865 года Комитетом по документам (по сути, управляющим советом общества) и отправлены в типографию на следующий день (16 июня). В этот период «Философские труды» публиковались в переплете только один раз в год ^[3] и должны были быть подготовлены к юбилейному дню общества 30 ноября (точная дата не указана). Однако типография должна была подготовить и доставить Максвеллу отпечатки, чтобы автор мог распространять их по своему желанию вскоре после 16 июня.

Оригинальные уравнения Максвелла

В части III статьи, озаглавленной «Общие уравнения электромагнитного поля», Максвелл сформулировал двадцать уравнений ^[1] , которые впоследствии стали известны как уравнения Максвелла , пока этот термин не стал применяться вместо векторизованного набора из четырех уравнений, выбранных в 1884 г., которые появились в его статье 1861 г. « О физических силовых линиях ». ^[4]

Версии уравнений Максвелла, предложенные Хевисайдом, отличаются тем, что они записаны в современной векторной записи . На самом деле они содержат только одно из исходных восьми — уравнение «G» ( закон Гаусса ). Другое из четырех уравнений Хевисайда представляет собой объединение закона полных токов Максвелла (уравнение «А») с законом цепи Ампера (уравнение «С»). Это объединение, которое сам Максвелл фактически первоначально осуществил в уравнении (112) в «О физических силовых линиях», является тем, которое модифицирует круговой закон Ампера, включив в него ток смещения Максвелла . ^[4]

Уравнения Хевисайда

Восемнадцать из двадцати исходных уравнений Максвелла можно векторизовать в шесть уравнений, обозначенных ниже от (A) до (F), каждое из которых представляет собой группу из трех исходных уравнений в виде компонентов . 19-е и 20-е уравнения-компоненты Максвелла обозначены как (G) и (H) ниже, что в общей сложности составляет восемь векторных уравнений. Они перечислены ниже в первоначальном порядке Максвелла и обозначены буквами, которые Максвелл присвоил им в своей статье 1864 года. ^[5]

(А)Закон полных токов

${\displaystyle \mathbf {J} _{\rm {tot}}=}$ ${\displaystyle \,\mathbf {J} }$ ${\displaystyle +\,{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

(Б)Определение магнитного потенциала

${\displaystyle \mu \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} }$

(С) Круговой закон Ампера

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\rm {tot}}}$

(Д)Сила Лоренца и закон индукции Фарадея.

${\displaystyle \mathbf {f} =\mu (\mathbf {v} \times \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }$

(Е)Уравнение электрической упругости

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {1}{\varepsilon }}\mathbf {D} }$

(Ф) Закон Ома

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {1}{\sigma }}\mathbf {J} }$

(Г) Закон Гаусса

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$

(ЧАС)Уравнение непрерывности заряда

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,}$.

Обозначения

${\displaystyle \mathbf {H} }$– это магнитное поле , которое Максвелл назвал « напряжённостью магнитного поля ».

${\displaystyle \mathbf {J} }$— плотность электрического тока (где это общая плотность тока, включая ток смещения ). ${\displaystyle \mathbf {J} _{\rm {tot}}}$

${\displaystyle \mathbf {D} }$— поле смещения (названное Максвеллом « электрическим смещением »).

${\displaystyle \rho }$— плотность свободного заряда ( Максвелл назвал ее « количеством свободного электричества »).

${\displaystyle \mathbf {A} }$— магнитный потенциал (названный Максвеллом « угловым импульсом »).

${\displaystyle \mathbf {f} }$— это сила, приходящаяся на единицу заряда (названная Максвеллом « электродвижущей силой », не путать со скалярной величиной, которая теперь называется электродвижущей силой ; см. ниже).

${\displaystyle \phi }$— электрический потенциал (который Максвелл также называл « электрическим потенциалом »).

${\displaystyle \sigma }$— электропроводность (Максвелл называл обратную проводимость « удельным сопротивлением », то, что сейчас называется удельным сопротивлением ).

${\displaystyle \nabla }$— векторный оператор del .

Разъяснения

Максвелл не рассматривал вполне общие материалы; в его первоначальной формулировке использовались линейные , изотропные , недисперсионные среды с диэлектрической проницаемостью ϵ и проницаемостью μ , хотя он также обсуждал возможность анизотропных материалов.

Закон Гаусса для магнетизма ( ∇⋅  B = 0 ) не включен в приведенный выше список, но следует непосредственно из уравнения (B) путем взятия дивергенций (поскольку дивергенция ротора равна нулю).

Подстановка (А) в (С) дает знакомую дифференциальную форму закона Максвелла-Ампера .

Уравнение (D) неявно содержит закон силы Лоренца и дифференциальную форму закона индукции Фарадея . Для статического магнитного поля исчезает, а электрическое поле E становится консервативным и определяется как −∇ φ , так что (D) сводится к ${\displaystyle \partial \mathbf {A} /\partial t}$

${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,}$.

Это просто закон силы Лоренца, рассчитанный на единицу заряда, хотя уравнение Максвелла (D) впервые появилось в виде уравнения (77) в книге «О физических силовых линиях» в 1861 году, [ ^4] за 34 года до того, как Лоренц вывел свою силу. закон, который сейчас обычно представляют как дополнение к четырем « уравнениям Максвелла ». Член перекрестного произведения в законе силы Лоренца является источником так называемой ЭДС движения в электрических генераторах (см. Также задачу о подвижном магните и проводнике ). Там, где нет движения через магнитное поле — например, в трансформаторах — мы можем опустить член векторного произведения, и сила на единицу заряда (называемая f ) сводится к электрическому полю E , так что уравнение Максвелла (D) сводится к

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi \,}$.

Взяв завитки и заметив, что ротор градиента равен нулю, получим

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} \,=\,-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,=\,-{\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}\nabla \times \mathbf {A} {\big )}\,=\,-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,}$

что является дифференциальной формой закона Фарадея . Таким образом, три члена в правой части уравнения (D) могут быть описаны слева направо как член движения, член преобразователя и консервативный член.

При выводе уравнения электромагнитной волны Максвелл рассматривает ситуацию только из системы покоя среды и, соответственно, опускает член векторного произведения. Но он по-прежнему работает на основе уравнения (D), в отличие от современных учебников, которые имеют тенденцию основываться на законе Фарадея (см. ниже).

Определяющие уравнения (E) и (F) теперь обычно записываются в системе покоя среды как D  = ϵ E  и J  = σ E  .

Уравнение Максвелла (G), рассматриваемое отдельно и напечатанное в статье 1864 года, на первый взгляд утверждает, что ‍ ρ + ∇⋅  D = 0 . Однако, если мы проследим знаки двух предыдущих троек уравнений, мы увидим, что то, что кажется компонентами D , на самом деле является компонентами  − D . Обозначения, используемые в более позднем «Трактате об электричестве и магнетизме» Максвелла , отличаются и позволяют избежать обманчивого первого впечатления. ^[6]

Максвелл – электромагнитная световая волна

Отец электромагнитной теории

Открытка от Максвелла Питеру Тейту

В части VI «Динамической теории электромагнитного поля» ^[1] с подзаголовком «Электромагнитная теория света» ^[7] Максвелл использует поправку к круговому закону Ампера, сделанную в части III его статьи 1862 года «О физических линиях света». Force», ^[4] который определяется как ток смещения , для вывода уравнения электромагнитной волны .

Он получил волновое уравнение со скоростью, близкой к экспериментальным определениям скорости света. Он прокомментировал:

Совпадение результатов, кажется, показывает, что свет и магнетизм — это явления одного и того же вещества и что свет — это электромагнитное возмущение, распространяющееся через поле в соответствии с электромагнитными законами.

Вывод Максвеллом уравнения электромагнитной волны был заменен в современной физике гораздо менее громоздким методом, который сочетает в себе исправленную версию закона циркуляции Ампера с законом электромагнитной индукции Фарадея.

Современные методы уравнений

Чтобы получить уравнение электромагнитной волны в вакууме с использованием современного метода, мы начнем с современной формы уравнений Максвелла «Хевисайда». Используя (единицы СИ) в вакууме, эти уравнения имеют вид

Если мы возьмем ротор из уравнений ротора, мы получим

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {H} =-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}}$

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {H} =\varepsilon _{o}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} =-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}}$

Если отметить векторное тождество

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }$

где – любая векторная функция пространства, восстанавливаем волновые уравнения ${\displaystyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}\ -\ c^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {E} \ \ =\ \ 0}$

${\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}\ -\ c^{2}\cdot \nabla ^{2}\mathbf {H} \ \ =\ \ 0}$

где

${\displaystyle c={1 \over {\sqrt {\mu _{o}\varepsilon _{o}}}}=2.99792458\times 10^{8}}$метры в секунду

это скорость света в свободном пространстве.

Наследие и влияние

Об этой статье и связанных с ней работах Максвелла коллега-физик Ричард Фейнман сказал: «При взгляде на историю человечества в долгосрочной перспективе, скажем, через 10 000 лет, не может быть никаких сомнений в том, что самое значительное событие XIX века произойдет. можно рассматривать как открытие Максвеллом законов электромагнетизма».

Альберт Эйнштейн использовал уравнения Максвелла в качестве отправной точки для своей специальной теории относительности , представленной в «Электродинамике движущихся тел» , одной из статей Эйнштейна « Annus Mirabilis» 1905 года . В нем указано:

одни и те же законы электродинамики и оптики будут справедливы для всех систем отсчета, для которых справедливы уравнения механики.

и

Любой луч света движется в «стационарной» системе координат с определенной скоростью с, испускается ли луч неподвижным или движущимся телом.

Уравнения Максвелла также могут быть получены путем распространения общей теории относительности на пять физических измерений .

Смотрите также

• Трактат об электричестве и магнетизме
• Калибровочная теория

Рекомендации

1. Максвелл, Джеймс Клерк (1865). «Динамическая теория электромагнитного поля». Философские труды Лондонского королевского общества . 155 : 459–512. дои : 10.1098/rstl.1865.0008. ОЛ  25533062М. S2CID  186207827. (Документ прочитан на заседании Королевского общества 8 декабря 1864 г.).
2. Архивы Королевского общества; реестр документов
3. royalsociety.org
4. Максвелл, Джеймс Клерк (1861). «О физических силовых линиях» (PDF) . Философский журнал .
5. См. Тай, Чен-То (1972), «О представлении теории Максвелла» (приглашенный доклад), Proceedings of the IEEE   60  (8): 936–45.
6. Максвелл, Джеймс Клерк (1873). Трактат об электричестве и магнетизме . Оксфорд: Кларендон Пресс. Том. II , стр.‍233, экв. ‍ ( Дж ). 
7. Динамическая теория электромагнитного поля / Часть VI

дальнейшее чтение

• Максвелл, Джеймс С.; Торранс, Томас Ф. (март 1996 г.). Динамическая теория электромагнитного поля . Юджин, Орегон: Wipf and Stock. ISBN 1-57910-015-5.
• Нивен, WD (1952). Научные статьи Джеймса Клерка Максвелла . Том. 1. Нью-Йорк: Дувр.
• Джонсон, Кевин (май 2002 г.). «Электромагнитное поле». Джеймс Клерк Максвелл – Великое Неизвестное . Архивировано из оригинала 15 сентября 2008 года . Проверено 7 сентября 2009 г.
• Дарригол, Оливье (2000). Электромагнетизм от Ампера до Эйнштейна. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198505945
• Кац, Рэнди Х. (22 февраля 1997 г.). «'Смотри, мама, никаких проводов': Маркони и изобретение радио». История коммуникационных инфраструктур . Проверено 7 сентября 2009 г.