Этальный топос

В математике этальный топос схемы X — это категория всех этальных пучков на X. Этальный пучок — это пучок на этальном сайте X.

Определение

Пусть X — схема. Этальным покрытием X называется семейство , где каждое является этальным морфизмом схем, такое, что семейство является совместно сюръективным , т.е. . ${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to X\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}(U_{i})}$

Категория Ét( X ) является категорией всех этальных схем над X . Совокупность всех этальных покрытий этальной схемы U над X , т.е. объекта из Ét( X ) , определяет предтопологию Гротендика на Ét( X ) , которая в свою очередь индуцирует топологию Гротендика , этальную топологию на X . Категория вместе с этальной топологией на ней называется этальным сайтом на X .

Этальный топос схемы X — это категория всех пучков множеств на сайте Ét( X ). Такие пучки называются этальными пучками на X . Другими словами, этальный пучок — это ( контравариантный ) функтор из категории Ét( X ) в категорию множеств, удовлетворяющий следующей аксиоме пучка: ${\displaystyle X^{\text{ét}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Для каждого этала U над X и каждого этала покрытия U последовательность ${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to U\}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}(U)\to \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j\in I}{\mathcal {F}}(U_{ij})}$

является точным, где . ${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{U}U_{j}}$