ε-квадратичная форма

Математическая концепция

В математике , в частности в теории квадратичных форм , ε- квадратичная форма является обобщением квадратичных форм на кососимметричные настройки и на *-кольца ; ε = ±1 , соответственно для симметричных или кососимметричных. Их также называют -квадратичными формами, особенно в контексте теории хирургии . ${\displaystyle (-)^{n}}$

Существует связанное понятие ε -симметричных форм , которое обобщает симметричные формы , кососимметричные формы (= симплектические формы ), эрмитовы формы и косоэрмитовы формы . Более кратко можно назвать квадратичные, косоквадратичные, симметричные и кососимметричные формы, где «косой» означает (−), а * (инволюция) подразумевается.

Теория является 2-локальной: вдали от 2 ε- квадратичные формы эквивалентны ε- симметричным формам: половина отображения симметризации (ниже) дает явный изоморфизм.

Определение

ε -симметричные формы и ε- квадратичные формы определяются следующим образом. ^[1]

Для данного модуля M над *-кольцом R пусть B ( M ) будет пространством билинейных форм на M , и пусть T  : B ( M ) → B ( M ) будет " сопряженно-транспонированной " инволюцией B ( u , v ) ↦ B ( v , u )* . Поскольку умножение на −1 также является инволюцией и коммутирует с линейными отображениями, − T также является инволюцией. Таким образом, мы можем записать ε = ±1 и εT является инволюцией, либо T , либо − T (ε может быть более общим, чем ±1; см. ниже). Определим ε -симметричные формы как инварианты εT , а ε -квадратичные формы являются коинвариантами .

Как точная последовательность,

${\displaystyle 0\to Q^{\varepsilon }(M)\to B(M){\stackrel {1-\varepsilon T}{\longrightarrow }}B(M)\to Q_{\varepsilon }(M)\to 0}$

Как ядро ​​и коядро ,

${\displaystyle Q^{\varepsilon }(M):={\mbox{ker}}\,(1-\varepsilon T)}$

${\displaystyle Q_{\varepsilon }(M):={\mbox{coker}}\,(1-\varepsilon T)}$

Обозначения Q ^ε ( M ), Q _ε ( M ) следуют стандартным обозначениям M ^G , M _G для инвариантов и коинвариантов для группового действия , в данном случае группы порядка 2 (инволюции).

Композиция отображений включения и факторизации (но не 1 − εT ) при этом дает отображение Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ): каждая ε -симметричная форма определяет ε -квадратичную форму. ${\displaystyle Q^{\varepsilon }(M)\to B(M)\to Q_{\varepsilon }(M)}$

Симметризация

Наоборот, можно определить обратный гомоморфизм "1 + εT ": Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) , называемый отображением симметризации (так как он дает симметричную форму), взяв любой лифт квадратичной формы и умножив его на 1 + εT . Это симметричная форма, потому что (1 − εT )(1 + εT ) = 1 − T ² = 0 , поэтому она находится в ядре. Точнее, . Отображение хорошо определяется тем же уравнением: выбор другого лифта соответствует добавлению кратного (1 − εT ) , но это исчезает после умножения на 1 + εT . Таким образом, каждая ε -квадратичная форма определяет ε -симметричную форму. ${\displaystyle (1+\varepsilon T)B(M)<Q^{\varepsilon }(M)}$

Составление этих двух отображений любым способом: Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) или Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ) дает умножение на 2, и, таким образом, эти отображения являются биективными, если 2 обратимо в R , причем обратное получается умножением на 1/2.

ε - квадратичная форма ψ ∈ Q _ε ( M ) называется невырожденной, если соответствующая ей ε -симметричная форма (1 + εT )( ψ ) невырождена.

Обобщение из *

Если * тривиален, то ε = ±1 , а «вдали от 2» означает , что 2 обратим: 1/2 ∈ R.

В более общем случае можно взять для ε ∈ R любой элемент такой, что ε * ε = 1. ε = ±1 всегда удовлетворяет этому условию, но то же самое относится и к любому элементу нормы 1, например, к комплексным числам единичной нормы.

Аналогично, при наличии нетривиального *, ε -симметричные формы эквивалентны ε -квадратичным формам, если существует элемент λ ∈ R, такой что λ * + λ = 1. Если * тривиален, это эквивалентно 2 λ = 1 или λ = 1/2 , тогда как если * нетривиален, то может быть несколько возможных λ ; например, над комплексными числами любое число с действительной частью 1/2 является таким λ .

Например, в кольце (целочисленной решетке для квадратичной формы 2 x ² − 2 x + 1 ) с комплексным сопряжением таких элементов два, хотя 1/2 ∉ R . ${\displaystyle R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]}$ ${\displaystyle \lambda =\textstyle {\frac {1\pm i}{2}}}$

Интуиция

В терминах матриц (мы считаем V двумерным), если * тривиально:

• матрицы соответствуют билинейным формам ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$
• подпространство симметричных матриц соответствует симметричным формам ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}}$
• подпространство (−1)-симметричных матриц соответствует симплектическим формам ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}}}$
• билинейная форма дает квадратичную форму ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cyx+dy^{2}=ax^{2}+(b+c)xy+dy^{2}\,}$,

• отображение 1 + T из квадратичных форм в симметричные формы maps ${\displaystyle ex^{2}+fxy+gy^{2}}$

до , например, путем подъема до и последующего добавления к транспонированию. Отображение обратно в квадратичные формы дает удвоение исходного: . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2e&f\\f&2g\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}e&f\\0&g\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle 2ex^{2}+2fxy+2gy^{2}=2(ex^{2}+fxy+gy^{2})}$

Если — комплексное сопряжение, то ${\displaystyle {\bar {\cdot }}}$

• подпространство симметричных матриц — это эрмитовы матрицы ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&z\\{\bar {z}}&c\end{pmatrix}}}$
• подпространство кососимметричных матриц — это косоэрмитовы матрицы ${\displaystyle {\begin{pmatrix}bi&z\\-{\bar {z}}&di\end{pmatrix}}}$

Уточнения

Интуитивный способ понять ε -квадратичную форму — это рассматривать ее как квадратичное уточнение связанной с ней ε -симметричной формы.

Например, при определении алгебры Клиффорда над общим полем или кольцом, тензорная алгебра факторизуется по соотношениям, вытекающим из симметрической формы и квадратичной формы: vw + wv = 2 B ( v , w ) и . Если 2 обратимо, это второе соотношение следует из первого (поскольку квадратичная форма может быть восстановлена ​​из соответствующей билинейной формы), но при 2 это дополнительное уточнение необходимо. ${\displaystyle v^{2}=Q(v)}$

Примеры

Простым примером ε -квадратичной формы является стандартная гиперболическая ε -квадратичная форма . (Здесь R * := Hom _R ( R , R ) обозначает дуальный R -модуль R .) Она задается билинейной формой . Стандартная гиперболическая ε -квадратичная форма необходима для определения L -теории . ${\displaystyle H_{\varepsilon }(R)\in Q_{\varepsilon }(R\oplus R^{*})}$ ${\displaystyle ((v_{1},f_{1}),(v_{2},f_{2}))\mapsto f_{2}(v_{1})}$

Для поля из двух элементов R = F ₂ нет разницы между (+1)-квадратичными и (−1)-квадратичными формами, которые просто называются квадратичными формами . Инвариант Арфа невырожденной квадратичной формы над F ₂ является F ₂ -значным инвариантом с важными приложениями как в алгебре, так и в топологии и играет роль, аналогичную той, которую играет дискриминант квадратичной формы в характеристике , не равной двум.

Коллекторы

Свободная часть средней группы гомологий (с целыми коэффициентами) ориентированного четномерного многообразия имеет ε -симметричную форму, через двойственность Пуанкаре , форму пересечения . В случае однократно четной размерности 4 k + 2 это кососимметрично, тогда как для дважды четной размерности 4 k это симметрично. Геометрически это соответствует пересечению, где два n /2-мерных подмногообразия в n -мерном многообразии пересекаются в общем виде в 0-мерном подмногообразии (множестве точек) путем добавления коразмерности . Для однократно четной размерности порядок меняет знак, тогда как для дважды четной размерности порядок не меняет знак, отсюда и ε -симметрия. Простейшими случаями являются произведения сфер, где произведения S ^{2 k} × S ^{2 k} и S ^{2 k +1} × S ^{2 k +1} соответственно дают симметричную и кососимметричную формы. В размерности два это дает тор, а взятие связной суммы g торов дает поверхность рода g , средняя гомология которой имеет стандартную гиперболическую форму. ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right).}$

С дополнительной структурой эта ε- симметричная форма может быть уточнена до ε -квадратичной формы. Для дважды четного измерения это целочисленное значение, тогда как для одинарного четного измерения это определено только с точностью до четности и принимает значения в Z /2. Например, для заданного фреймового многообразия можно произвести такое уточнение. Для одинарного четного измерения инвариант Арфа этой косоквадратичной формы является инвариант Кервера .

Если задана ориентированная поверхность Σ, вложенная в R ³ , средняя группа гомологий H ₁ (Σ) несет не только кососимметричную форму (через пересечение), но и косоквадратичную форму, которую можно рассматривать как квадратичное измельчение, посредством самосвязывания. Кососимметричная форма является инвариантом поверхности Σ, тогда как косоквадратичная форма является инвариантом вложения Σ ⊂ R ³ , например, для поверхности Зейферта узла . Инвариант Арфа косоквадратичной формы является инвариантом оснащенного кобордизма , порождающим первую стабильную гомотопическую группу . ${\displaystyle \pi _{1}^{s}}$

В стандартном вложении тора кривая (1, 1) самозацепляется, поэтому Q (1, 1) = 1 .

Для стандартного вложенного тора кососимметричная форма задается как (относительно стандартного симплектического базиса ), а косоквадратичное измельчение задается как xy относительно этого базиса: Q (1, 0) = Q (0, 1) = 0 : базисные кривые не самозацепляются; и Q (1, 1) = 1 : a (1, 1) самозацепляется, как в расслоении Хопфа . (Эта форма имеет инвариант Арфа 0, и, таким образом, этот вложенный тор имеет инвариант Кервера 0.) ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right)}$

Приложения

Ключевое применение — в теории алгебраической хирургии , где даже L-группы определяются как группы Витта ε -квадратичных форм , по CTCWall

Ссылки

1. Раницки, Эндрю (2001). «Основы алгебраической хирургии». arXiv : math/0111315 .