Неописуемый кардинал

Большое количественное числительное, которое трудно описать на данном языке

В теории множеств , разделе математики, Q-неописуемый кардинал — это определенный вид большого кардинального числа, которое трудно аксиоматизировать в некотором языке Q. Существует много различных типов неописуемых кардиналов, соответствующих различным вариантам языков Q. Они были введены Ханфом и Скоттом (1961).

Кардинальное число называется -indescribable, если для каждого предложения и множества с существует с . ^[1] Следуя иерархии Леви , здесь рассматриваются формулы с m-1 чередованиями кванторов, при этом самый внешний квантор является универсальным. -indescribable кардиналы определяются аналогичным образом, но с самым внешним квантором существования. Перед определением структуры в язык теории множеств добавляется один новый предикатный символ, который интерпретируется как . ^[2] Идея заключается в том, что не может быть отличим (глядя снизу) от меньших кардиналов никакой формулой логики n+1-го порядка с m-1 чередованиями кванторов даже с преимуществом дополнительного унарного предикатного символа (для A). Это подразумевает, что он большой, поскольку это означает, что должно быть много меньших кардиналов с похожими свойствами. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{m}^{n}}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A\subseteq V_{\kappa }}$ ${\displaystyle (V_{\kappa +n},\in ,A)\vDash \phi }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha +n},\in ,A\cap V_{\alpha })\vDash \phi }$ ${\displaystyle \Sigma _{m}^{n}}$ ${\displaystyle (V_{\kappa +n},\in ,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \kappa }$

Кардинальное число называется полностью неописуемым, если оно неописуемо для всех положительных целых чисел m и n . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{m}^{n}}$

Если — ординал, кардинальное число называется -неописуемым , если для каждой формулы и каждого подмножества из , такого, что выполняется в , существует некоторое такое, что выполняется в . Если — бесконечно, то -неописуемые ординалы полностью неописуемы, а если — конечно, то они совпадают с -неописуемыми ординалами. Не существует , которое является -неописуемым, и -неописуемость не обязательно подразумевает -неописуемость для любого , но есть альтернативное понятие проницательных кардиналов , которое имеет смысл, когда : если выполняется в , то существуют и такие, что выполняется в . ^[3] Однако возможно, что кардинал является -неописуемым для гораздо большего, чем . ^{[1] Гл. 9, теорема 4.3} ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \phi (U)}$ ${\displaystyle V_{\kappa +\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle \phi (U\cap V_{\lambda })}$ ${\displaystyle V_{\lambda +\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Pi _{\omega }^{\alpha }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \geq \kappa }$ ${\displaystyle \phi (U,\kappa )}$ ${\displaystyle V_{\kappa +\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \phi (U\cap V_{\lambda },\lambda )}$ ${\displaystyle V_{\lambda +\beta }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \pi }$

Историческая справка

Первоначально кардинал κ назывался Q-неописуемым, если для каждой Q-формулы и отношения , если тогда существует такое, что . ^{[4] [5]} Используя это определение, является -неописуемым тогда и только тогда, когда является регулярным и больше, чем . ^{[5] с.207} Кардиналы, удовлетворяющие приведенной выше версии, основанной на кумулятивной иерархии, назывались сильно Q-неописуемыми. ^[6] Это свойство также упоминалось как "ординальная -неописуемость". ^{[7] с.32} ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\kappa ,<,A)\vDash \phi }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (\alpha ,\in ,A\upharpoonright \alpha )\vDash \phi }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{0}^{1}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle Q}$

Эквивалентные условия

Кардинал является -неописуемым тогда и только тогда, когда он -неописуем. ^[8] Кардинал является недостижимым тогда и только тогда, когда он -неописуем для всех положительных целых чисел , что эквивалентно тогда и только тогда, когда он -неописуем, что эквивалентно, если он -неописуем. ${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$

${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$-неописуемые кардиналы - это то же самое, что и слабо компактные кардиналы .

Условие неописуемости эквивалентно удовлетворению принципа отражения (который доказуем в ZFC), но расширено за счет разрешения формул более высокого порядка со свободной переменной второго порядка. ^[8] ${\displaystyle V_{\kappa }}$

Для кардиналов говорят , что элементарное вложение является малым вложением, если транзитивно и . Для любого натурального числа является -неописуемым тогда и только тогда, когда существует такое , что для всех существует малое вложение, такое что . ^{[9] , Следствие 4.3} ${\displaystyle \kappa <\theta }$ ${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$ ${\displaystyle 1\leq n}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \alpha >\kappa }$ ${\displaystyle \theta >\alpha }$ ${\displaystyle j:M\to H_{\theta }}$ ${\displaystyle H({\textrm {crit}}(j)^{+})^{M}\prec _{\Sigma _{n}}H({\textrm {crit}}(j)^{+})}$

Если V=L , то для натурального числа n >0 несчетный кардинал равен Π¹
_н- неописуемо, если оно (n+1)-стационарно. ^[10]

Принудительные классы

Для класса ординалов и -неописуемого кардинала говорят, что он выполняется в (по некоторой формуле ) , если существует -формула и такой, что , но ни для какого с не выполняется. ^{[1] с.277} Это дает инструмент для демонстрации необходимых свойств неописуемых кардиналов. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A\subseteq V_{\kappa }}$ ${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,A)\vDash \phi }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \beta \notin X}$ ${\displaystyle (V_{\beta },\in ,A\cap V_{\beta })\vDash \phi }$

Характеристики

Свойство быть -indescribable имеет место над , т. е. существует предложение, которое удовлетворяет , если и только если является -indescribable. ^[11] Для свойство быть -indescribable имеет место , а свойство быть -indescribable имеет место . ^[11] Таким образом, для каждый кардинал, который является либо -indescribable, либо -indescribable, является как -indescribable, так и -indescribable, и множество таких кардиналов ниже него является стационарным. Сила согласованности -indescribable кардиналов ниже, чем -indescribable, но для согласуется с ZFC, что наименьшее -indescribable существует и находится выше наименьшего -indescribable кардинала (это доказывается из согласованности ZFC с -indescribable кардиналом и -indescribable кардиналом выше него). ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n+1}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$

Полностью неописуемые кардиналы остаются полностью неописуемыми в конструируемой вселенной и в других канонических внутренних моделях, и то же самое касается - и -неописуемости. ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{m}}$

Для натурального числа , если кардинал является -неописуемым, существует ординал такой, что , где обозначает элементарную эквивалентность . ^[12] Для этого есть биусловие (см. Две теоретико-модельные характеристики недоступности ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha +n},\in )\equiv (V_{\kappa +n},\in )}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle n=0}$

Измеримые кардиналы -неописуемы, но наименьший измеримый кардинал не -неописуем. Однако, предполагая выбор , существует много полностью неописуемых кардиналов ниже любого измеримого кардинала. ${\displaystyle \Pi _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{2}}$

Для , ZFC+"существует -неописуемый кардинал" равносогласовано с ZFC+"существует -неописуемый кардинал такой, что ", т.е. "GCH терпит неудачу при -неописуемом кардинале". ^[8] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$

Ссылки

• Ханф, WP; Скотт, DS (1961), «Классификация недоступных кардиналов», Notices of the American Mathematical Society , 8 : 445, ISSN  0002-9920
• Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с их истоков (2-е изд.). Springer. doi :10.1007/978-3-540-88867-3_2. ISBN 3-540-00384-3.

Цитаты

1. Drake, FR (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основаниям математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
2. Jech, Thomas (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer Monographs in Mathematics. стр. 295. doi :10.1007/3-540-44761-X. ISBN 3-540-44085-2.
3. М. Ратьен, «Высшая бесконечность в теории доказательств» (1995), стр. 20. Архивировано 14 января 2024 г.
4. К. Кунен, «Неописуемость и континуум» (1971). Появляется в Axiomatic Set Theory: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, т. 13 часть 1 , стр. 199--203
5. Azriel Lévy, "The Sizes of the Indescribable Cardinals" (1971). Появляется в Axiomatic Set Theory: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, т. 13 часть 1 , стр. 205--218
6. Рихтер, Уэйн; Ацель, Питер (1974). «Индуктивные определения и отражающие свойства допустимых ординалов». Исследования по логике и основаниям математики . 79 : 301–381. doi :10.1016/S0049-237X(08)70592-5. hdl : 10852/44063 .
7. W. Boos, «Лекции по большим кардинальным аксиомам». В Logic Conference , Киль 1974. Lecture Notes in Mathematics 499 (1975).
8. Хаузер, Кай (1991). «Неописуемые кардиналы и элементарные вложения». Журнал символической логики . 56 (2): 439–457. doi :10.2307/2274692. JSTOR  2274692.
9. Холи, Питер; Люкке, Филипп; Ньегомир, Ана (2019). «Малые вложенные характеристики для больших кардиналов». Annals of Pure and Applied Logic . 170 (2): 251–271. arXiv : 1708.06103 . doi : 10.1016/j.apal.2018.10.002 .
10. Багария, Джоан; Магидор, Менахем ; Сакаи, Хироши (2015). «Отражение и неописуемость в конструктивной вселенной». Israel Journal of Mathematics . 208 : 1–11. doi :10.1007/s11856-015-1191-7.
11. Kanamori, Akihiro (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с их истоков (2-е изд.). Springer. стр. 64. doi :10.1007/978-3-540-88867-3_2. ISBN 3-540-00384-3.
12. WN Reinhardt, «Теория множеств Аккермана равна ZF», стр. 234--235. Annals of Mathematical Logic т. 2, вып. 2 (1970).