Сигма-кольцо

Семейство множеств, замкнутых относительно счетных объединений

В математике непустая совокупность множеств называется 𝜎-кольцом (произносится как сигма-кольцо ), если она замкнута относительно счетного объединения и относительного дополнения .

Формальное определение

Пусть — непустой набор множеств . Тогда — 𝜎-кольцо, если: ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

1. Замкнуто относительно счетных союзов : если для всех ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. Закрыто относительно дополнения : если ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$

Характеристики

Эти два свойства подразумевают: всякий раз, когда есть элементы $${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Это потому что $${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=2}^{\infty }\left(A_{1}\setminus A_{n}\right).}$$

Каждое 𝜎-кольцо является δ-кольцом , но существуют δ-кольца, которые не являются 𝜎-кольцами.

Похожие концепции

Если первое свойство ослаблено до замыкания относительно конечного объединения (то есть, когда ), но не счетного объединения, то является кольцом , но не 𝜎-кольцом. ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Использует

𝜎-кольца можно использовать вместо 𝜎-полей (𝜎-алгебр) при разработке теории меры и интегрирования , если не требуется, чтобы универсальное множество было измеримым. Каждое 𝜎-поле также является 𝜎-кольцом, но 𝜎-кольцо не обязано быть 𝜎-полем.

𝜎-кольцо , являющееся набором подмножеств индуцирует 𝜎-поле для Define Then является 𝜎-полем над множеством - для проверки замкнутости относительно счетного объединения, напомним, что 𝜎-кольцо замкнуто относительно счетных пересечений. Фактически является минимальным 𝜎-полем, содержащим , поскольку оно должно содержаться в каждом 𝜎-поле, содержащем ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{E\subseteq X:E\in {\mathcal {R}}\ {\text{or}}\ E^{c}\in {\mathcal {R}}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Смотрите также

• δ- кольцо  – кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений
• Поле множеств  – алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Объединение (сигма-алгебра)  – Алгебраическая структура алгебры множествСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• 𝜆-система (система Дынкина)  – Семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений
• Измеримая функция  – Функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
• Монотонный класс  – теоремаСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерваСтраницы с краткими описаниями без пробелов
• π -система  – Семейство множеств, замкнутых относительно пересечения
• Кольцо множеств  – Семья, замкнутая относительно союзов и относительных дополнений
• Пространство выборки  – набор всех возможных результатов или исходов статистического испытания или эксперимента.
• 𝜎 аддитивность  – функция отображения
• σ-алгебра  – Алгебраическая структура алгебры множеств
• 𝜎-идеал  – Семья замкнута относительно подмножеств и счетных объединений

Ссылки

• Уолтер Рудин , 1976. Принципы математического анализа , 3-е изд. McGraw-Hill. Последняя глава использует 𝜎-кольца в развитии теории Лебега.