σ-конечная мера

Понятие в теории меры

В математике положительная (или знаковая ) мера μ, определенная на σ -алгебре Σ подмножеств множества X , называется конечной мерой, если μ ( X ) является конечным действительным числом (а не ∞). Множество A в Σ имеет конечную меру, если μ ( A ) < ∞ . Мера μ называется σ-конечной, если X является счетным объединением измеримых множеств, каждое из которых имеет конечную меру. Говорят, что множество в пространстве с мерой имеет σ -конечную меру , если оно является счетным объединением измеримых множеств с конечной мерой. σ-конечность меры является более слабым условием, чем конечность, т. е. все конечные меры являются σ-конечными, но существует (много) σ-конечных мер, которые не являются конечными.

Другое, но родственное понятие, которое не следует путать с σ-конечностью, — это s-конечность .

Определение

Пусть будет измеримое пространство и мера на нем . ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mu }$

Мера называется σ-конечной мерой, если она удовлетворяет одному из четырех следующих эквивалентных критериев: ${\displaystyle \mu }$

1. множество может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых множеств с конечной мерой. Это означает, что существуют множества с для всех , которые удовлетворяют . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu \left(A_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$
2. множество может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых непересекающихся множеств с конечной мерой. Это означает, что существуют множества с для всех и для , которые удовлетворяют . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu \left(B_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}=X}$
3. множество может быть покрыто монотонной последовательностью измеримых множеств с конечной мерой. Это означает, что существуют множества с и для всех , которые удовлетворяют . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots }$ ${\displaystyle \mu \left(C_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}=X}$
4. существует строго положительная измеримая функция , интеграл которой конечен. ^[2] Это означает, что для всех и . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$

Если - конечная мера, то пространство меры называется пространством конечной меры . ^[3] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$

Примеры

мера Лебега

Например, мера Лебега на действительных числах не конечна, но она σ-конечна. Действительно, рассмотрим интервалы [ k , k  +  1) для всех целых чисел k ; таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, и их объединение есть вся действительная прямая.

Подсчет меры

В качестве альтернативы рассмотрим действительные числа с мерой подсчета ; мера любого конечного множества — это число элементов в множестве, а мера любого бесконечного множества — бесконечность. Эта мера не является σ -конечной, поскольку каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и потребовалось бы несчетное число таких множеств, чтобы покрыть всю действительную прямую. Но множество натуральных чисел с мерой подсчета является σ -конечным. ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Локально компактные группы

Локально компактные группы , которые являются σ-компактными, являются σ-конечными относительно меры Хаара . Например, все связные локально компактные группы G являются σ-компактными. Чтобы увидеть это, пусть V будет относительно компактной, симметричной (то есть V  =  V ⁻¹ ) открытой окрестностью единицы. Тогда

${\displaystyle H=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }V^{n}}$

является открытой подгруппой G. Следовательно, H также замкнута, поскольку ее дополнение является объединением открытых множеств и, в силу связности G , должна быть самой G. Таким образом, все связные группы Ли являются σ-конечными относительно меры Хаара.

Нет примеров

Любая нетривиальная мера, принимающая только два значения 0 и, очевидно, не является σ-конечной. Один пример в : для всех , тогда и только тогда, когда A не пусто; другой пример: для всех , тогда и только тогда, когда A несчетно, 0 в противном случае. Кстати, оба являются инвариантными относительно трансляции. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$

Характеристики

Класс σ-конечных мер обладает некоторыми очень удобными свойствами; σ-конечность можно сравнить в этом отношении с отделимостью топологических пространств. Некоторые теоремы в анализе требуют σ-конечности в качестве гипотезы. Обычно и теорема Радона–Никодима , и теорема Фубини формулируются в предположении σ-конечности рассматриваемых мер. Однако, как показал Ирвинг Сигал ^[4], они требуют только более слабого условия, а именно локализуемости .

Хотя меры, которые не являются σ -конечными, иногда рассматриваются как патологические, на самом деле они встречаются вполне естественно. Например, если X является метрическим пространством размерности Хаусдорфа r , то все меры Хаусдорфа меньшей размерности являются не-σ-конечными, если рассматривать их как меры на X.

Эквивалентность вероятностной мере

Любая σ-конечная мера μ на пространстве X эквивалентна вероятностной мере на X : пусть V _n , n  ∈  N , будет покрытием X попарно непересекающимися измеримыми множествами конечной μ -меры, и пусть w n _, n ∈  N  , будет последовательностью положительных чисел (весов) такой, что

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.}$

Мера ν определяется как

${\displaystyle \nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu \left(A\cap V_{n}\right)}{\mu \left(V_{n}\right)}}}$

Тогда это вероятностная мера на X с точно такими же нулевыми множествами, как и  μ .

Связанные концепции

Умеренные меры

Борелевская мера (в смысле локально конечной меры на борелевской -алгебре ^[5] ) называется умеренной мерой тогда и только тогда, когда существует не более счетного числа открытых множеств с для всех и . ^[6] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu \left(A_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=X}$

Всякая умеренная мера есть конечная мера, обратное неверно. ${\displaystyle \sigma }$

Разложимые меры

Мера называется разложимой мерой, если существуют непересекающиеся измеримые множества с для всех и . Для разложимых мер нет ограничений на количество измеримых множеств с конечной мерой. ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mu \left(A_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=X}$

Каждая конечная мера является разложимой мерой, обратное неверно. ${\displaystyle \sigma }$

s-конечные меры

Мера называется s-конечной мерой, если она является суммой не более чем счетного числа конечных мер . ^[2] ${\displaystyle \mu }$

Каждая σ-конечная мера является s-конечной, обратное неверно. Для доказательства и контрпримера см. s-конечная мера#Связь с σ-конечными мерами .

Смотрите также

• Конечная мера
• Сигма-аддитивность

Ссылки

1. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. стр. 12. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
2. Kallenberg, Olav (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Springer. стр. 21. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
3. Аносов, Д.В. (2001) [1994], "Измерение пространства", Энциклопедия математики , EMS Press
4. Segal, IE (1951). «Эквивалентности пространств с мерами». American Journal of Mathematics . 73 (2): 275–313. JSTOR  2372178.
5. Эльстродт, Юрген (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 313. дои : 10.1007/978-3-540-89728-6. ISBN 978-3-540-89727-9.
6. Эльстродт, Юрген (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 318. дои : 10.1007/978-3-540-89728-6. ISBN 978-3-540-89727-9.