σ-конечная мера

В математике положительная (или знаковая ) мера µ , определенная на σ -алгебре Σ подмножеств множества X , называется конечной мерой, если µ ( X ) является конечным вещественным числом (а не ∞). Множество A в Σ имеет конечную меру, если µ ( A ) < ∞ . Мера µ называется σ-конечной, если X — счетное объединение измеримых множеств, каждое из которых имеет конечную меру. Говорят, что множество в пространстве с мерой имеет σ -конечную меру , если оно представляет собой счетное объединение измеримых множеств с конечной мерой. σ-конечная мера является более слабым условием, чем ее конечность, т. е. все конечные меры являются σ-конечными, но существует (многие) σ-конечные меры, которые не являются конечными.

Другое, но родственное понятие, которое не следует путать с σ-конечностью, — это s-конечность .

Определение

Пусть – измеримое пространство и мера на нем . ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mu }$

Мера называется σ-конечной мерой, если она удовлетворяет одному из четырех следующих эквивалентных критериев: ${\displaystyle \mu }$

1. множество может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых множеств конечной меры. Это означает, что существуют множества с для всех , удовлетворяющих . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu \left(A_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$
2. множество может быть покрыто не более чем счетным числом измеримых непересекающихся множеств конечной меры. Это значит, что есть наборы для всех и для этого удовлетворяют . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu \left(B_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}=X}$
3. множество можно покрыть монотонной последовательностью измеримых множеств конечной меры. Это означает, что существуют множества с и для всех , удовлетворяющие . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots }$ ${\displaystyle \mu \left(C_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}=X}$
4. существует строго положительная измеримая функция , интеграл которой конечен. ^[2] Это означает, что для всех и . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$

Если -конечная мера, то пространство с мерой называется -конечным пространством с мерой . ^[3] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$

Примеры

Мера Лебега

Например, мера Лебега действительных чисел не конечна, но σ-конечна. Действительно, рассмотрим интервалы [ k ,  k  + 1) для всех целых k ; Таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение есть вся вещественная прямая.

Счетная мера

В качестве альтернативы рассмотрим действительные числа со счетной мерой ; мерой любого конечного множества является количество элементов в множестве, а мерой любого бесконечного множества является бесконечность. Эта мера не является σ -конечной, поскольку каждое множество с конечной мерой содержит лишь конечное число точек, и для покрытия всей вещественной прямой потребовалось бы несчетное число таких множеств. Но множество натуральных чисел со счетной мерой σ -конечно . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Локально компактные группы

Локально компактные группы , σ-компактные , σ-конечны относительно меры Хаара . Например, все связные локально компактные группы G σ-компактны. Чтобы убедиться в этом, пусть V — относительно компактная, симметричная (то есть V  =  V ⁻¹ ) открытая окрестность единицы. Затем

${\displaystyle H=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }V^{n}}$

является открытой подгруппой G . Следовательно, H также замкнуто, поскольку его дополнение представляет собой объединение открытых множеств и по связности G должно быть самим G. Таким образом, все связные группы Ли σ-конечны по мере Хаара.

Непримеры

Любая нетривиальная мера, принимающая только два значения 0 и, очевидно, не является σ-конечной. Один из примеров : для всех тогда и только тогда , когда A не пусто; другой: для всех , если и только если A несчетно, 0 в противном случае. Между прочим, оба они трансляционно-инвариантны. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$

Характеристики

Класс σ-конечных мер обладает некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить с сепарабельностью топологических пространств. Некоторые теоремы анализа требуют σ-конечности в качестве гипотезы. Обычно и теорема Радона–Никодима, и теорема Фубини формулируются в предположении σ-конечности рассматриваемых мер. Однако, как показано в статье Сигала «Эквивалентности пространств с мерой» ( Am. J. Math. 73, 275 (1953)) они требуют лишь более слабого условия, а именно локализуемости .

Хотя меры, не являющиеся σ -конечными, иногда считаются патологическими, на самом деле они возникают вполне естественно. Например, если X — метрическое пространство хаусдорфовой размерности r , то все хаусдорфовы меры меньшей размерности не являются σ-конечными, если рассматривать их как меры на X.

Эквивалентность вероятностной мере

Любая σ-конечная мера µ на ​​пространстве X эквивалентна вероятностной мере на X : пусть V _n , n  ∈  N , — покрытие X попарно непересекающимися измеримыми множествами конечной µ -меры, и пусть w _n , n  ∈  N N , — последовательность положительных чисел (весов) такая, что

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.}$

Мера ν, определенная формулой

${\displaystyle \nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu \left(A\cap V_{n}\right)}{\mu \left(V_{n}\right)}}}$

тогда является вероятностной мерой на X с точно такими же нулевыми множествами , что и  µ .

Связанные понятия

Умеренные меры

Борелевская мера (в смысле локально конечной меры на борелевской -алгебре ^[4] ) называется умеренной мерой тогда и только тогда, когда существует не более чем счетное число открытых множеств с для всех и . ^[5] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu \left(A_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=X}$

Всякая умеренная мера является -конечной мерой, обратное неверно. ${\displaystyle \sigma }$

Разложимые меры

Мера называется разложимой мерой, существуют непересекающиеся измеримые множества с для всех и . Для разложимых мер нет ограничений на количество измеримых множеств с конечной мерой. ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mu \left(A_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=X}$

Всякая -конечная мера является разложимой мерой, обратное неверно. ${\displaystyle \sigma }$

s-конечные меры

Мера называется s-конечной мерой , если она представляет собой сумму не более чем счетного числа конечных мер . ^[2] ${\displaystyle \mu }$

Любая σ-конечная мера s-конечна, обратное неверно. Доказательство и контрпример см. в разделе s-конечная мера#Отношение к σ-конечным мерам .

Смотрите также

• Конечная мера
• Сигма-аддитивность

Рекомендации

1. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности . Берлин: Шпрингер. п. 12. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
2. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 21. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
3. Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Мера пространства», Энциклопедия математики , EMS Press
4. Эльстродт, Юрген (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 313. дои : 10.1007/978-3-540-89728-6. ISBN 978-3-540-89727-9.
5. Эльстродт, Юрген (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 318. дои : 10.1007/978-3-540-89728-6. ISBN 978-3-540-89727-9.