В математической логике , и в частности в ее теории подполей , насыщенная модель M — это модель, которая реализует столько полных типов , сколько можно «разумно ожидать» с учетом ее размера. Например, сверхмощная модель гиперреальных чисел является -насыщенной, что означает, что каждая нисходящая вложенная последовательность внутренних множеств имеет непустое пересечение. [1]
Пусть κ — конечное или бесконечное кардинальное число , а M — модель на некотором языке первого порядка . Тогда M называется κ -насыщенной, если для всех подмножеств A ⊆ M мощности , меньшей κ , модель M реализует все полные типы над A. Модель M называется насыщенной , если она | M |-насыщена, где | M | обозначает мощность M. То есть она реализует все полные типы над множествами параметров размера, меньшего | M |. По мнению некоторых авторов, модель M называется счетно насыщенной, если она является -насыщенной; то есть она реализует все полные типы над счетными множествами параметров. [2] По мнению других, она счетно насыщена, если она счетна и насыщена. [3]
Кажущийся более интуитивным, что все полные типы языка реализуются, оказывается слишком слабым (и соответственно назван слабым насыщением , что то же самое, что и 1-насыщение). Разница заключается в том, что многие структуры содержат элементы, которые не поддаются определению (например, любой трансцендентный элемент R , по определению слова, не поддается определению в языке полей ). Однако они все равно являются частью структуры, поэтому нам нужны типы для описания отношений с ними. Таким образом, мы допускаем наборы параметров из структуры в нашем определении типов. Этот аргумент позволяет нам обсуждать конкретные особенности модели, которые мы могли бы упустить в противном случае, например, ограничение на определенную возрастающую последовательность c n может быть выражено как реализация типа { x ≥ c n : n ∈ ω}, который использует счетное число параметров. Если последовательность не поддается определению, этот факт о структуре не может быть описан с помощью базового языка, поэтому слабо насыщенная структура может не ограничивать последовательность, в то время как ℵ 1 -насыщенная структура будет.
Причина, по которой нам требуются только наборы параметров, которые строго меньше модели, тривиальна: без этого ограничения никакая бесконечная модель не будет насыщенной. Рассмотрим модель M и тип { x ≠ m : m ∈ M }. Каждое конечное подмножество этого типа реализуется в (бесконечной) модели M , поэтому по компактности оно согласуется с M , но тривиально не реализуется. Любое определение, которое универсально не удовлетворяется, бесполезно; отсюда и ограничение.
Для определенных теорий и мощностей существуют насыщенные модели:
Как теория Q , так и теория счетного случайного графа могут быть показаны как ω-категоричные с помощью метода возврата и возвращения . Это можно обобщить следующим образом: уникальная модель мощности κ счетной κ -категоричной теории насыщена.
Однако утверждение о том, что каждая модель имеет насыщенное элементарное расширение , не доказуемо в ZFC . Фактически, это утверждение эквивалентно [ требуется ссылка ] существованию собственного класса кардиналов κ, такого что κ < κ = κ . Последнее тождество эквивалентно κ = λ + = 2 λ для некоторого λ , или κ строго недостижимо .
Понятие насыщенной модели двойственно понятию простой модели следующим образом: пусть T — счетная теория на языке первого порядка (то есть набор взаимно согласованных предложений на этом языке), а P — простая модель T. Тогда P допускает элементарное вложение в любую другую модель T. Эквивалентное понятие для насыщенных моделей состоит в том, что любая «разумно малая» модель T элементарно вкладывается в насыщенную модель, где «разумно малая» означает мощность не больше, чем у модели, в которую она должна быть вложена. Любая насыщенная модель также является однородной . Однако, в то время как для счетных теорий существует уникальная простая модель, насыщенные модели обязательно специфичны для конкретной мощности. При определенных теоретико-множественных предположениях насыщенные модели (хотя и очень большой мощности) существуют для произвольных теорий. Для λ — стабильных теорий существуют насыщенные модели мощности λ .
