Абсолютный момент импульса

В метеорологии абсолютный момент импульса — это момент импульса в «абсолютной» системе координат ( абсолютное время и пространство ).

Введение

Угловой момент $L$ равен векторному произведению положения (вектора) $r$ частицы (или пакета жидкости ) и ее абсолютного линейного импульса $p$ , равного $m v$ , произведению массы и скорости. Математически,

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v}

Определение

Абсолютный момент импульса представляет собой сумму момента импульса частицы или частицы жидкости в относительной системе координат и момента импульса этой относительной системы координат.

Метеорологи обычно выражают три компонента вектора скорости $v = (u, v, w)$ (на восток, на север и вверх). Величина абсолютного момента импульса $L$ на единицу массы $m$

\left|{\frac {\mathbf {L} }{m}}\right|=M=ur\cos(\phi )+\Omega r^{2}\cos ^{2}(\phi )

где

$M$ представляет собой абсолютный угловой момент на единицу массы пакета жидкости (в $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ⁠м 2/с⁠$ ),
$r$ представляет собой расстояние от центра Земли до жидкой частицы (в $м$ ),
$u$ представляет собой компонент скорости потока жидкости относительно Земли в восточном направлении (в $⁠$ $м / с ⁠$ ),
$φ$ представляет широту (в $рад$ ), а
$Ω$ представляет угловую скорость вращения Земли (в $⁠$ $рад / с ⁠$ , обычно $⁠$ $2 π рад / 1 звездный день ⁠ \approx 72,921150 \times 10 -6 ⁠ рад / с ⁠$ ).

Первый член представляет собой угловой момент посылки относительно поверхности Земли, который сильно зависит от погоды. Второй член представляет собой угловой момент самой Земли на определенной широте (по сути, постоянный, по крайней мере, в негеологических временных масштабах).

Приложения

В неглубокой тропосфере Земли люди могут приблизительно оценить $r \approx a$ , расстояние между жидким пакетом и центром Земли, приблизительно равное среднему радиусу Земли :

M\approx ua\cos(\varphi)+\Omega a^{2}\cos ^{2}(\varphi)

где

$a$ представляет радиус Земли (в $м$ , обычно $6,371009 Мм$ )
$M$ представляет собой абсолютный угловой момент на единицу массы пакета жидкости (в $⁠$ $м 2 / с ⁠$ ),
$u$ представляет собой восточную составляющую скорости потока жидкости относительно Земли (в $⁠$ $м / с ⁠$ ),
$φ$ представляет широту (в $рад$ ), а
$Ω$ представляет угловую скорость вращения Земли (в $⁠$ $рад / с ⁠$ , обычно $⁠$ $2 π рад / 1 звездный день ⁠ \approx 72,921150 \times 10 -6 ⁠ рад / с ⁠$ ).

На Северном полюсе и Южном полюсе (широта $φ = \pm90° = ⁠ π / 2 ⁠ рад$ ), абсолютный угловой момент существовать не может ( $M = 0 ⁠ м 2 / с ⁠$ потому что $cos(\pm90°) = 0$ ). Если жидкая посылка без скорости восточного ветра ( $u 0 = 0 ⁠ м / с ⁠$ ) берущий начало на экваторе ( $φ = 0 рад$ , поэтому $cos(φ) = cos(0 рад) = 1$ ) сохраняет свой угловой момент ( $M 0 = M$ ) по мере движения к полюсу, затем скорость его восточного ветра резко увеличивается: $u 0 a cos(φ 0) + Ω a 2 cos 2 (φ 0) = u a cos(φ) + Ω a 2 cos 2 (φ)$ . После этих замен $Ω a 2 = u a cos(φ) + Ω a 2 cos 2 (φ)$ , или после дальнейшего упрощения $Ω a (1-cos 2 (φ)) = u cos(φ)$ . Решение для $u$ дает $Ω a (⁠ 1 / cos(φ) ⁠ - потому что (φ)) знак равно ты$ . Если $φ = 15°$ ( $потому что (φ) = ⁠ 1+ \sqrt 3 / 2 \sqrt 2 ⁠$ ), то $72,921150 \times 10 -6 ⁠ рад / с ⁠ \times 6,371009 Мм \times(⁠ 2 \sqrt 2 / 1+ \sqrt 3 ⁠ - ⁠ 1+ \sqrt 3 / 2 \sqrt 2 ⁠) \approx 32,2 ⁠ м / с ⁠ \approx у$ .

Зональный градиент давления и вихревые напряжения вызывают крутящий момент , который изменяет абсолютный угловой момент частиц жидкости.

Ссылки

Холтон, Джеймс Р.; Хаким, Грегори Дж. (2012), Введение в динамическую метеорологию , 5, Уолтем, Массачусетс: Academic Press , стр. 342–343, ISBN 978-0-12-384866-6