В математической логике аксиома Кантора -Дедекинда — это тезис о том, что действительные числа порядково изоморфны линейному континууму геометрии . Другими словами, аксиома утверждает, что существует взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и точками на прямой.
Эта аксиома стала теоремой, доказанной Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра» . Точнее, евклидовы пространства, определенные над полем действительных чисел, удовлетворяют аксиомам евклидовой геометрии , и из аксиом евклидовой геометрии можно построить поле, изоморфное действительным числам.
Аналитическая геометрия была разработана на основе декартовой системы координат , введенной Рене Декартом . Она неявно приняла эту аксиому, смешав различные концепции действительных чисел и точек на прямой, иногда называемой действительной числовой прямой . Доказательство Артина не только делает это смешение явным, но и показывает, что аналитическая геометрия строго эквивалентна традиционной синтетической геометрии , в том смысле, что в обеих структурах могут быть доказаны одни и те же теоремы.
Другим следствием является то, что доказательство Альфреда Тарского разрешимости теорий первого порядка действительных чисел можно рассматривать как алгоритм решения любой задачи первого порядка в евклидовой геометрии .