Акустоупругий эффект

Акустоупругий эффект заключается в том, как изменяются скорости звука (как продольные , так и сдвиговые скорости волны) упругого материала , если он подвергается воздействию начального статического поля напряжений . Это нелинейный эффект определяющего соотношения между механическим напряжением и конечной деформацией в материале непрерывной массы . В классической линейной теории упругости малые деформации большинства упругих материалов можно описать линейным соотношением между приложенным напряжением и результирующей деформацией. Это соотношение обычно известно как обобщенный закон Гука . Линейная упругая теория включает упругие константы второго порядка (например , и ) и дает постоянные продольные и сдвиговые скорости звука в упругом материале, не затронутом приложенным напряжением. Акустоупругий эффект, с другой стороны, включает расширение более высокого порядка определяющего соотношения (нелинейная теория упругости ^[1] ) между приложенным напряжением и результирующей деформацией, что дает продольные и сдвиговые скорости звука, зависящие от напряженного состояния материала. В пределе ненапряженного материала воспроизводятся скорости звука линейной теории упругости. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Акустоупругий эффект был исследован еще в 1925 году Бриллюэном. ^[2] Он обнаружил, что скорость распространения акустических волн будет уменьшаться пропорционально приложенному гидростатическому давлению. Однако следствием его теории было то, что звуковые волны перестанут распространяться при достаточно большом давлении. Позднее было показано, что этот парадоксальный эффект вызван неверными предположениями о том, что упругие параметры не зависят от давления. ^[3]

В 1937 году Фрэнсис Доминик Мурнаган ^[4] представил математическую теорию, расширяющую линейную теорию упругости, чтобы также включить конечную деформацию в упругих изотропных материалах. Эта теория включала три упругие константы третьего порядка , , и . В 1953 году Хьюз и Келли ^[5] использовали теорию Мурнагана в своей экспериментальной работе, чтобы установить численные значения упругих констант более высокого порядка для нескольких упругих материалов, включая полистирол , железо армко и пирекс , подвергнутых гидростатическому давлению и одноосному сжатию . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Нелинейная теория упругости для гиперупругих материалов

Акустоупругий эффект — это эффект конечной деформации нелинейных упругих материалов. Современное всестороннее изложение этого можно найти в. ^[1] В этой книге рассматривается применение нелинейной теории упругости и анализ механических свойств твердых материалов, способных к большим упругим деформациям. Частный случай акустоупругой теории для сжимаемого изотропного гиперупругого материала , такого как поликристаллическая сталь, ^[6] воспроизведен и показан в этом тексте из нелинейной теории упругости, представленной Огденом. ^[1]

Обратите внимание , что в этом тексте, как и в ^[1], рассматривается изотермическая обстановка , и не делается никаких ссылок на термодинамику .

Определяющее соотношение – гиперупругие материалы (соотношение напряжение-деформация)

Гиперупругий материал — это особый случай упругого материала Коши , в котором напряжение в любой точке является объективным и определяется только текущим состоянием деформации относительно произвольной опорной конфигурации (более подробную информацию о деформации см. также на страницах Деформация (механика) и Конечная деформация ). Однако работа, выполняемая напряжениями, может зависеть от пути деформации. Поэтому упругий материал Коши имеет неконсервативную структуру, и напряжение не может быть выведено из скалярной функции упругого потенциала . Особый случай упругих материалов Коши, в котором работа, выполняемая напряжениями, не зависит от пути деформации, называется упругим материалом Грина или гиперупругим материалом. Такие материалы являются консервативными, и напряжения в материале могут быть выведены с помощью скалярного упругого потенциала, более известного как функция плотности энергии деформации .

Конститутивное соотношение между напряжением и деформацией может быть выражено в различных формах на основе выбранных форм напряжения и деформации. Выбрав 1-й тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа (который является транспонированным тензором номинального напряжения ), конститутивное уравнение для сжимаемого гиперупругого материала может быть выражено в терминах лагранжевой деформации Грина ( ) как: где - тензор градиента деформации , и где второе выражение использует соглашение Эйнштейна о суммировании для индексной записи тензоров . - функция плотности энергии деформации для гиперупругого материала и были определены на единицу объема, а не на единицу массы, поскольку это позволяет избежать необходимости умножать правую часть на плотность массы опорной конфигурации. ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}={\boldsymbol {N}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{ij}=F_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial E_{kj}}},\qquad i,j=1,2,3~,}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

Предполагая, что скалярная функция плотности энергии деформации может быть аппроксимирована разложением в ряд Тейлора по текущей деформации , ее можно выразить (в индексной нотации) как: Налагая ограничения, что функция энергии деформации должна быть равна нулю и иметь минимум, когда материал находится в недеформированном состоянии (т.е. ), ясно, что в функции энергии деформации нет постоянного или линейного члена, и, таким образом: где - тензор четвертого порядка модулей упругости второго порядка , в то время как - тензор шестого порядка модулей упругости третьего порядка. Симметрия вместе со скалярной функцией плотности энергии деформации подразумевает, что модули второго порядка имеют следующую симметрию: , которая уменьшает число независимых упругих констант с 81 до 36. Кроме того, степенное разложение подразумевает, что модули второго порядка также имеют главную симметрию , которая дополнительно уменьшает число независимых упругих констант до 21. Те ​​же аргументы можно использовать для модулей упругости третьего порядка . Эти симметрии также позволяют выразить модули упругости с помощью обозначений Фойгта (т.е. и ). ${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ $${\displaystyle W\approx C_{0}+C_{ij}E_{ij}+{\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1}{3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_{kl}E_{mn}+\cdots }$$ ${\displaystyle W(E_{ij}=0)=0}$ $${\displaystyle W\approx {\frac {1}{2!}}C_{ijkl}E_{ij}E_{kl}+{\frac {1}{3!}}C_{ijklmn}E_{ij}E_{kl}E_{mn}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{ijklmn}}$ ${\displaystyle E_{ij}=E_{ji}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ $${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk},}$$ $${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij},}$$ ${\displaystyle C_{ijklmn}}$ ${\displaystyle C_{ijkl}=C_{IJ}}$ ${\displaystyle C_{ijklmn}=C_{IJK}}$

Тензор градиента деформации может быть выражен в компонентной форме как , где - смещение материальной точки от координаты в исходной конфигурации до координаты в деформированной конфигурации (см. Рисунок 2 на странице теории конечных деформаций). Включение степенного разложения функции энергии деформации в определяющее соотношение и замена тензора деформации Лагранжа на разложение, приведенное на странице тензора конечных деформаций, дает (обратите внимание, что в этом разделе использовались строчные буквы по сравнению с заглавными на странице тензора конечных деформаций ) определяющее уравнение , где и члены более высокого порядка были проигнорированы ^{[7] [8]} (см. ^[9] для получения подробных выводов). Для справкиM, пренебрегая членами более высокого порядка в этом выражении, сведем к , которое является версией обобщенного закона Гука, где - мера напряжения, а - мера деформации, и - линейное соотношение между ними. $${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}+\delta _{ij},}$$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle E_{kl}}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}+{\frac {1}{2}}M_{ijklmn}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}+{\frac {1}{3}}M_{ijklmnpq}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial X_{n}}}{\frac {\partial u_{p}}{\partial X_{q}}}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle M_{ijklmn}=C_{ijklmn}+C_{ijln}\delta _{km}+C_{jnkl}\delta _{im}+C_{jlmn}\delta _{ik},}$$ ${\displaystyle \partial u_{k}/\partial X_{l}}$ ${\displaystyle P_{ij}=C_{ijkl}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{l}}},}$ ${\displaystyle P_{ij}}$ ${\displaystyle \partial u_{k}/\partial X_{l}}$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$

Скорость звука

Предполагая, что малая динамическая (акустическая) деформация возмущает уже статически напряженный материал, акустоупругий эффект можно рассматривать как эффект малой деформации, наложенной на большую конечную деформацию (также называемую теорией малого на большом). ^[8] Определим три состояния данной материальной точки. В исходном (ненапряженном) состоянии точка определяется вектором координат , в то время как та же точка имеет вектор координат в статическом изначально напряженном состоянии (т. е. под влиянием приложенного предварительного напряжения). Наконец, предположим, что материальная точка под малым динамическим возмущением (полем акустических напряжений) имеет вектор координат . Полное смещение материальных точек (под влиянием как статического предварительного напряжения, так и динамического акустического возмущения) тогда может быть описано векторами смещения , где описывает статическое (лагранжево) начальное смещение из-за приложенного предварительного напряжения и (эйлерово) смещение из-за акустического возмущения соответственно. Первый закон движения Коши (или баланс линейного импульса) для дополнительного эйлерова возмущения может быть затем выведен в терминах промежуточной лагранжевой деформации, предполагая, что предположение о малом на большом выполняется. Использование лагранжевой формы первого закона движения Коши , где эффект постоянной силы тела (т. е. гравитации) был проигнорирован, дает ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x'}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {X}},}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}},\qquad {\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {x}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$ $${\displaystyle |{\boldsymbol {u}}^{(1)}|\ll |{\boldsymbol {u}}^{(0)}|}$$ $${\displaystyle \operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}=\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}.}$$

Обратите внимание , что нижний/верхний индекс «0» используется в этом тексте для обозначения ненапряженного исходного состояния, а пунктирная переменная, как обычно, является производной по времени ( ) ${\displaystyle t}$ переменной и представляет собой оператор дивергенции относительно лагранжевой системы координат . ${\displaystyle \operatorname {Div} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$

Правую часть (часть, зависящую от времени) закона движения можно выразить как в предположении, что как ненапряженное состояние, так и начальное деформированное состояние являются статическими и, таким образом , . $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}({\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}+{\boldsymbol {X}})\\&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(1)}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(0)}/\partial t^{2}=\partial ^{2}{\boldsymbol {X}}/\partial t^{2}=0}$

Для левой стороны (часть, зависящая от пространства) пространственные частные производные Лагранжа по можно разложить в эйлеровом , используя цепное правило и меняя переменные через соотношение между векторами смещения как ^[8] , где была использована краткая форма . Таким образом, дополнительное предположение, что статическая начальная деформация (предварительно напряженное состояние) находится в равновесии, означает, что , и закон движения может в сочетании с приведенным выше уравнением состояния быть сведен к линейному соотношению (т. е. где члены более высокого порядка в ) между статической начальной деформацией и дополнительным динамическим возмущением как ^[7] (см. ^[9] для подробных выводов) где Это выражение распознается как линейное волновое уравнение . Рассматривая плоскую волну вида , где - единичный вектор Лагранжа в направлении распространения (т. е. параллельно волновому числу, нормальному к волновому фронту), - единичный вектор, называемый вектором поляризации (описывающий направление движения частицы), - фазовая скорость волны, а - дважды непрерывно дифференцируемая функция (например, синусоидальная функция). Подстановка этой плоской волны в линейное волновое уравнение, полученное выше, дает ^[10] где вводится как акустический тензор и зависит от как ^[10] Это выражение называется условием распространения и определяет для заданного направления распространения скорость и поляризацию возможных волн, соответствующих плоским волнам. Скорости волн можно определить характеристическим уравнением ^[10] где — определитель , а — единичная матрица . ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+u_{k,j}^{(0)}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+\cdots }$$ ${\displaystyle u_{k,j}^{(0)}\equiv \partial u_{k}^{(0)}/\partial x_{j}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial X_{j}}}\approx {\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{j}}}+u_{p.j}^{(0)}{\frac {\partial P_{ij}}{\partial x_{p}}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$ ${\displaystyle \operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}^{(0)}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle u_{m,n}^{(0)}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(0)}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)}$ $${\displaystyle B_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}u_{k}^{(1)}}{\partial x_{j}\partial x_{l}}}=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u_{i}^{(1)}}{\partial t^{2}}},}$$ $${\displaystyle B_{ijkl}=C_{ijkl}+\delta _{ik}C_{jlqr}u_{q,r}^{(0)}+C_{rjkl}u_{i,r}^{(0)}+C_{irkl}u_{j,r}^{(0)}+C_{ijrl}u_{k,r}^{(0)}+C_{ijkr}u_{l,r}^{(0)}+C_{ijklmn}u_{m,n}^{(0)}.}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {u}}^{(1)}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {m}}\,f({\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {x}}-ct),}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}=k{\boldsymbol {N}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}=\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {m}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})]_{ik}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}.}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ $${\displaystyle \det({\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})-\rho _{0}c^{2}{\boldsymbol {I}})=0,}$$ ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

Для гиперупругого материала симметричен (но не в общем случае), и собственные значения ( ) являются действительными. Для того чтобы скорости волн также были действительными, собственные значения должны быть положительными. ^[1] Если это так, то для данного направления распространения существуют три взаимно ортогональные действительные плоские волны . Из двух выражений акустического тензора ясно, что ^[10] и неравенство (также называемое сильным условием эллиптичности) для всех ненулевых векторов и гарантирует, что скорость однородных плоских волн является действительной. Поляризация соответствует продольной волне , где движение частицы параллельно направлению распространения (также называемой компрессионной волной). Две поляризации, где соответствует поперечным волнам , где движение частицы ортогонально направлению распространения (также называемыми сдвиговыми волнами). ^[10] ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}})}$ ${\displaystyle \rho _{0}c^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ $${\displaystyle \rho _{0}c^{2}={\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {N}}){\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {m}}=B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k},}$$ ${\displaystyle B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k}>0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}={\boldsymbol {N}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {N}}=0}$

Изотропные материалы

Модули упругости для изотропных материалов

Для изотропного тензора второго порядка (т. е. тензора, имеющего те же компоненты в любой системе координат), такого как тензор деформации Лагранжа, есть инварианты, где — оператор следа , и . Таким образом, функция энергии деформации изотропного материала может быть выражена с помощью , или ее суперпозиции, которую можно переписать как ^[8] где — константы. Константы и — модули упругости второго порядка , более известные как параметры Ламе , в то время как и — модули упругости третьего порядка, введенные ^[11] , которые являются альтернативными, но эквивалентными и введенным Мурнаганом. ^[4] Объединяя это с общим выражением для функции энергии деформации, становится ясно, что ^[8] где . Исторически использовался разный выбор этих упругих констант третьего порядка, и некоторые из вариаций показаны в Таблице 1. ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle q\in \left\{1,2,3,\dots \right\}}$ ${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})=W(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{q}),\,k\in \left\{1,2,3,\ldots \right\}}$ $${\displaystyle W={\frac {\lambda }{2}}(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})^{2}+\mu \operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {C}{3}}(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})^{3}+B(\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}})\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {A}{3}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {E}}^{3}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle \lambda ,\mu ,A,B,C}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle l,m,}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+2\mu \delta I_{ijkl},\\C_{ijklmn}&=2C\delta _{ij}\delta _{kl}\delta _{mn}+2B(\delta _{ij}I_{klmn}+\delta _{kl}I_{mnij}+\delta _{mn}I_{ijkl})+{\frac {1}{2}}A(\delta _{ik}I_{jlmn}+\delta _{il}I_{jkmn}+\delta _{jk}I_{ilmn}+\delta _{jl}I_{ikmn}),\end{aligned}}\!\,}$$ ${\displaystyle I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}$

Примеры значений для стали

В таблицах 2 и 3 представлены упругие константы второго и третьего порядка для некоторых типов сталей, представленных в литературе.

Акустоупругость при одноосном растяжении изотропных гиперупругих материалов

Кубоидальный образец сжимаемого твердого тела в ненапряженной опорной конфигурации может быть выражен декартовыми координатами , где геометрия выровнена с лагранжевой системой координат, а — длина сторон кубоида в опорной конфигурации. Подвергая кубоид одноосному растяжению в -направлении так, чтобы он деформировался с чистой однородной деформацией, так что координаты материальных точек в деформированной конфигурации могут быть выражены как , что дает удлинения в -направлении. Здесь означает текущую (деформированную) длину стороны кубоида и где отношение между длиной сторон в текущей и опорной конфигурации обозначается как называемые главными растяжениями. Для изотропного материала это соответствует деформации без какого-либо вращения (см. полярное разложение тензора градиента деформации, где и вращение ). Это можно описать с помощью спектрального представления главными растяжениями как собственными значениями или, что эквивалентно, удлинениями . ${\displaystyle X_{i}\in [0,L_{i}],\,i=1,2,3}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}=\lambda _{1}X_{1},x_{2}=\lambda _{2}X_{2},x_{3}=\lambda _{3}X_{3}}$ $${\displaystyle e_{i}\equiv l_{i}/L_{i}-1=\lambda _{i}-1}$$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle l_{i}}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \lambda _{i}\equiv l_{i}/L_{i}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {RU}}={\boldsymbol {VR}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {I}}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Для одноосного растяжения в -направлении ( мы предполагаем, что увеличиваются на некоторую величину. Если боковые грани свободны от натяжения (т.е. ), то боковые удлинения и ограничены диапазоном . Для изотропной симметрии боковые удлинения (или сжатия) также должны быть равны (т.е. ). Диапазон соответствует диапазону от полного бокового сжатия ( , что нефизично), и до отсутствия изменения боковых размеров ( ). Отмечается, что теоретически диапазон может быть расширен до значений, больших 0, соответствующих увеличению боковых размеров в результате увеличения осевого размера. Однако очень немногие материалы (называемые ауксетичными материалами) демонстрируют это свойство. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle P_{11}>0}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle P_{22}=P_{33}=0}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{2},e_{3}\in (-1,0]}$ ${\displaystyle e_{2}=e_{3}}$ ${\displaystyle e_{2}=e_{3}=-1}$ ${\displaystyle e_{2}=e_{3}=0}$

Расширение скоростей звука

Плоская продольная (давление) пульсовая волна

Сдвиговая (поперечная) плоская волна

Если выполняется сильное условие эллиптичности ( ), три ортогональных направления поляризации ( дадут ненулевую и действительную скорость звука для заданного направления распространения . Далее будут выведены скорости звука для одного выбора приложенного одноосного натяжения, направления распространения и ортонормированного набора векторов поляризации. Для одноосного натяжения, приложенного в -направлении , и вывода скоростей звука для волн, распространяющихся ортогонально приложенному натяжению (например, в -направлении с вектором распространения ), может быть один выбор ортонормальных поляризаций , который дает три скорости звука , где первый индекс скоростей звука указывает направление распространения (здесь -направление, в то время как второй индекс указывает выбранное направление поляризации ( соответствует движению частицы в направлении распространения – т. е. продольной волне, и соответствует движению частицы перпендикулярно направлению распространения – т. е. сдвиговой волне). ${\displaystyle B_{ijkl}N_{j}N_{l}m_{i}m_{k}>0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=[0,0,1]}$ $${\displaystyle \{{\boldsymbol {m}}\}={\begin{cases}\mathbf {m} _{1}=\mathbf {\hat {x}} _{1}=[1,0,0]&\|\,{\text{to applied tension}}\\\mathbf {m} _{2}=\mathbf {\hat {x}} _{2}=[0,1,0]&\perp {\text{to applied tension}}\\\mathbf {m} _{3}=\mathbf {\hat {x}} _{3}=[0,0,1]&\|\,{\textrm {to}}\,\mathbf {N} \end{cases}}}$$ $${\displaystyle \rho _{0}c_{33}^{2}=B_{3333},\qquad \rho _{0}c_{31}^{2}=B_{1313},\qquad \rho _{0}c_{32}^{2}=B_{2323},}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c_{ij}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j=i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\neq i}$

Разложение соответствующих коэффициентов акустического тензора и замена модулей упругости второго и третьего порядка и их изотропными эквивалентами, и соответственно, приводит к скоростям звука, выраженным как где - коэффициенты акустоупругости, связанные с эффектами от упругих постоянных третьего порядка. ^[18] ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{ijklmn}}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ ${\displaystyle A,B,C}$ $${\displaystyle \rho _{0}c_{33}^{2}=\lambda +2\mu +a_{33}e_{1},\qquad \rho _{0}c_{3k}^{2}=\mu +a_{3k}e_{1},\quad k=1,2}$$ $${\displaystyle a_{33}=-{\frac {2\lambda (\lambda +2\mu )+\lambda A+2(\lambda -\mu )B-2\mu C}{\lambda +\mu }}}$$ $${\displaystyle a_{31}={\frac {(\lambda +2\mu )(4\mu +A)+4\mu B}{4(\lambda +\mu )}}}$$ $${\displaystyle a_{32}=-{\frac {\lambda (4\mu +A)-2\mu B}{2(\lambda +\mu )}}}$$

Методы измерения

Акустическая установка с передающими и приемными преобразователями.

Акустическая установка на основе импульсного эха

Чтобы иметь возможность измерить скорость звука, а точнее изменение скорости звука, в материале, подверженном некоторому напряженному состоянию, можно измерить скорость акустического сигнала, распространяющегося через рассматриваемый материал. Существует несколько методов сделать это, но все они используют одно из двух физических соотношений скорости звука. Первое соотношение связано со временем, которое требуется сигналу для распространения из одной точки в другую (обычно это расстояние между двумя акустическими преобразователями или удвоенное расстояние от одного преобразователя до отражающей поверхности). Это часто называют измерениями «времени пролета» (TOF), и используют соотношение , где — расстояние, которое проходит сигнал, а — время , необходимое для прохождения этого расстояния. Второе соотношение связано с обратной величиной времени, частотой сигнала . Соотношение здесь таково, где — частота сигнала, а — длина волны . Измерения, использующие частоту в качестве измеряемой величины, используют явление акустического резонанса , при котором количество длин волн соответствует длине, на которой резонирует сигнал. Оба эти метода зависят от расстояния, на котором они измеряются, либо напрямую, как в методе времени пролета, либо косвенно, через сопоставление числа длин волн по физическому размеру образца, которые резонируют. $${\displaystyle c={\frac {d}{t}}}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle c=f\lambda }$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$

Пример методов ультразвукового контроля

В общем, существует два способа настройки системы преобразователей для измерения скорости звука в твердом теле. Один из них — это установка с двумя или более преобразователями, где один действует как передатчик, а другой(ие) действует как приемник. Измерение скорости звука может быть выполнено путем измерения времени между генерацией сигнала на передатчике и его регистрацией на приемнике, при этом предполагается, что известно (или измерено) расстояние, которое акустический сигнал прошел между преобразователями, или, наоборот, для измерения резонансной частоты, зная толщину, на которой резонирует волна. Другой тип установки часто называют системой импульсного эха . Здесь один преобразователь размещается вблизи образца, действуя как передатчик и приемник. Для этого требуется отражающий интерфейс, где сгенерированный сигнал может отражаться обратно к преобразователю, который затем действует как приемник, регистрирующий отраженный сигнал. См. ультразвуковое тестирование для некоторых систем измерения.

Продольные и поляризованные сдвиговые волны

Диаграмма, показывающая преобразование мод, которое происходит, когда продольная волна падает на границу раздела под углом, отличным от нормального.

Как объяснялось выше, для заданного направления распространения в твердом теле существует набор из трех ортонормальных поляризаций ( ) движения частицы . Для измерительных установок, где преобразователи могут быть закреплены непосредственно на исследуемом образце, можно создать эти три поляризации (одну продольную и две ортогональные поперечные волны), применяя различные типы преобразователей, возбуждающих требуемую поляризацию (например, пьезоэлектрические преобразователи с необходимым режимом колебаний ). Таким образом, можно измерить скорость звука волн со всеми тремя поляризациями с помощью либо зависящих от времени, либо зависящих от частоты измерительных установок в зависимости от выбора типов преобразователей. Однако, если преобразователь не может быть закреплен на испытуемом образце, необходима связующая среда для передачи акустической энергии от преобразователя к образцу. В качестве этой связующей среды часто используют воду или гели. Для измерения продольной скорости звука этого достаточно, однако жидкости не переносят сдвиговых волн, и, таким образом, чтобы иметь возможность генерировать и измерять скорость сдвиговых волн в испытуемом образце, падающая продольная волна должна взаимодействовать под косым углом с поверхностью жидкости/твердого тела, чтобы генерировать сдвиговые волны посредством преобразования мод . Такие сдвиговые волны затем преобразуются обратно в продольные волны на поверхности твердого тела/жидкости, распространяясь обратно через жидкость к регистрирующему преобразователю, что позволяет измерять скорости сдвиговых волн также через связующую среду. ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

Приложения

Инженерные материалы – оценка напряжений

Поскольку отрасль стремится сократить расходы на техническое обслуживание и ремонт, неразрушающий контроль конструкций становится все более ценным как в производственном контроле, так и в качестве средства измерения использования и состояния ключевой инфраструктуры. Существует несколько методов измерения для измерения напряжения в материале . Однако методы, использующие оптические измерения, магнитные измерения, рентгеновскую дифракцию и нейтронную дифракцию , ограничены измерением поверхностного или околоповерхностного напряжения или деформации. Акустические волны легко распространяются через материалы и, таким образом, предоставляют средство для исследования внутренней части конструкций, где уровень напряжения и деформации важен для общей структурной целостности . Поскольку скорость звука таких нелинейных упругих материалов (включая обычные строительные материалы, такие как алюминий и сталь ) зависит от напряжения, одним из применений акустоупругого эффекта может быть измерение напряженного состояния внутри нагруженного материала с использованием различных акустических зондов (например, ультразвукового контроля ) для измерения изменения скорости звука.

Сыпучие и пористые материалы – геофизика

Сейсмология изучает распространение упругих волн через Землю и используется, например, в исследованиях землетрясений и при картировании недр Земли . Недра Земли подвергаются различным давлениям, и поэтому акустические сигналы могут проходить через среды в различных напряженных состояниях. Таким образом, акустоупругая теория может представлять практический интерес, где нелинейное волновое поведение может использоваться для оценки геофизических свойств. ^[8]

Мягкие ткани – медицинский ультразвук

Другие области применения могут быть в медицинской сонографии и эластографии для измерения уровня напряжения или давления в соответствующих типах эластичных тканей (например, ^{[19] [20] [21]} ), что улучшает неинвазивную диагностику .

Смотрите также

• Акустоэластография
• Конечная деформация
• Скорость звука
• Ультразвуковой контроль

Ссылки

1. Огден, РВ, Нелинейные упругие деформации , Dover Publications Inc., Минеола, Нью-Йорк, (1984)
2. Бриллюэн, Леон (1925). «Напряжения радиации; интерпретация в классической механике и относительности». Журнал Physique et le Radium . 6 (11): 337–353. doi : 10.1051/jphysrad: 01925006011033700. ISSN  0368-3842.
3. Тан, Сэм (1967). «Распространение волн в упругих телах с начальным напряжением». Acta Mechanica . 4 (1): 92–106. doi :10.1007/BF01291091. ISSN  0001-5970. S2CID  121910597.
4. Murnaghan, FD (1937). «Конечные деформации упругого твердого тела». American Journal of Mathematics . 59 (2): 235–260. doi :10.2307/2371405. ISSN  0002-9327. JSTOR  2371405.
5. Хьюз, Д.С.; Келли, Дж.Л. (1953). «Упругая деформация твердых тел второго порядка». Physical Review . 92 (5): 1145–1149. Bibcode : 1953PhRv...92.1145H. doi : 10.1103/PhysRev.92.1145. ISSN  0031-899X.
6. "Анизотропия и изотропия". Архивировано из оригинала 2012-05-31 . Получено 2013-12-07 .
7. Норрис, AN (1997). "Волны конечной амплитуды в твердых телах". В Гамильтон, Марк Ф.; Блэксток, Дэвид Т. (ред.). Нелинейная акустика . Акустическое общество Америки. ISBN 978-0123218605.
8. Норрис, AN (2007). "Теория малого на большом с приложениями к зернистым материалам и жидкостно-твердым системам" (PDF) . В M. Destrade; G. Saccomandi (ред.). Волны в нелинейных предварительно напряженных материалах . Курсы и лекции CISM. Том 495. Springer, Вена. doi :10.1007/978-3-211-73572-5. ISBN 978-3-211-73572-5.
9. Eldevik, S., «Измерение нелинейного акустоупругого эффекта в стали с использованием акустического резонанса», докторская диссертация, Университет Бергена, (в стадии подготовки)
10. Ogden, RW (2007). "Incremental Statics and Dynamics of Pre-Stressed Elastic Materials" (PDF) . В M. Destrade; G. Saccomandi (ред.). Waves in Nonlinear Pre-Stressed Materials . CISM Courses and Lectures. Vol. 495. Springer, Vienna. doi :10.1007/978-3-211-73572-5. ISBN 978-3-211-73572-5.
11. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1970). Теория упругости (второе изд.). Pergamon Press. ISBN 9780080064659.
12. Toupin, RA; Bernstein, B. (1961). «Звуковые волны в деформированных идеально упругих материалах. Акустоупругий эффект». Журнал акустического общества Америки . 33 (2): 216–225. Bibcode : 1961ASAJ...33..216T. doi : 10.1121/1.1908623. ISSN  0001-4966.
13. Бланд, DR, Нелинейная динамическая упругость , Blaisdell Waltham, (1969)
14. Сухуби, ES, Эринген, AC, Эластодинамика , Academic press New York, (1974)
15. Смит, РТ; Стерн, Р.; Стивенс, РВБ (1966). «Модули упругости третьего порядка поликристаллических металлов по измерениям ультразвуковой скорости». Журнал акустического общества Америки . 40 (5): 1002–1008. Bibcode : 1966ASAJ...40.1002S. doi : 10.1121/1.1910179 . ISSN  0001-4966.
16. Crecraft, DI (1967). «Измерение приложенных и остаточных напряжений в металлах с использованием ультразвуковых волн». Journal of Sound and Vibration . 5 (1): 173–192. Bibcode : 1967JSV.....5..173C. doi : 10.1016/0022-460X(67)90186-1. ISSN  0022-460X.
17. Egle, DM; Bray, DE (1976). "Измерение акустоупругих и упругих постоянных третьего порядка рельсовой стали". Журнал Акустического общества Америки . 59 (S1): S32. Bibcode : 1976ASAJ...59...32E. doi : 10.1121/1.2002636 . ISSN  0001-4966.
18. Abiza, Z.; Destrade, M.; Ogden, RW (2012). «Большой акустоупругий эффект». Wave Motion . 49 (2): 364–374. arXiv : 1302.4555 . Bibcode : 2012WaMot..49..364A. doi : 10.1016/j.wavemoti.2011.12.002. ISSN  0165-2125. S2CID  119244072.
19. Gennisson, J.-L.; Rénier, M.; Catheline, S.; Barrière, C.; Bercoff, J.; Tanter, M.; Fink, M. (2007). «Акустоупругость в мягких твердых телах: оценка нелинейного модуля сдвига с помощью акустической радиационной силы». Журнал акустического общества Америки . 122 (6): 3211–3219. Bibcode : 2007ASAJ..122.3211G. doi : 10.1121/1.2793605. ISSN  0001-4966. PMID  18247733.
20. Цзюнь Ву; Вэй Хэ; Вэй-минь Чен; Лянь Чжу (2013). «Исследование моделирования и эксперимента по неинвазивному мониторингу внутричерепного давления на основе эффектов акустоупругости». Медицинские приборы: доказательства и исследования . 6 : 123–131. doi : 10.2147/MDER.S47725 . PMC 3758219. PMID  24009433 . 
21. Дуэнвальд, Сара; Кобаяши, Хирохито; Фриш, Кайт; Лейкс, Родерик; Вандерби, Рэй (2011). «Ультразвуковое эхо связано со стрессом и деформацией сухожилий». Журнал биомеханики . 44 (3): 424–429. doi :10.1016/j.jbiomech.2010.09.033. ISSN  0021-9290. PMC 3022962. PMID 21030024  .