топология Александрова

В топологии топология Александрова — это топология , в которой пересечение каждого семейства открытых множеств открыто. Аксиома топологии заключается в том, что пересечение каждого конечного семейства открытых множеств открыто; в топологиях Александрова квалификатор конечности опускается.

Множество вместе с топологией Александрова известно как дискретное по Александрову пространство или конечно порожденное пространство .

Топологии Александрова однозначно определяются их предпорядками специализации . Действительно, для любого предпорядка ≤ на множестве X существует уникальная топология Александрова на X , для которой предпорядок специализации равен ≤. Открытые множества — это просто верхние множества относительно ≤. Таким образом, топологии Александрова на X находятся во взаимно однозначном соответствии с предпорядками на X.

Дискретные пространства Александрова также называются конечно порожденными пространствами, поскольку их топология однозначно определяется семейством всех конечных подпространств. Дискретные пространства Александрова, таким образом, можно рассматривать как обобщение конечных топологических пространств .

В связи с тем, что прообразы коммутируют с произвольными объединениями и пересечениями, свойство быть дискретным по Александрову пространством сохраняется при частных .

Дискретные пространства Александрова названы в честь русского тополога Павла Александрова . Их не следует путать с более геометрическими пространствами Александрова, введенными русским математиком Александром Даниловичем Александровым .

Характеристика топологий Александрова

Топологии Александрова имеют многочисленные характеристики. Пусть X = < X , T > — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

• Характеристики открытых и закрытых множеств:
  • Открытое множество. Произвольное пересечение открытых множеств в X открыто.
  • Замкнутое множество. Произвольное объединение замкнутых множеств в X замкнуто.
• Характеристики района:
  • Наименьшая окрестность. Каждая точка X имеет наименьшую окрестность .
  • Фильтр соседства. Фильтр соседства каждой точки в X замкнут относительно произвольных пересечений.
• Внутренние и замыкающие алгебраические характеристики:
  • Внутренний оператор . Внутренний оператор X распределяет по произвольным пересечениям подмножеств.
  • Оператор замыкания. Оператор замыкания X распределяется по произвольным объединениям подмножеств.
• Характеристики предварительного заказа:
  • Предварительный порядок специализации. T — это наилучшая топология, согласующаяся с предварительным порядком специализации X , т.е. наилучшая топология, дающая предварительный порядок ≤ , удовлетворяющий x ≤ y, тогда и только тогда, когда x находится в замыкании { y } в X.
  • Открытое множество вверх. Существует предпорядок ≤ такой, что открытые множества X — это в точности те, которые являются замкнутыми вверх, т.е. если x есть в множестве и x ≤ y , то y есть в множестве. (Этот предпорядок будет в точности предпорядком специализации.)
  • Замкнутое вниз множество. Существует предпорядок ≤ такой, что замкнутые множества X — это в точности те, которые замкнуты вниз, т.е. если x есть в множестве и y ≤ x, то y есть в множестве. (Этот предпорядок будет в точности предпорядком специализации.)
  • Замыкание вниз. Точка x лежит в замыкании подмножества S множества X тогда и только тогда, когда существует точка y в S такая, что x ≤ y , где ≤ — предпорядок специализации, т. е. x лежит в замыкании { y }.
• Конечное поколение и теоретико-категорные характеристики:
  • Конечное замыкание. Точка x лежит в замыкании подмножества S множества X тогда и только тогда, когда существует конечное подмножество F множества S, такое что x лежит в замыкании F. (Это конечное подмножество всегда можно выбрать как синглтон.)
  • Конечное подпространство. T согласовано с конечными подпространствами X.
  • Конечное отображение включения. Отображения включения f _i  : X _i → X конечных подпространств X образуют конечный сток.
  • Конечное порождение. X конечно порождено, т.е. находится в конечной оболочке конечных пространств. (Это означает, что существует конечный сток f _i  : X _i → X , где каждое X _i является конечным топологическим пространством.)

Топологические пространства, удовлетворяющие приведенным выше эквивалентным характеристикам, называются конечно порожденными пространствами или дискретными по Александрову пространствами , а их топология T называется топологией Александрова .

Эквивалентность с предупорядоченными наборами

Топология Александрова на предупорядоченном множестве

Учитывая предупорядоченный набор, мы можем определить топологию Александрова на X , выбрав открытые множества в качестве верхних множеств : ${\displaystyle \mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =\{\,G\subseteq X:\forall x,y\in X\ \ (x\in G\ \land \ x\leq y)\ \implies \ y\in G\,\}}$

Таким образом, мы получаем топологическое пространство . ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle }$

Соответствующие замкнутые множества являются нижними множествами :

${\displaystyle \{\,S\subseteq X:\forall x,y\in X\ \ (x\in S\ \land \ y\leq x)\ \implies \ y\in S\,\}}$

Предварительный порядок специализации на топологическом пространстве

Для топологического пространства X = < X , T > предварительный порядок специализации на X определяется следующим образом:

x ≤ y тогда и только тогда, когда x находится в замыкании { y }.

Таким образом, мы получаем предупорядоченное множество W ( X ) = < X , ≤>.

Эквивалентность между предпорядками и топологиями Александрова

Для каждого предупорядоченного множества X = < X , ≤> мы всегда имеем W ( T ( X )) = X , т.е. предпорядок X восстанавливается из топологического пространства T ( X ) как предпорядок специализации. Более того, для каждого дискретного пространства Александрова X мы имеем T ( W ( X )) = X , т.е. топология Александрова X восстанавливается как топология, индуцированная предпорядком специализации.

Однако для топологического пространства в общем случае мы не имеем T ( W ( X )) = X . Скорее T ( W ( X )) будет множеством X с более тонкой топологией, чем у X (т.е. оно будет иметь больше открытых множеств). Топология T ( W ( X )) индуцирует тот же предпорядок специализации, что и исходная топология пространства X , и фактически является наилучшей топологией на X с этим свойством.

Эквивалентность между монотонностью и непрерывностью

Дана монотонная функция

ф  :  X → Y

между двумя предупорядоченными наборами (т.е. функцией

ф  :  X → Y

между базовыми множествами, такими что x  ≤  y в X влечет f ( x ) ≤  f ( y ) в Y ), пусть

Т ( ф ) :  Т ( X )→ Т ( Y )

будет тем же отображением, что и f, рассматриваемое как отображение между соответствующими пространствами Александрова. Тогда T ( f ) является непрерывным отображением .

Наоборот, если задано непрерывное отображение

г :  X → Y

между двумя топологическими пространствами, пусть

W ( г ) :  W ( X )→ W ( Y )

будет той же картой, что и g, рассматриваемая как карта между соответствующими предупорядоченными множествами. Тогда W ( g ) является монотонной функцией.

Таким образом, отображение между двумя предупорядоченными множествами является монотонным тогда и только тогда, когда оно является непрерывным отображением между соответствующими дискретными пространствами Александрова. Обратно, отображение между двумя дискретными пространствами Александрова является непрерывным тогда и только тогда, когда оно является монотонной функцией между соответствующими предупорядоченными множествами.

Однако следует отметить, что в случае топологий, отличных от топологии Александрова, мы можем иметь отображение между двумя топологическими пространствами, которое не является непрерывным, но которое, тем не менее, все еще является монотонной функцией между соответствующими предупорядоченными множествами. (Чтобы увидеть это, рассмотрим недискретное по Александрову пространство X и рассмотрим тождественное отображение i  :  X → T ( W ( X )).)

Категориальное теоретико-описание эквивалентности

Пусть Set обозначает категорию множеств и отображений . Пусть Top обозначает категорию топологических пространств и непрерывных отображений ; и пусть Pro обозначает категорию предупорядоченных множеств и монотонных функций . Тогда

T  :  Pro → Top и

W  :  Верх → Про

являются конкретными функторами над Set , которые являются левыми и правыми сопряженными соответственно.

Пусть Alx обозначает полную подкатегорию Top, состоящую из дискретных пространств Александрова. Тогда ограничения

T  :  Pro → Alx и

W  :  Alx → Про

являются обратными конкретными изоморфизмами над Set .

Alx на самом деле является бикорефлективной подкатегорией Top с бикорефлектором T ◦ W  :  Top → Alx . Это означает , что для заданного топологического пространства X тождественное отображение

я  :  Т ( Ш ( X ))→ X

является непрерывным и для каждого непрерывного отображения

ф  :  Y → X

где Y — дискретное пространство Александрова, композиция

я  ⁻¹ ◦ f  :  Y → T ( W ( X ))

является непрерывным.

Связь с построением модальных алгебр из модальных фреймов

Для заданного упорядоченного множества X внутренний оператор и оператор замыкания T ( X ) задаются следующим образом:

Int ( S ) = { x  ∈ S : для всех y  ∈ X, x  ≤  y влечет y  ∈ S }, и

Cl ( S ) = { x  ∈ X : существует y  ∈ S с x  ≤  y }

для всех S  ⊆  X.

Рассматривая внутренний оператор и оператор замыкания как модальные операторы на булевой алгебре множества мощности X , эта конструкция является частным случаем конструкции модальной алгебры из модальной рамки, т . е. из множества с одним бинарным отношением . (Последняя конструкция сама по себе является частным случаем более общей конструкции комплексной алгебры из реляционной структуры , т. е. множества с определенными на нем отношениями.) Класс модальных алгебр, который мы получаем в случае предупорядоченного множества, является классом внутренних алгебр — алгебраических абстракций топологических пространств.

Характеристики

Каждое подпространство дискретного по Александрову пространства является дискретным по Александрову. ^[1]

Произведение двух дискретных по Александрову пространств является дискретным по Александрову. ^[2]

Каждая топология Александрова удовлетворяет первой аксиоме счетности .

Всякая топология Александрова локально компактна в том смысле, что каждая точка имеет локальную базу компактных окрестностей, поскольку наименьшая окрестность точки всегда компактна. ^[3] Действительно, если — наименьшая (открытая) окрестность точки , то само по себе с топологией подпространства любое открытое покрытие содержит окрестность , включенную в . Такая окрестность обязательно равна , поэтому открытое покрытие допускает в качестве конечного подпокрытия. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U\}}$

Каждая топология Александрова локально линейно связна . ^{[4] [5]}

История

Пространства Александрова были впервые введены в 1937 году П. С. Александровым под названием дискретные пространства , где он дал характеристики в терминах множеств и окрестностей. ^[6] Название дискретные пространства позже стало использоваться для топологических пространств, в которых каждое подмножество открыто, а исходная концепция осталась забытой в топологической литературе. С другой стороны, пространства Александрова сыграли важную роль в пионерских исследованиях Эйстейна Оре по системам замыкания и их связям с теорией решеток и топологией. ^[7]

С развитием категорной топологии в 1980-х годах пространства Александрова были переоткрыты, когда концепция конечной генерации была применена к общей топологии, и для них было принято название конечно порожденные пространства . Пространства Александрова также были переоткрыты примерно в то же время в контексте топологий, вытекающих из денотационной семантики и теории доменов в информатике .

В 1966 году Майкл С. МакКорд и А. К. Штейнер независимо друг от друга наблюдали эквивалентность между частично упорядоченными множествами и пространствами, которые были в точности версиями T 0 пространств, введенных Александровым. ^{[8] [9]} П. Т. Джонстон называл такие топологии топологиями Александрова . ^[10] Ф. Г. Аренас независимо предложил это название для общей версии этих топологий. ^[11] МакКорд также показал, что эти пространства являются слабо гомотопически эквивалентными порядковому комплексу соответствующего частично упорядоченного множества. Штейнер продемонстрировал, что эквивалентность является контравариантным решеточным изоморфизмом, сохраняющим произвольные пересечения и соединения, а также дополнение.

Также был хорошо известен результат в области модальной логики , что существует эквивалентность между конечными топологическими пространствами и предпорядками на конечных множествах (конечные модальные рамки для модальной логики S4 ). А. Гжегорчик заметил, что это распространяется на эквивалентность между тем, что он называл полностью дистрибутивными пространствами и предпорядками. К. Натурман заметил, что эти пространства являются дискретными пространствами Александрова, и расширил результат до теоретико-категорной эквивалентности между категорией дискретных пространств Александрова и (открытыми) непрерывными отображениями, а также категорией предпорядков и (ограниченных) монотонных отображений, предоставляя предпорядковые характеристики, а также внутренние и замыкающие алгебраические характеристики. ^[12]

Систематическое исследование этих пространств с точки зрения общей топологии, которое игнорировалось со времени оригинальной статьи Александрова, было продолжено Ф. Г. Аренасом. ^[11]

Смотрите также

• P -пространство , пространство, удовлетворяющее более слабому условию, что счетные пересечения открытых множеств являются открытыми

Ссылки

1. Шпеер 2007, Теорема 7.
2. Аренас 1999, Теорема 2.2.
3. Спир, Тимоти (16 августа 2007 г.). «Краткое исследование пространств Александрова». arXiv : 0708.2136 [math.GN].Теорема 5
4. "Являются ли минимальные окрестности в топологии Александрова линейно-связными?". Mathematics Stack Exchange .
5. Аренас 1999, Теорема 2.8.
6. Александров, П. (1937). «Дискретное пространство». Мат. Сб . Новая серия (на немецком языке). 2 : 501–518.
7. O. Ore, Некоторые исследования по замыкающим отношениям , Duke Math. J. 10 (1943), 761–785. См. Marcel Erné, Замыкание , в Frédéric Mynard, Elliott Pearl (редакторы), Beyond Topology , Contemporary Mathematics vol. 486, American Mathematical Society, 2009, p.170ff
8. МакКорд, М. К. (1966). «Сингулярные гомологии и гомотопические группы конечных топологических пространств». Duke Mathematical Journal . 33 (3): 465–474. doi :10.1215/S0012-7094-66-03352-7.
9. Штайнер, АК (1966). «Решетка топологий: структура и дополнение». Труды Американского математического общества . 122 (2): 379–398. doi : 10.2307/1994555 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1994555.
10. Джонстон, ПТ (1986). Каменные пространства (1-е издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33779-3.
11. Аренас, ФГ (1999). "Александровы пространства" (PDF) . Acta Math. Univ. Comeniae . 68 (1): 17–25.
12. Naturman, CA (1991). Внутренние алгебры и топология . Кандидатская диссертация, математический факультет Кейптаунского университета.