Анализ матрицы переноса лучей

Метод трассировки лучей

Анализ матрицы переноса лучей (также известный как анализ матрицы ABCD ) — это математическая форма для выполнения вычислений трассировки лучей в достаточно простых задачах, которые могут быть решены с учетом только параксиальных лучей. Каждый оптический элемент (поверхность, интерфейс, зеркало или перемещение луча) описывается матрицей переноса лучей 2 × 2 , которая работает с вектором, описывающим входящий световой луч , для вычисления исходящего луча. Умножение последовательных матриц, таким образом, дает краткую матрицу переноса лучей, описывающую всю оптическую систему. Та же математика используется также в физике ускорителей для отслеживания частиц через магнитные установки ускорителя частиц , см. электронную оптику .

Этот метод, как описано ниже, выводится с использованием параксиального приближения , которое требует, чтобы все направления лучей (направления, нормальные к волновым фронтам) находились под малыми углами θ относительно оптической оси системы, так что приближение sin θ ≈ θ остается действительным. Малое θ также подразумевает, что поперечная протяженность пучков лучей ( x и y ) мала по сравнению с длиной оптической системы (таким образом, «параксиальная»). Поскольку приличная система визуализации, где это не так для всех лучей, все равно должна правильно фокусировать параксиальные лучи, этот матричный метод будет правильно описывать положения фокальных плоскостей и увеличения, однако аберрации все еще необходимо оценивать с использованием методов полной трассировки лучей . ^[1]

Определение матрицы

При анализе матрицы переноса лучей (ABCD) оптический элемент (в данном случае толстая линза) осуществляет преобразование между ( x ₁ , θ ₁ ) на входной плоскости и ( x ₂ , θ ₂ ) , когда луч достигает выходной плоскости.

Метод трассировки лучей основан на двух опорных плоскостях, называемых входной и выходной плоскостями, каждая из которых перпендикулярна оптической оси системы. В любой точке вдоль оптического поезда определяется оптическая ось, соответствующая центральному лучу; этот центральный луч распространяется, чтобы определить оптическую ось далее в оптическом поезде, которая не обязательно должна быть в том же физическом направлении (например, при изгибе призмой или зеркалом). Поперечные направления x и y (ниже мы рассматриваем только направление x ) затем определяются как ортогональные к применяемым оптическим осям. Световой луч входит в компонент, пересекающий его входную плоскость на расстоянии x ₁ от оптической оси, двигаясь в направлении, которое составляет угол θ ₁ с оптической осью. После распространения к выходной плоскости этот луч находится на расстоянии x ₂ от оптической оси и под углом θ ₂ по отношению к ней. n ₁ и n ₂ являются показателями преломления сред во входной и выходной плоскости соответственно.

Матрица ABCD, представляющая компонент или систему, связывает выходной луч с входным в соответствии с соотношением, где значения 4 элементов матрицы, таким образом, задаются как и $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle A=\left.{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad B=\left.{\frac {x_{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0},}$$ $${\displaystyle C=\left.{\frac {\theta _{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad D=\left.{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0}.}$$

Это связывает лучевые векторы на входной и выходной плоскостях с помощью матрицы передачи лучей ( RTM ) M , которая представляет собой оптический компонент или систему, присутствующую между двумя опорными плоскостями. Аргумент термодинамики , основанный на излучении черного тела ^{[ требуется ссылка ],} можно использовать для того, чтобы показать, что детерминант RTM представляет собой отношение показателей преломления: $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={\frac {n_{1}}{n_{2}}}.}$$

В результате, если входная и выходная плоскости расположены в одной и той же среде или в двух разных средах, имеющих одинаковые показатели преломления, то определитель M просто равен 1.

Можно использовать другое соглашение для векторов луча. Вместо использования θ ≈ sin θ , второй элемент вектора луча равен n  sin θ , ^[2] который пропорционален не углу луча как таковому, а поперечной составляющей волнового вектора . Это изменяет матрицы ABCD, приведенные в таблице ниже, где задействовано преломление на границе раздела.

Использование матриц переноса таким образом соответствуетМатрицы 2 × 2 , описывающие электронные двухполюсники , в частности, различные так называемые матрицы ABCD, которые можно аналогичным образом перемножать для решения задач каскадных систем.

Некоторые примеры

Пример свободного пространства

В качестве одного примера, если между двумя плоскостями есть свободное пространство, матрица переноса лучей определяется как: где d — это расстояние разделения (измеренное вдоль оптической оси) между двумя опорными плоскостями. Уравнение переноса лучей, таким образом, становится: и это связывает параметры двух лучей как: $${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&={\hphantom {x_{1}+d}}\theta _{1}\end{aligned}}}$$

Пример тонкой линзы

Другой простой пример — тонкая линза . Ее RTM определяется как: где f — фокусное расстояние линзы. Для описания комбинаций оптических компонентов матрицы переноса лучей могут быть перемножены, чтобы получить общий RTM для составной оптической системы. Для примера свободного пространства длиной d, за которым следует линза с фокусным расстоянием f : $${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\-{\frac {1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}.}$$

Обратите внимание, что, поскольку умножение матриц некоммутативно , это не тот же RTM, что и для линзы, за которой следует свободное пространство: $${\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}.}$$

Таким образом, матрицы должны быть упорядочены соответствующим образом, с последней матрицей, предварительно умноженной на предпоследнюю, и так далее, пока первая матрица не будет предварительно умножена на вторую. Другие матрицы могут быть построены для представления интерфейсов со средами с различными показателями преломления , отражения от зеркал и т. д.

Собственные значения

Матрицу переноса лучей можно рассматривать как линейное каноническое преобразование . Согласно собственным значениям оптической системы, система может быть классифицирована на несколько классов. ^[3] Предположим, что матрица ABCD, представляющая систему, связывает выходной луч с входным согласно $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {T} \mathbf {v} .}$$

Мы вычисляем собственные значения матрицы , удовлетворяющие собственному уравнению, вычисляя определитель ${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle [{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{bmatrix}}\mathbf {v} =0,}$$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0.}$$

Пусть , и у нас есть собственные значения . ${\displaystyle m={\frac {(A+D)}{2}}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}}$

В зависимости от значений и возможны несколько случаев. Например: ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

1. Пара действительных собственных значений: и , где . Этот случай представляет собой лупу ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle r\neq 1}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}}$
2. ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}$или . Этот случай представляет собой единичную матрицу (или с дополнительным ревертером координат) . ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=-1}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$
3. ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1}$. Этот случай имеет место, если (но не только) система является либо единичным оператором, либо секцией свободного пространства, либо линзой.
4. Пара из двух унимодулярных, комплексно сопряженных собственных значений и . Этот случай аналогичен разделимому дробному преобразованию Фурье . ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle e^{-i\theta }}$

Матрицы для простых оптических компонентов

Связь между геометрической лучевой оптикой и волновой оптикой

Теория линейного канонического преобразования подразумевает связь между матрицей переноса лучей ( геометрическая оптика ) и волновой оптикой. ^[6]

Обычное разложение

Существует бесконечное количество способов разложить матрицу переноса лучей на конкатенацию нескольких матриц переноса. Например, в частном случае, когда : ${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle n_{1}=n_{2}}$

1. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\D/B&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}B&0\\0&1/B\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\A/B&1\end{array}}\right]}$.
2. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/A&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}A&0\\0&A^{-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&B/A\\0&1\end{array}}\right]}$
3. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&A/C\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}-C^{-1}&0\\0&-C\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&D/C\\0&1\end{array}}\right]}$
4. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&B/D\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}D^{-1}&0\\0&D\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/D&1\end{array}}\right]}$

Устойчивость резонатора

Анализ RTM особенно полезен при моделировании поведения света в оптических резонаторах , например, используемых в лазерах. В простейшем случае оптический резонатор состоит из двух идентичных обращенных друг к другу зеркал со 100%-ной отражательной способностью и радиусом кривизны R , разделенных некоторым расстоянием d . Для целей трассировки лучей это эквивалентно серии идентичных тонких линз с фокусным расстоянием f = R /2 , каждая из которых отделена от следующей длиной d . Такая конструкция известна как эквивалентный линзе канал или эквивалентный линзе волновод . RTM каждой секции волновода, как указано выше, $${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}.}$$

Анализ RTM теперь можно использовать для определения устойчивости волновода (и, что эквивалентно, резонатора). То есть, можно определить, при каких условиях свет, проходящий по волноводу, будет периодически перефокусироваться и оставаться внутри волновода. Для этого мы можем найти все «собственные лучи» системы: входной вектор луча в каждой из упомянутых секций волновода, умноженный на действительный или комплексный множитель λ, равен выходному. Это дает: что является уравнением собственных значений : где $${\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0,}$$ ${\textstyle \mathbf {I} =\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$ Единичная матрица 2 × 2 .

Переходим к вычислению собственных значений матрицы переноса: что приводит к характеристическому уравнению , где — след RTM , а — определитель RTM . После одной общей подстановки имеем: где — параметр устойчивости . Собственные значения являются решениями характеристического уравнения. Из квадратичной формулы находим $${\displaystyle \det \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0,}$$ $${\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\det(\mathbf {M} )=0,}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{\frac {d}{f}}}$$ $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC=1}$$ $${\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0,}$$ $${\displaystyle g{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {\operatorname {tr} (\mathbf {M} )}{2}}=1-{\frac {d}{2f}}}$$ $${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}.}$$

Теперь рассмотрим луч после прохождения N через систему: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$

Если волновод устойчив, то ни один луч не должен отклоняться сколь угодно далеко от главной оси, то есть λ ^N не должен расти без ограничений. Предположим . Тогда оба собственных значения действительны. Поскольку , одно из них должно быть больше 1 (по абсолютной величине), что означает, что луч, соответствующий этому собственному вектору, не будет сходиться. Следовательно, в устойчивом волноводе , и собственные значения можно представить комплексными числами: с заменой g = cos( ϕ ) . ${\displaystyle g^{2}>1}$ ${\displaystyle \lambda _{+}\lambda _{-}=1}$ ${\displaystyle g^{2}\leq 1}$ $${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi },}$$

Для пусть и будут собственными векторами относительно собственных значений и соответственно, которые охватывают все векторное пространство, поскольку они ортогональны, последнее из-за . Таким образом, входной вектор можно записать как для некоторых констант и . ${\displaystyle g^{2}<1}$ ${\displaystyle r_{+}}$ ${\displaystyle r_{-}}$ ${\displaystyle \lambda _{+}}$ ${\displaystyle \lambda _{-}}$ ${\displaystyle \lambda _{+}\neq \lambda _{-}}$ $${\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-},}$$ ${\displaystyle c_{+}}$ ${\displaystyle c_{-}}$

После N волноводных секторов на выходе получаем сигнал , представляющий собой периодическую функцию. $${\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-},}$$

Гауссовы пучки

Те же матрицы можно использовать для расчета эволюции гауссовых пучков ^[7] , распространяющихся через оптические компоненты, описываемые теми же матрицами передачи. Если у нас есть гауссовский пучок с длиной волны , радиусом кривизны R (положительным для расходящегося, отрицательным для сходящегося), размером пятна пучка w и показателем преломления n , можно определить комплексный параметр пучка q следующим образом: ^[8] ${\displaystyle \lambda _{0}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}.}$$

( R , w и q являются функциями положения.) Если ось пучка расположена в направлении z с перетяжкой в ​​точке z ₀ и диапазоном Рэлея z _R , это можно эквивалентно записать как ^[8] $${\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}.}$$

Этот луч может распространяться через оптическую систему с заданной матрицей передачи луча, используя уравнение ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]} : где k — константа нормализации, выбранная для сохранения второго компонента вектора луча равным 1. Используя умножение матриц , это уравнение расширяется как $${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=k(Aq_{1}+B)\\1&=k(Cq_{1}+D)\,.\end{aligned}}}$$

Деление первого уравнения на второе устраняет константу нормировки: $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}},}$$

Часто бывает удобно выразить это последнее уравнение в обратной форме: $${\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {C+D/q_{1}}{A+B/q_{1}}}.}$$

Пример: Свободное место

Рассмотрим луч, проходящий расстояние d через свободное пространство, матрица переноса луча и, таким образом, согласуется с выражением выше для обычного распространения гауссовского луча, т.е. . По мере распространения луча изменяются как радиус, так и перетяжка. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d}$$ ${\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}}$

Пример: Тонкая линза

Рассмотрим луч, проходящий через тонкую линзу с фокусным расстоянием f . Матрица передачи луча равна и поэтому Затрагивается только действительная часть 1/ q : кривизна волнового фронта 1/ R уменьшается на силу линзы 1/ f , в то время как поперечный размер луча w остается неизменным после выхода из тонкой линзы. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}.}$$

Матрицы более высокого ранга

Методы, использующие матрицы переноса более высокой размерности, то есть3 × 3 ,4 × 4 и6 × 6 , также используются в оптическом анализе. ^[9] В частности,Матрицы распространения 4 × 4 используются при проектировании и анализе призматических последовательностей для сжатия импульсов в фемтосекундных лазерах . ^[5]

Смотрите также

• Метод трансфер-матрицы (оптика)
• Линейное каноническое преобразование

Сноски

1. Расширение матричных методов для трассировки (непараксиальных) меридиональных лучей описано Нуссбаумом (1992).
2. Джеррард и Берч (1994), стр. 27, называемые «оптическим направляющим косинусом».
3. Бастианс и Алиева (2007).
4. Хехт (2002).
5. Дуарте (2003), Глава 6
6. Назарати и Шамир (1982).
7. Рашидиан Вазири, Хаджисмаилбаиги и Малеки (2013).
8. C. Tim Lei. "Физика 4510 Веб-страница оптики".особенно Глава 5 ^{[ самостоятельно опубликованный источник ]}
9. Брауэр (1964); Зигман (1986); Волльник (1987).

Ссылки

• Bastiaans, Martin J.; Alieva, Tatiana (14 марта 2007 г.). "Классификация оптических систем первого порядка без потерь и линейное каноническое преобразование" (PDF) . Journal of the Optical Society of America A . 24 (4): 1053–1062. Bibcode :2007JOSAA..24.1053B. doi :10.1364/josaa.24.001053. PMID  17361291.
• Брауэр, В. (1964). Матричные методы в проектировании оптических приборов . Нью-Йорк: Benjamin. Bibcode :1964mmoi.book.....B.
• Дуарте, Ф. Дж. (2003). Настраиваемая лазерная оптика . Нью-Йорк: Elsevier-Academic.
• Джеррард, А.; Берч, Дж. М. (1994) [1975]. Введение в матричные методы в оптике (ред. Довер). Dover Publications. ISBN 0-486-68044-4.
• Хехт, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Эддисон Уэсли.
• Назарати, Моше; Шамир, Джозеф (1 марта 1982 г.). «Оптика первого порядка — каноническое операторное представление: системы без потерь». Журнал оптического общества Америки . 72 (3): 356. doi :10.1364/josa.72.000356.
• Нуссбаум, Аллен (1 марта 1992 г.). «Модернизация преподавания передовой геометрической оптики» (PDF) . Proc. SPIE 1603. Образование в области оптики, 1991. Ленинград, Российская Федерация: SPIE . С. 389–400.
• Рашидиан Вазири, MR; Хаджиесмаилбайги, Ф.; Малеки (2013). "Новая модель воздуховода для анализа распространения гауссова пучка в нелинейных керровских средах и ее применение к пространственным фазовым автомодуляциям". Журнал оптики . 15 (3): 035202. Bibcode : 2013JOpt...15c5202R. doi : 10.1088/2040-8978/15/3/035202.
• Сигман, Энтони Э. (1986). Лазеры . Милл-Вэлли, Калифорния: University Science Books.
• Wollnik, H. (1987). Оптика заряженных частиц . Нью-Йорк: Academic.

Дальнейшее чтение

• Салех, Бахаа EA; Тейх, Малвин Карл (1991). "1.4: Матричные операции". Основы фотоники . Нью-Йорк: John Wiley & Sons.

Внешние ссылки

• Толстые линзы (матричные методы)
• Учебное пособие по матрицам ABCD Содержит пример системной матрицы всей системы.
• Калькулятор ABCD Интерактивный калькулятор для решения матриц ABCD.