Аналитическая полугруппа

В математике аналитическая полугруппа — это особый вид сильно непрерывной полугруппы . Аналитические полугруппы используются при решении уравнений с частными производными ; по сравнению с сильно непрерывными полугруппами аналитические полугруппы обеспечивают лучшую регулярность решений задач начального значения , лучшие результаты относительно возмущений бесконечно малого генератора и связь между типом полугруппы и спектром бесконечно малого генератора.

Определение

Пусть Γ( t ) = exp( At ) — сильно непрерывная однопараметрическая полугруппа на банаховом пространстве ( X , ||·||) с инфинитезимальным генератором A . Говорят, что Γ является аналитической полугруппой , если

• для некоторого 0 <  θ  < π/ 2 непрерывный линейный оператор exp( At ) :  X  →  X может быть расширен до t  ∈ Δ _θ  ,

${\displaystyle \Delta _{\theta }=\{0\}\cup \{t\in \mathbb {C} :|\mathrm {arg} (t)|<\theta \},}$

и обычные условия полугруппы выполняются для s ,  t  ∈ Δ _θ  : exp( A 0) = id, exp( A ( t  +  s )) = exp( At ) exp( As ), и для каждого x  ∈  X exp ( At ) x непрерывен по t ;

• и для всех t  ∈ Δ _θ  \ {0} exp( At ) аналитичен по t в смысле равномерной операторной топологии .

Характеристика

Инфинитно малые генераторы аналитических полугрупп имеют следующую характеристику:

Замкнутый , плотно определенный линейный оператор A в банаховом пространстве X является генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда существует ω ∈  R  такое , что полуплоскость Re( λ ) >  ω содержится в резольвентном множестве оператора A , и, более того, существует константа C такая, что для резольвенты оператора A имеем ${\displaystyle R_{\lambda }(A)}$

${\displaystyle \|R_{\lambda }(A)\|\leq {\frac {C}{|\lambda -\omega |}}}$

для Re( λ ) >  ω . Такие операторы называются секториальными . Если это так, то резольвентное множество фактически содержит сектор вида

${\displaystyle \left\{\lambda \in \mathbf {C} :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|<{\frac {\pi }{2}}+\delta \right\}}$

для некоторого δ  > 0, и аналогичная резольвентная оценка имеет место в этом секторе. Более того, полугруппа представляется как

${\displaystyle \exp(At)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }e^{\lambda t}(\lambda \mathrm {id} -A)^{-1}\,\mathrm {d} \lambda ,}$

где γ — любая кривая от e ^{− iθ} ∞ до e ^{+ iθ} ∞ такая, что γ полностью лежит в секторе

${\displaystyle {\big \{}\lambda \in \mathbf {C} :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|\leq \theta {\big \}},}$

при этом π/ 2 <  θ  < π/ 2 +  δ .

Ссылки

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт К. (2004). Введение в уравнения с частными производными . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. МР  2028503.