Аналоговая обработка сигнала — это тип обработки сигнала, проводимой над непрерывными аналоговыми сигналами некоторыми аналоговыми средствами (в отличие от дискретной цифровой обработки сигнала , где обработка сигнала выполняется цифровым процессом). «Аналоговый» означает что-то, что математически представлено как набор непрерывных значений. Это отличается от «цифрового», который использует ряд дискретных величин для представления сигнала. Аналоговые значения обычно представляются как напряжение , электрический ток или электрический заряд вокруг компонентов в электронных устройствах. Ошибка или шум, влияющие на такие физические величины, приведут к соответствующей ошибке в сигналах, представленных такими физическими величинами.
Примерами аналоговой обработки сигнала являются кроссоверные фильтры в громкоговорителях, регуляторы "баса", "высоких частот" и "громкости" на стереосистемах, а также регуляторы "оттенка" на телевизорах. Обычные элементы аналоговой обработки включают конденсаторы, резисторы и катушки индуктивности (как пассивные элементы) и транзисторы или операционные усилители (как активные элементы).
Поведение системы может быть математически смоделировано и представлено во временной области как h(t) и в частотной области как H(s), где s — комплексное число в форме s=a+ib, или s=a+jb в терминах электротехники (инженеры-электрики используют «j» вместо «i», потому что ток представлен переменной i). Входные сигналы обычно называются x(t) или X(s), а выходные сигналы обычно называются y(t) или Y(s).
Свертка — это базовая концепция обработки сигналов, которая утверждает, что входной сигнал может быть объединен с функцией системы для нахождения выходного сигнала. Это интеграл произведения двух волн после того, как одна из них была обращена и сдвинута; символ свертки — *.
Это интеграл свертки, который используется для нахождения свертки сигнала и системы; обычно a = -∞ и b = +∞.
Рассмотрим две формы волны f и g. Вычисляя свертку, мы определяем, насколько перевернутая функция g должна быть смещена вдоль оси x, чтобы стать идентичной функции f. Функция свертки по сути переворачивает и сдвигает функцию g вдоль оси и вычисляет интеграл их (f и перевернутой и сдвинутой g) продукции для каждой возможной величины скольжения. Когда функции совпадают, значение (f*g) максимизируется. Это происходит потому, что когда положительные области (пики) или отрицательные области (впадины) умножаются, они вносят вклад в интеграл.
Преобразование Фурье — это функция, которая преобразует сигнал или систему во временной области в частотную область, но она работает только для определенных функций. Ограничение на то, какие системы или сигналы могут быть преобразованы с помощью преобразования Фурье, заключается в следующем:
Это интеграл преобразования Фурье:
Обычно интеграл преобразования Фурье не используется для определения преобразования; вместо этого используется таблица пар преобразований для нахождения преобразования Фурье сигнала или системы. Обратное преобразование Фурье используется для перехода из частотной области во временную область:
Каждый сигнал или система, которые могут быть преобразованы, имеет уникальное преобразование Фурье. Существует только один временной сигнал для любого частотного сигнала, и наоборот.
Преобразование Лапласа является обобщенным преобразованием Фурье . Оно позволяет преобразовать любую систему или сигнал, поскольку это преобразование в комплексную плоскость, а не только линию jω, как преобразование Фурье. Главное отличие состоит в том, что преобразование Лапласа имеет область сходимости, для которой преобразование действительно. Это подразумевает, что сигнал по частоте может иметь более одного сигнала во времени; правильный временной сигнал для преобразования определяется областью сходимости . Если область сходимости включает ось jω, jω можно подставить в преобразование Лапласа вместо s, и это то же самое, что и преобразование Фурье. Преобразование Лапласа имеет вид:
и обратное преобразование Лапласа, если все особенности X(s) находятся в левой половине комплексной плоскости, равно:
Диаграммы Боде — это графики зависимости амплитуды от частоты и фазы от частоты для системы. Ось амплитуды измеряется в [децибелах] (дБ). Ось фазы измеряется в градусах или радианах. Оси частоты измеряются в [логарифмической шкале]. Они полезны, поскольку для синусоидальных входов выход представляет собой вход, умноженный на значение графика амплитуды на частоте и смещенный на значение графика фазы на частоте.
Это область, с которой большинство людей знакомо. График во временной области показывает амплитуду сигнала по отношению ко времени.
График в частотной области показывает либо сдвиг фазы, либо величину сигнала на каждой частоте, на которой он существует. Их можно найти, применив преобразование Фурье к временному сигналу, и они строятся аналогично графику Боде.
Хотя в аналоговой обработке сигналов можно использовать любой сигнал, существует множество типов сигналов, которые используются очень часто.
Синусоиды являются строительным блоком аналоговой обработки сигналов. Все сигналы реального мира могут быть представлены в виде бесконечной суммы синусоидальных функций с помощью ряда Фурье . Синусоидальная функция может быть представлена в виде экспоненты с помощью формулы Эйлера .
Импульс ( дельта-функция Дирака ) определяется как сигнал, имеющий бесконечную величину и бесконечно узкую ширину с площадью под ним, равной единице, с центром в нуле. Импульс можно представить как бесконечную сумму синусоид, которая включает все возможные частоты. В действительности невозможно сгенерировать такой сигнал, но его можно достаточно аппроксимировать с помощью большой амплитуды, узкого импульса, чтобы получить теоретическую импульсную характеристику в сети с высокой степенью точности. Символ для импульса - δ(t). Если импульс используется в качестве входа в систему, выход известен как импульсная характеристика. Импульсная характеристика определяет систему, поскольку все возможные частоты представлены на входе
Единичная ступенчатая функция, также называемая ступенчатой функцией Хевисайда , представляет собой сигнал, имеющий величину ноль до нуля и величину единицу после нуля. Символ единичного шага — u(t). Если шаг используется в качестве входа в систему, выход называется переходной реакцией. Переходная реакция показывает, как система реагирует на внезапный вход, похожий на включение переключателя. Период до стабилизации выходного сигнала называется переходной частью сигнала. Переходную реакцию можно умножить на другие сигналы, чтобы показать, как система реагирует на внезапное включение входа.
Функция единичного шага связана с дельта-функцией Дирака соотношением:
Линейность означает, что если у вас есть два входа и два соответствующих выхода, если вы возьмете линейную комбинацию этих двух входов, вы получите линейную комбинацию выходов. Примером линейной системы является фильтр нижних или верхних частот первого порядка. Линейные системы состоят из аналоговых устройств, которые демонстрируют линейные свойства. Эти устройства не обязательно должны быть полностью линейными, но должны иметь линейную область работы. Операционный усилитель является нелинейным устройством, но имеет линейную область работы, поэтому его можно смоделировать как линейное в этой области работы. Инвариантность ко времени означает, что неважно, когда вы запускаете систему, результат будет тот же. Например, если у вас есть система и вы подаете в нее вход сегодня, вы получите тот же выход, если запустите систему завтра. Нет никаких реальных систем, которые являются LTI, но многие системы можно смоделировать как LTI для простоты определения того, каким будет их выход. Все системы в некоторой степени зависят от таких вещей, как температура, уровень сигнала или других факторов, которые делают их нелинейными или неинвариантными во времени, но большинство из них достаточно стабильны, чтобы моделировать их как LTI. Линейность и инвариантность во времени важны, поскольку это единственные типы систем, которые можно легко решить с помощью обычных методов обработки аналоговых сигналов. Как только система становится нелинейной или неинвариантной во времени, она становится проблемой нелинейных дифференциальных уравнений, и очень немногие из них действительно могут быть решены. (Haykin & Van Veen 2003)
