Анатолий Борисович Каток ( 9 августа 1944 — 30 апреля 2018) — американский математик русско-еврейского [1] происхождения. [2] Каток был директором Центра динамики и геометрии в Университете штата Пенсильвания. Областью его исследований была теория динамических систем . [3] [4] [5]
Анатолий Каток окончил Московский государственный университет , где получил степень магистра в 1965 году и степень доктора философии в 1968 году (с диссертацией на тему «Применение метода аппроксимации динамических систем периодическими преобразованиями к эргодической теории» под руководством Якова Синая ). В 1978 году он иммигрировал в США. Он был женат на математике Светлане Каток , которая также работает над динамическими системами и участвовала с Катоком в программе MASS для студентов бакалавриата в Университете штата Пенсильвания. [3] [5]
В аспирантуре Каток (совместно с А. Степиным) разработал теорию периодических аппроксимаций сохраняющих меру преобразований, широко известную как аппроксимации Катка—Степина. Эта теория помогла решить некоторые проблемы, восходящие к фон Нейману и Колмогорову , и получила премию Московского математического общества в 1967 году. [3] [5]
Его следующим результатом стала теория монотонной (или какутани ) эквивалентности, которая основана на обобщении концепции изменения времени в потоках. Существуют конструкции в теории динамических систем, которые принадлежат Катоку. Среди них — конструкция Аносова — Катока гладких эргодических диффеоморфизмов компактных многообразий, сохраняющих площадь, конструкция диффеоморфизмов Бернулли с ненулевыми показателями Ляпунова на любой поверхности и первая конструкция инвариантного слоения, для которого теорема Фубини неверна наихудшим образом (Фубини неверна). [6] [5]
Совместно с Элоном Линденштрауссом и Манфредом Эйнзидлером Каток добился важного прогресса в гипотезе Литтлвуда в теории диофантовых приближений . [7]
Каток также был известен формулированием гипотез и проблем (за некоторые из которых он даже предлагал премии), которые повлияли на ряд работ в области динамических систем. Наиболее известной из них является гипотеза об энтропии Катока, которая связывает геометрические и динамические свойства геодезических потоков. Это одно из первых утверждений о жесткости в динамических системах. В последние два десятилетия Каток работал над другими явлениями жесткости и в сотрудничестве с несколькими коллегами внес вклад в гладкую жесткость и геометрическую жесткость, в дифференциальную и когомологическую жесткость гладких действий абелевых групп более высокого ранга и решеток в группах Ли более высокого ранга, в измерение жесткости для групповых действий и в неравномерно гиперболические действия абелевых групп более высокого ранга. [8] [5]
Работы Катока по топологическим свойствам неравномерно гиперболических динамических систем. Они включают плотность периодических точек и нижние границы их числа, а также исчерпание топологической энтропии подковами. Это были темы его лекции на Международном конгрессе математиков в 1983 году, а также лекции памяти Руфуса Боуэна в 1982 году в Калифорнийском университете в Беркли . [3] [5]
Сотрудничество Катока с его бывшим студентом Борисом Хассельблаттом привело к появлению книги « Введение в современную теорию динамических систем» , опубликованной издательством Cambridge University Press в 1995 году. Эта книга считается энциклопедией современных динамических систем и входит в число наиболее цитируемых публикаций в этой области. [9] [5]
Анатоль Каток был главным редактором журнала «Modern Dynamics» и членом редколлегий множества других престижных изданий, включая «Ergodic Theory and Dynamical Systems», «Cambridge Tracts in Mathematics» и «Cambridge Studies in Advanced Mathematics». [10] [5]
Каток занимал постоянные преподавательские должности на трех математических факультетах: в Мэрилендском университете (1978–1984), Калифорнийском технологическом институте (1984–1990) и с 1990 года в Университете штата Пенсильвания, где с 1996 года он занимал должность профессора имени Рэймонда Н. Шибли. Он консультировал 44 аспирантов по их диссертациям; в проекте «Генеалогия математики» перечислено большинство его аспирантов и 121 потомок. [3] [11]
В 1967 году Каток был удостоен премии Московского математического общества молодых математиков (совместно с А. Степиным и В. Оселедцем). [5] В 1983 году он был приглашенным докладчиком на Международном конгрессе математиков в Варшаве (его доклад назывался «Неравномерная гиперболичность и структура гладких динамических систем»). Каток стал членом Американской академии искусств и наук в 2004 году. В 2012 году он стал членом Американского математического общества . [3]