Аномалия, соответствующая условию

Принцип в квантовой теории поля

В квантовой теории поля условие соответствия аномалий [ ^1] Джерарда 'т Хоофта утверждает, что расчет любой хиральной аномалии для симметрии аромата не должен зависеть от того, какой масштаб выбран для расчета, если он выполняется с использованием степеней свободы теории в некотором энергетическом масштабе. Оно также известно как условие 'т Хоофта и условие соответствия аномалий УФ-ИК 'т Хоофта . ^[a]

Аномалии 'т Хоофта

Существуют два тесно связанных, но разных типа препятствий для формулирования квантовой теории поля , которые оба называются аномалиями: хиральные аномалии, или аномалии Адлера–Белла–Джеккива , и аномалии т’Хоофта .

Если мы говорим, что симметрия теории имеет аномалию 'т Хоофта , это означает, что симметрия является точной как глобальная симметрия квантовой теории, но есть некоторые препятствия для использования ее в качестве калибровки в теории. ^[2]

В качестве примера аномалии 'т Хоофта рассмотрим квантовую хромодинамику с безмассовыми фермионами: Это калибровочная теория с безмассовыми фермионами Дирака . Эта теория имеет глобальную симметрию , которую часто называют симметрией аромата, и это имеет аномалию 'т Хоофта. ${\displaystyle N_{f}}$ ${\displaystyle SU(N_{c})}$ ${\displaystyle N_{f}}$ ${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$

Сопоставление аномалий для непрерывной симметрии

Условие соответствия аномалий Г. 'т Хоофта предполагает, что аномалия 'т Хоофта непрерывной симметрии может быть вычислена как в высокоэнергетических, так и в низкоэнергетических степенях свободы («УФ» и «ИК» ^[a] ) и давать один и тот же ответ.

Пример

Например, рассмотрим квантовую хромодинамику с N _f безмассовыми кварками . Эта теория имеет симметрию аромата ^[b] Эта симметрия аромата становится аномальной, когда вводится фоновое калибровочное поле. Можно использовать либо степени свободы на пределе очень низкой энергии (далеко «ИК» ^[a] ), либо степени свободы на пределе очень высокой энергии (далеко «УФ» ^[a] ), чтобы вычислить аномалию. В первом случае следует рассматривать только безмассовые фермионы или бозоны Намбу-Голдстоуна , которые могут быть составными частицами, тогда как во втором случае следует рассматривать только элементарные фермионы базовой теории на коротких расстояниях. В обоих случаях ответ должен быть одинаковым. Действительно, в случае КХД происходит нарушение киральной симметрии , и член Весса-Зумино-Виттена для бозонов Намбу-Голдстоуна воспроизводит аномалию. ^[3] ${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$ ${\displaystyle SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}}$

Доказательство

Это условие доказывается с помощью следующей процедуры: ^[1] мы можем добавить к теории калибровочное поле , которое взаимодействует с током, связанным с этой симметрией, а также киральные фермионы , которые взаимодействуют только с этим калибровочным полем , и отменить аномалию (так что калибровочная симметрия останется неаномальной , что необходимо для согласованности).

В пределе, когда константы связи , которые мы добавили, стремятся к нулю, мы возвращаемся к исходной теории, плюс фермионы, которые мы добавили; последние остаются хорошими степенями свободы на каждом энергетическом масштабе, поскольку они являются свободными фермионами на этом пределе. Аномалия калибровочной симметрии может быть вычислена на любом энергетическом масштабе и всегда должна быть равна нулю, так что теория является последовательной. Теперь можно получить аномалию симметрии в исходной теории, вычитая свободные фермионы, которые мы добавили, и результат не зависит от энергетического масштаба.

Альтернативное доказательство

Другой способ доказать соответствие аномалий для непрерывных симметрий — использовать механизм притока аномалий. ^[4] Для конкретности далее мы рассмотрим четырехмерное пространство-время.

Для глобальных непрерывных симметрий мы вводим фоновое калибровочное поле и вычисляем эффективное действие . Если есть аномалия 'т Хоофта для , эффективное действие не инвариантно относительно калибровочного преобразования на фоновом калибровочном поле и его нельзя восстановить добавлением каких-либо четырехмерных локальных контрчленов . Условие согласованности Весса–Зумино ^[5] показывает, что мы можем сделать его калибровочно-инвариантным, добавив пятимерное действие Черна–Саймонса . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma [A]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma [A]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

С дополнительным измерением мы теперь можем определить эффективное действие , используя низкоэнергетическую эффективную теорию, которая содержит только безмассовые степени свободы, интегрируя массивные поля. Поскольку она должна быть снова калибровочно-инвариантной, добавляя тот же пятимерный член Черна–Саймонса, аномалия 'т Хоофта не меняется при интегрировании массивных степеней свободы. ${\displaystyle \Gamma [A]}$

Смотрите также

• Монополь 'т Хоофта–Полякова
• 'т петля Хуфта
• символ 'т Хоофта

Примечания

1. В контексте квантовой теории поля «УФ» на самом деле означает предел высокой энергии теории, а «ИК» означает предел низкой энергии, по аналогии с верхней и нижней периферией видимого света, но на самом деле не означает ни свет, ни эти конкретные энергии.
2. . Аксиальная симметрия U(1) нарушается хиральной аномалией или инстантонами, поэтому не включена в пример.

Ссылки

1. 't Hooft, G. (1980). "Естественность, киральная симметрия и спонтанное нарушение киральной симметрии". In 't Hooft, G. (ред.). Последние разработки в калибровочных теориях . Plenum Press . ISBN 978-0-306-40479-5.
2. Капустин, А.; Торнгрен, Р. (2014). «Аномальные дискретные симметрии в трех измерениях и групповые когомологии». Physical Review Letters . 112 (23): 231602. arXiv : 1403.0617 . Bibcode :2014PhRvL.112w1602K. doi :10.1103/PhysRevLett.112.231602. PMID  24972194. S2CID  35171032.
3. Фришман, Ю.; Швиммер, А.; Бэнкс, Т.; Янкелович, С. (1981). «Аксиальная аномалия и спектр связанного состояния в теориях ограничения». Nuclear Physics B. 177 ( 1): 157–171. Bibcode : 1981NuPhB.177..157F. doi : 10.1016/0550-3213(81)90268-6.
4. Каллан, младший, CG; Харви, JA (1985). «Аномалии и нулевые моды фермионов на струнах и доменных стенках». Nuclear Physics B. 250 ( 1–4): 427–436. Bibcode : 1985NuPhB.250..427C. doi : 10.1016/0550-3213(85)90489-4.
5. Wess, J.; Zumino, B. (1971). "Последствия аномальных палатных идентичностей". Physics Letters B. 37 ( 1): 95. Bibcode :1971PhLB...37...95W. doi :10.1016/0370-2693(71)90582-X.