«Счетчик песка» ( греч . Ψαμμίτης , псаммиты ) — это работа Архимеда , древнегреческого математика III века до н. э ., в которой он намеревался определить верхнюю границу числа песчинок, помещающихся во Вселенной . Для этого Архимеду пришлось оценить размеры Вселенной в соответствии с современной моделью и изобрести способ говорить об чрезвычайно больших числах.
Произведение, известное также на латыни как Arenarius , занимает в переводе около восьми страниц и адресовано сиракузскому царю Гело II (сыну Гиерона II ). Считается самым доступным трудом Архимеда. [1]
Сначала Архимеду пришлось изобрести систему наименования больших чисел . Используемая в то время система счисления могла выражать числа до несметного числа (μυριάς — 10 000), а используя само слово мириады , можно сразу распространить это на наименование всех чисел до несметного числа мириад (10 8 ). [3] Архимед называл числа до 10 8 «первым порядком», а само число 10 8 называл «единицей второго порядка». Кратные этой единицы затем стали вторым порядком, до этой единицы принималось мириады-мириады раз, 10 8 ·10 8 =10 16 . Это стало «единицей третьего порядка», кратной третьему порядку и так далее. Архимед продолжал называть числа таким образом вплоть до мириад-мириад раз больше единицы 10 8 -го порядка, т. е. (10 8 )^(10 8 ).
Сделав это, Архимед назвал определенные им порядки «порядками первого периода», а последний — «единицей второго периода». Затем он построил заказы второго периода, взяв кратные этой единице, аналогично тому, как были построены заказы первого периода. Продолжая в том же духе, он в конце концов пришел к порядкам бесчисленного периода. Самое большое число, названное Архимедом, было последним числом в этот период, то есть
Другой способ описания этого числа — единица, за которой следуют ( короткая шкала ) восемьдесят квадриллионов (80·10 15 ) нулей.
Система Архимеда напоминает позиционную систему счисления с основанием 10 8 , что примечательно тем, что древние греки использовали очень простую систему записи чисел , в которой использовались 27 различных букв алфавита для единиц от 1 до 9, десятков до 10. 90 и сотни от 100 до 900.
Архимед также открыл и доказал закон экспоненты , необходимый для манипулирования степенями 10.
Затем Архимед оценил верхнюю границу количества песчинок, необходимых для заполнения Вселенной. Для этого он использовал гелиоцентрическую модель Аристарха Самосского . Оригинальная работа Аристарха утеряна. Однако эта работа Архимеда является одной из немногих сохранившихся ссылок на его теорию, [4] согласно которой Солнце остается неподвижным, пока Земля вращается вокруг Солнца . По словам самого Архимеда:
Его [Аристарха] гипотезы состоят в том, что неподвижные звезды и Солнце остаются неподвижными, что Земля вращается вокруг Солнца по окружности, Солнце лежит в середине орбиты и что сфера неподвижных звезд, расположенная примерно того же центра, что и Солнце, настолько велик, что круг, по которому, как он предполагает, вращается Земля, имеет такую пропорцию к расстоянию до неподвижных звезд, как центр сферы относится к ее поверхности. [5]
Причина большого размера этой модели заключается в том, что греки не могли наблюдать звездный параллакс с помощью доступных методов, а это означает, что любой параллакс чрезвычайно мал и поэтому звезды должны быть расположены на больших расстояниях от Земли (при условии истинности гелиоцентризма ). ).
По мнению Архимеда, Аристарх не указал, насколько далеко звезды находились от Земли. Поэтому Архимеду пришлось сделать следующие предположения:
Это предположение можно также выразить, сказав, что звездный параллакс, вызванный движением Земли вокруг своей орбиты, равен солнечному параллаксу, вызванному движением вокруг Земли. Положим в пропорции:
Чтобы получить верхнюю оценку, Архимед сделал следующие предположения об их размерах:
Архимед тогда пришел к выводу, что диаметр Вселенной составляет не более 10 14 стадий (в современных единицах около 2 световых лет ), и что для ее заполнения потребуется не более 10 63 песчинок. Согласно этим измерениям, каждая песчинка в мысленном эксперименте Архимеда имела диаметр примерно 19 мкм (0,019 мм).
Архимед утверждает, что сорок маковых семян, положенных рядом, равняются одному греческому дактилю (ширине пальца), длина которого составляла примерно 19 мм (3/4 дюйма). Поскольку объем представляет собой куб линейного измерения («Ибо было доказано, что сферы имеют тройное соотношение диаметров друг к другу»), то сфера диаметром в один дактиль будет содержать (используя нашу текущую систему счисления) 40 3 , или 64 000 семян мака.
Затем он заявил (без доказательств), что каждое маковое семя может содержать множество (10 000) песчинок. Умножив две цифры вместе, он предложил 640 000 000 как количество гипотетических песчинок в сфере диаметром в один дактиль.
Чтобы облегчить дальнейшие расчеты, он округлил 640 миллионов до одного миллиарда, отметив лишь, что первое число меньше второго, и что поэтому вычисленное впоследствии количество песчинок будет превышать действительное количество песчинок. Напомним, что мета-цель Архимеда в этом эссе заключалась в том, чтобы показать, как производить вычисления с числами, которые раньше считались невероятно большими, а не просто точно вычислить количество песчинок во Вселенной.
Длина греческого стадиона составляла 600 греческих футов, а длина каждого фута составляла 16 дактилей, то есть на стадионе было 9600 дактилей. Архимед округлил это число до 10 000 (несметное число), чтобы облегчить расчеты, опять же отметив, что полученное число будет превышать фактическое количество песчинок.
Куб 10 000 — это триллион (10 12 ); а умножение миллиарда (количества песчинок в дактиль-сфере) на триллион (количество дактиль-сфер в стадион-сфере) дает 10 21 , количество песчинок в стадион-сфере.
Архимед подсчитал, что Аристархова Вселенная имеет диаметр 10 14 стадий, поэтому во Вселенной, соответственно, должно быть (10 14 ) 3 стадиона-сферы, или 10 42 . Умножение 10 21 на 10 42 дает 10 63 — количество песчинок в Аристарховой Вселенной. [6]
По оценке Архимеда, в маковом семени содержится множество (10 000) песчинок; 64 000 семян мака в дактильной сфере; длина стадиона — 10 000 дактилей; и если принять 19 мм за ширину дактиля, то диаметр типичной песчинки Архимеда составит 18,3 мкм, которую сегодня мы бы назвали песчинкой . В настоящее время наименьшая песчинка имеет диаметр 50 мкм.
По пути Архимед провел несколько интересных экспериментов и вычислений. Один эксперимент заключался в оценке углового размера Солнца, если смотреть с Земли. Метод Архимеда особенно интересен, поскольку он учитывает конечный размер зрачка глаза [7] и поэтому может быть первым известным примером экспериментирования в психофизике , разделе психологии , занимающемся механикой человеческого восприятия , развитие которого в целом ограничено. приписывают Герману фон Гельмгольцу . Еще одно интересное вычисление учитывает солнечный параллакс и различное расстояние между зрителем и Солнцем, независимо от того, смотрите ли вы из центра Земли или с поверхности Земли на восходе солнца. Возможно, это первое известное вычисление, касающееся солнечного параллакса. [1]
Есть некоторые, царь Гелон, которые думают, что количество песка бесконечно во множестве; Под песком я подразумеваю не только тот, что есть в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но также и тот, который можно найти в каждой области, как населенной, так и необитаемой. Опять же, есть некоторые, которые, не считая его бесконечным, все же думают, что не было названо ни одного числа, которое было бы достаточно большим, чтобы превысить его величину. И ясно, что придерживающиеся этого взгляда, если бы они представляли себе массу, состоящую из песка, в других отношениях равную массе Земли, включая в нее все моря и впадины Земли, заполненные до высоты, равной по сравнению с самой высокой из гор, было бы еще во много раз дальше от признания того, что можно выразить какое-либо число, превосходящее множество взятого таким образом песка.
Но я попытаюсь показать вам посредством геометрических доказательств, которым вы сможете следовать, что из чисел, названных мною и приведенных в сочинении, которое я послал Зевксиппу, некоторые превосходят не только число массы песок, равный по величине Земле, засыпанный описанным способом, но также и песок, равный по величине Вселенной. [8]
— Архимед Сиракузани, Аренариус и Пространство Циркули
{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )