stringtranslate.com

Архимед

Архимед Сиракузский [a] ( / ˌ ɑːr k ɪ ˈ m iː d iː z / AR -kim- EE -deez ; [2] ок.  287  – ок.  212  до н. э. ) был древнегреческим математиком , физиком , инженером , астрономом и изобретателем из древнего города Сиракузы на Сицилии . [3] Хотя мало подробностей о его жизни известно, он считается одним из ведущих учёных классической античности . Считающийся величайшим математиком древней истории и одним из величайших математиков всех времён, [4] Архимед предвосхитил современное исчисление и анализ , применив концепцию бесконечно малого и метод исчерпывания для вывода и строгого доказательства ряда геометрических теорем . [5] [6] К ним относятся площадь круга , площадь поверхности и объем сферы , площадь эллипса , площадь под параболой , объем сегмента параболоида вращения , объем сегмента гиперболоида вращения и площадь спирали . [ 7] [8]

Другие математические достижения Архимеда включают в себя получение приближения числа Пи , определение и исследование спирали Архимеда и разработку системы, использующей возведение в степень для выражения очень больших чисел . Он также был одним из первых, кто применил математику к физическим явлениям , работая над статикой и гидростатикой . Достижения Архимеда в этой области включают в себя доказательство закона рычага [ 9], широкое использование концепции центра тяжести [ 10] и формулировку закона плавучести, известного как принцип Архимеда [11] . Ему также приписывают проектирование инновационных машин , таких как его винтовой насос , составные блоки и оборонительные военные машины для защиты его родных Сиракуз от вторжения.

Архимед погиб во время осады Сиракуз , когда его убил римский солдат, несмотря на приказ не причинять ему вреда. Цицерон описывает посещение гробницы Архимеда, которая была увенчана сферой и цилиндром , которые Архимед попросил поместить там, чтобы представить его математические открытия.

В отличие от его изобретений, математические труды Архимеда были малоизвестны в древности. Математики из Александрии читали и цитировали его, но первая всеобъемлющая компиляция была сделана только около  530 г. н. э. Исидором Милетским в византийском Константинополе , в то время как комментарии к трудам Архимеда Евтокием в VI веке впервые открыли их для более широкого круга читателей. Относительно немногочисленные копии письменных работ Архимеда, которые сохранились в Средние века, были влиятельным источником идей для ученых в эпоху Возрождения и снова в XVII веке , [12] [13] в то время как открытие в 1906 году ранее утерянных работ Архимеда в Палимпсесте Архимеда дало новые сведения о том, как он получал математические результаты. [14] [15] [16] [17] 

Биография

Ранний период жизни

Цицерон обнаруживает гробницу Архимеда (1805) Бенджамина Уэста

Архимед родился около 287 г. до н. э. в портовом городе Сиракузы на Сицилии , в то время самоуправляемой колонии в Великой Греции . Дата рождения основана на заявлении византийского греческого ученого Иоанна Цецеса о том, что Архимед прожил 75 лет до своей смерти в 212 г. до н. э. [8] Плутарх писал в своих «Сравнительных жизнеописаниях» , что Архимед был родственником царя Гиерона II , правителя Сиракуз, хотя Цицерон предполагает, что он был простого происхождения. [18] [19] В « Счетчике песков» Архимед называет своего отца Фидием, астрономом, о котором больше ничего не известно. [19] [20] Биография Архимеда была написана его другом Гераклидом, но эта работа была утеряна, оставив подробности его жизни неясными. Например, неизвестно, был ли он когда-либо женат, имел ли детей, или посещал ли он когда-либо Александрию в Египте в юности. [21] Из его сохранившихся письменных работ ясно, что он поддерживал коллегиальные отношения с учёными, работавшими там, включая своего друга Конона Самосского и главного библиотекаря Эратосфена Киренского . [b]

Карьера

Стандартные версии жизни Архимеда были написаны задолго до его смерти греческими и римскими историками. Самое раннее упоминание об Архимеде встречается в «Истории» Полибия ( ок. 200–118 до н. э.), написанной примерно через 70 лет после его смерти. [19] Она проливает мало света на Архимеда как личность и фокусируется на военных машинах, которые, как говорят , он построил, чтобы защитить город от римлян. [22] Полибий замечает, как во время Второй Пунической войны Сиракузы перешли от Рима к Карфагену , что привело к военной кампании под командованием Марка Клавдия Марцелла и Аппия Клавдия Пульхера , которые осаждали город с 213 по 212 год до н. э. Он отмечает, что римляне недооценили оборону Сиракуз, и упоминает несколько машин, разработанных Архимедом, включая улучшенные катапульты , краноподобные машины, которые можно было развернуть по дуге, и другие камнеметы . Хотя римляне в конечном итоге захватили город, они понесли значительные потери из-за изобретательности Архимеда. [23]

Цицерон (106–43 до н. э.) упоминает Архимеда в некоторых своих работах. [19] Во время службы квестором на Сицилии Цицерон нашел то, что, как предполагалось, было могилой Архимеда, возле Агригентинских ворот в Сиракузах, в заброшенном состоянии и заросшее кустарником. [8] [24] Цицерон очистил могилу и смог увидеть резьбу и прочитать некоторые стихи, которые были добавлены в качестве надписи. На гробнице была скульптура, иллюстрирующая любимое математическое доказательство Архимеда , что объем и площадь поверхности сферы составляют две трети от объема и площади поверхности окружающего цилиндра, включая его основания. [25] [26] Он также упоминает, что Марцелл привез в Рим два планетария, построенных Архимедом. [27] Римский историк Ливий (59 до н. э.–17 н. э.) пересказывает историю Полибия о взятии Сиракуз и роли Архимеда в этом. [22]

Смерть

Смерть Архимеда (1815 г.) Томаса Деджорджа [28]

Плутарх (45–119 гг. н. э.) приводит по крайней мере два рассказа о том, как умер Архимед после взятия Сиракуз. [19] Согласно самому популярному рассказу, Архимед размышлял над математической диаграммой, когда город был захвачен. Римский солдат приказал ему прийти и встретиться с Марцеллом, но он отказался, сказав, что ему нужно закончить работу над задачей. Это разозлило солдата, который убил Архимеда своим мечом. В другой истории говорится, что Архимед нес математические инструменты, прежде чем его убили, потому что солдат подумал, что это ценные предметы. Сообщается, что Марцелл был возмущен смертью Архимеда, так как он считал его ценным научным активом (он называл Архимеда «геометрическим Бриареем ») и приказал, чтобы ему не причиняли вреда. [29] [30]

Последние слова, приписываемые Архимеду, — « Не тревожь моих кругов » ( лат . « Noli turbare circulos meos »; греч. «μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε»), ссылка на математический чертеж, который он предположительно изучал, когда его потревожил римский солдат. [19] Нет никаких достоверных доказательств того, что Архимед произнес эти слова, и они не появляются в рассказе Плутарха. Подобная цитата встречается в работе Валерия Максима (ок. 30 г. н. э.), который в «Памятных деяниях и изречениях» писал : « ... sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare' » («... но, защищая пыль руками, сказал: «Умоляю вас, не тревожьте это » ). [22]

Открытия и изобретения

принцип Архимеда

Измерение объема путем вытеснения, (a) до и (b) после погружения объекта. Количество, на которое поднимается жидкость в цилиндре (∆V), равно объему объекта.

Самый известный анекдот об Архимеде рассказывает о том, как он изобрел метод определения объема объекта неправильной формы. Согласно Витрувию , корона для храма была сделана для царя Гиерона II Сиракузского , который поставлял чистое золото для использования. Корона, вероятно, была сделана в форме обетного венка . [31] Архимеда попросили определить, было ли заменено некоторое количество серебра ювелиром, не повредив корону, поэтому он не мог расплавить ее в тело правильной формы, чтобы вычислить ее плотность . [32]

В этом рассказе Архимед заметил, принимая ванну, что уровень воды в ванне поднимается, когда он в нее залезает, и понял, что этот эффект можно использовать для определения объема золотой короны . Архимед был так взволнован этим открытием, что вышел на улицу голым, забыв одеться, крича « Эврика !» ( греч .: «εὕρηκα , heúrēka !», букв. « Я нашел [это]! » ). Для практических целей вода несжимаема, [33] поэтому погруженная корона вытеснит количество воды, равное ее собственному объему. Разделив массу короны на объем вытесненной воды, можно получить ее плотность; если бы были добавлены более дешевые и менее плотные металлы, плотность была бы ниже, чем у золота. Архимед обнаружил, что именно это и произошло, доказав, что в нее было добавлено серебро. [31] [32] 

История золотой короны нигде не появляется в известных работах Архимеда. Практичность описанного метода была поставлена ​​под сомнение из-за чрезвычайной точности, которая потребовалась бы для измерения вытеснения воды . [34] Архимед, возможно, вместо этого искал решение, которое применяло бы принцип гидростатики , известный как принцип Архимеда , найденный в его трактате «О плавающих телах »: тело, погруженное в жидкость, испытывает выталкивающую силу, равную весу вытесняемой им жидкости. [35] Используя этот принцип, можно было бы сравнить плотность короны с плотностью чистого золота, уравновесив ее на весах с эталонным образцом из чистого золота того же веса, а затем погрузив аппарат в воду. Разница в плотности между двумя образцами заставила бы весы наклониться соответствующим образом. [11] Галилео Галилей , который изобрел гидростатические весы в 1586 году, вдохновленный трудами Архимеда, считал «вероятным, что этот метод является тем же самым, которому следовал Архимед, поскольку, помимо того, что он очень точен, он основан на доказательствах, найденных самим Архимедом». [36] [37]

Закон рычага

Хотя Архимед не изобрел рычаг , он дал математическое доказательство принципа, использованного в его работе «О равновесии плоскостей» . [38] Более ранние описания принципа рычага можно найти в работе Евклида и в «Механических проблемах» , принадлежащих перипатетической школе последователей Аристотеля , авторство которой некоторые приписывают Архиту . [39] [40]

Существует несколько, часто противоречивых, сообщений о подвигах Архимеда, использующего рычаг для подъема очень тяжелых предметов. Плутарх описывает, как Архимед спроектировал системы блоков и полиспастов , позволяющие морякам использовать принцип рычага для подъема предметов, которые в противном случае были бы слишком тяжелы для перемещения. [41] По словам Паппа Александрийского , работа Архимеда над рычагами и его понимание механического преимущества заставили его заметить: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю» ( греч . δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ). [42] Позднее Олимпиодор приписал ту же похвальбу изобретению Архимедом барулкоса , своего рода лебедки , а не рычага. [43]

Архимедов винт

Винт Архимеда может эффективно поднимать воду.

Большая часть инженерной работы Архимеда, вероятно, возникла из удовлетворения потребностей его родного города Сиракузы . Афиней из Навкратиса цитирует некоего Мосхиона в описании того, как царь Гиерон II заказал проект огромного корабля, Сиракузы , который мог бы использоваться для роскошных путешествий, перевозки припасов и в качестве демонстрации морской мощи . [44] Говорят, что Сиракузы были крупнейшим судном, построенным в классической античности , и, согласно рассказу Мосхиона, он был спущен на воду Архимедом. [43] Судно, предположительно, могло перевозить 600 человек и включало в себя садовые украшения, гимнастический зал и храм, посвященный богине Афродите, среди своих удобств. [45] В рассказе также упоминается, что для удаления любой потенциальной утечки воды через корпус, Архимед спроектировал устройство с вращающимся винтообразным лезвием внутри цилиндра.

Винт Архимеда вращался вручную, а также мог использоваться для перекачивания воды из низкорасположенного водоема в оросительные каналы. Винт все еще используется сегодня для перекачивания жидкостей и гранулированных твердых веществ, таких как уголь и зерно. Описанное Витрувием , устройство Архимеда, возможно, было усовершенствованием винтового насоса, который использовался для орошения Висячих садов Семирамиды . [46] [47] Первым в мире морским пароходом с винтовым гребным винтом был SS Archimedes , который был спущен на воду в 1839 году и назван в честь Архимеда и его работы над винтом. [48]

коготь Архимеда

Говорят, что Архимед сконструировал коготь как оружие для защиты города Сиракузы. Также известен как "«корабль-трясун », коготь состоял из руки, похожей на кран, на которой был подвешен большой металлический крюк . Когда коготь бросали на атакующий корабль, рука поднималась вверх, поднимая корабль из воды и, возможно, затапливая его. [49]

Были проведены современные эксперименты для проверки осуществимости когтя, и в 2005 году телевизионный документальный фильм под названием «Супероружие Древнего мира» построил версию когтя и пришел к выводу, что это было работоспособное устройство. [50] Архимеду также приписывают улучшение мощности и точности катапульты , а также изобретение одометра во время Первой Пунической войны . Одометр описывался как тележка с зубчатым механизмом, которая бросала шар в контейнер после каждой пройденной мили. [51]

Тепловой луч

Зеркала установлены в виде параболического отражателя для атаки приближающихся кораблей.

Согласно легенде, Архимед расположил зеркала в виде параболического отражателя , чтобы сжечь корабли, атакующие Сиракузы, с помощью сфокусированного солнечного света. Хотя нет никаких современных свидетельств этого подвига, и современные ученые считают, что этого не произошло, Архимед, возможно, написал труд о зеркалах под названием Catoptrica [c] , а Лукиан и Гален , писавшие во втором веке нашей эры, упоминали, что во время осады Сиракуз Архимед сжег вражеские корабли. Почти четыреста лет спустя Антемий , несмотря на скептицизм, попытался реконструировать гипотетическую геометрию отражателя Архимеда. [52]

Предполагаемое устройство, иногда называемое « тепловым лучом Архимеда », было предметом продолжающихся дебатов о его достоверности со времен Возрождения . [53] Рене Декарт отверг его как ложное, в то время как современные исследователи пытались воссоздать эффект, используя только те средства, которые были доступны Архимеду, в основном с отрицательными результатами. [54] [55] Было высказано предположение, что большой массив тщательно отполированных бронзовых или медных щитов, действующих как зеркала, мог быть использован для фокусировки солнечного света на корабле, но общий эффект был бы ослепляющим, ослепляющим или отвлекающим экипаж корабля, а не пожаром. [56] Используя современные материалы и большие масштабы, солнечные печи, концентрирующие солнечный свет, могут достигать очень высоких температур и иногда используются для выработки электроэнергии . [57]

Астрономические инструменты

Архимед обсуждает астрономические измерения Земли, Солнца и Луны, а также гелиоцентрическую модель Вселенной Аристарха в «Песочном счетоводе» . Без использования тригонометрии или таблицы хорд Архимед определяет видимый диаметр Солнца, сначала описывая процедуру и инструмент, используемый для проведения наблюдений (прямой стержень с колышками или канавками), [58] [59] применяя поправочные коэффициенты к этим измерениям и, наконец, давая результат в виде верхних и нижних границ для учета погрешности наблюдений. [20] Птолемей , цитируя Гиппарха, также ссылается на наблюдения Архимеда за солнцестоянием в « Альмагесте» . Это делает Архимеда первым известным греком, который записал несколько дат и времени солнцестояния в последовательные годы. [21]

В трактате Цицерона « О государстве » описывается вымышленный разговор, произошедший в 129 г. до н. э. После взятия Сиракуз во Второй Пунической войне Марцелл , как говорят, привез в Рим два механизма, которые были построены Архимедом и которые показывали движение Солнца, Луны и пяти планет. Цицерон также упоминает похожие механизмы, разработанные Фалесом Милетским и Евдоксом Книдским . В диалоге говорится, что Марцелл оставил себе одно из устройств в качестве своей единственной личной добычи из Сиракуз, а другое пожертвовал Храму Добродетели в Риме. Механизм Марцелла был продемонстрирован, по словам Цицерона, Гаем Сульпицием Галлом Луцию Фурию Филу , который описал его следующим образом: [60] [61]

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem Convertibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa дефектио, et incideret luna tum in eam Metam quae esset umbra terrae, cum sol e Regione .

Когда Галл передвинул земной шар, случилось так, что Луна следовала за Солнцем на этом бронзовом приспособлении столько же оборотов, сколько и на самом небе, отчего и на небе на солнечном шаре стало происходить то же самое затмение, и Луна заняла то положение, которое было ее тенью на Земле, когда Солнце находилось на одной линии.

Это описание небольшого планетария . Папп Александрийский сообщает о ныне утерянном трактате Архимеда, посвященном строительству этих механизмов, под названием « О создании сфер» . [27] [62] Современные исследования в этой области были сосредоточены на механизме Антикитеры , другом устройстве, построенном около  100 г. до н. э., вероятно, разработанном с аналогичной целью. [63] Создание механизмов такого рода потребовало бы сложных знаний в области дифференциальной передачи . [64] Когда-то считалось, что это выходит за рамки технологий, доступных в древние времена, но открытие механизма Антикитеры в 1902 году подтвердило, что устройства такого рода были известны древним грекам. [65] [66]

Математика

Хотя его часто считают конструктором механических устройств, Архимед также внес вклад в область математики . Плутарх писал, что Архимед «поместил всю свою привязанность и амбиции в те более чистые размышления, где не может быть никакой ссылки на вульгарные потребности жизни», [29] хотя некоторые ученые считают, что это может быть неправильной характеристикой. [67] [68] [69]

Метод истощения

Архимед вычисляет сторону 12-угольника из стороны шестиугольника и для каждого последующего удвоения сторон правильного многоугольника.

Архимед мог использовать неделимые (предшественники бесконечно малых ) способом, который похож на современное интегральное исчисление . [5] С помощью доказательства от противного ( reductio ad absurdum ) он мог давать ответы на задачи с произвольной степенью точности, при этом указывая пределы, в которых лежал ответ. Этот метод известен как метод исчерпывания , и он использовал его для приближенного вычисления площадей фигур и значения π .

В «Измерении окружности » он сделал это, нарисовав больший правильный шестиугольник снаружи окружности , затем меньший правильный шестиугольник внутри окружности и постепенно удваивая число сторон каждого правильного многоугольника , вычисляя длину стороны каждого многоугольника на каждом шаге. По мере увеличения числа сторон он становится более точным приближением окружности. После четырех таких шагов, когда у многоугольников было по 96 сторон, он смог определить, что значение π лежит между 3 ⁠1/7⁠ (приблизительно 3,1429) и 3 ⁠10/71⁠ (приблизительно 3,1408), что соответствует его фактическому значению приблизительно 3,1416. [70] Он также доказал, что площадь круга равна π, умноженному на квадрат радиуса круга ( ).

Архимедовы свойства

В книге «О сфере и цилиндре» Архимед постулирует, что любая величина, сложенная с собой достаточное количество раз, превзойдет любую заданную величину. Сегодня это известно как архимедово свойство действительных чисел. [71]

Архимед дает значение квадратного корня из 3, лежащее между ⁠265/153⁠ (приблизительно 1,7320261) и ⁠1351/780⁠ (приблизительно 1,7320512) в «Измерении окружности» . Фактическое значение составляет приблизительно 1,7320508, что делает эту оценку очень точной. Он представил этот результат, не давая никаких объяснений того, как он его получил. Этот аспект работы Архимеда заставил Джона Уоллиса заметить, что он: «как бы намеренно скрыл следы своего исследования, как будто он пожалел потомкам секрет своего метода исследования, в то время как он хотел добиться от них согласия со своими результатами». [72] Возможно, что он использовал итеративную процедуру для вычисления этих значений. [73] [74]

Бесконечный ряд

Доказательство того, что площадь параболического сегмента на верхнем рисунке равна 4/3 площади вписанного треугольника на нижнем рисунке из Квадратуры параболы

В «Квадратуре параболы » Архимед доказал, что площадь, ограниченная параболой и прямой линией, равна ⁠4/3⁠ умножить на площадь соответствующего вписанного треугольника , как показано на рисунке справа. Он выразил решение задачи в виде бесконечной геометрической прогрессии с общим отношением ⁠1/4⁠ :

Если первый член в этом ряду — площадь треугольника, то второй — сумма площадей двух треугольников, основания которых — две меньшие секущие , а третья вершина — точка пересечения параболы с прямой, параллельной оси параболы и проходящей через середину основания, и т. д. Это доказательство использует вариацию ряда 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · , сумма которой равна  ⁠1/3⁠ .

Мириады мириад

В «Песочном счетоводе » Архимед намеревался вычислить число, которое было бы больше, чем количество песчинок, необходимых для заполнения вселенной. Тем самым он бросил вызов представлению о том, что количество песчинок слишком велико, чтобы его можно было подсчитать. Он писал:

Некоторые, царь Гело , думают, что число песков бесконечно; и под песком я подразумеваю не только тот, что находится около Сиракуз и остальной части Сицилии, но также и тот, что находится в каждой области, как населенной, так и ненаселенной.

Чтобы решить эту проблему, Архимед разработал систему счета, основанную на мириадах . Само слово происходит от греческого μυριάς , murias , для числа 10 000. Он предложил систему счисления, использующую степени мириады мириад (100 миллионов, т. е. 10 000 x 10 000), и пришел к выводу, что количество песчинок, необходимых для заполнения вселенной, будет равно 8 вигинтиллионам , или 8 × 1063 . [75]

Сочинения

Титульный лист « Оперы Архимеда» на греческом и латыни, под редакцией Давида Риво (1615)

Труды Архимеда были написаны на дорическом греческом языке , диалекте древних Сиракуз. [76] Многие письменные труды Архимеда не сохранились или существуют только в сильно отредактированных фрагментах; по крайней мере семь его трактатов, как известно, существовали благодаря ссылкам, сделанным другими авторами. [8] Папп Александрийский упоминает «О создании сфер» и еще один труд о многогранниках , в то время как Теон Александрийский цитирует замечание о преломлении из ныне утраченного «Катоптрика» . [c]

Архимед сделал свои работы известными через переписку с математиками в Александрии . Труды Архимеда были впервые собраны византийским греческим архитектором Исидором Милетским ( ок.  530 г. н. э .), в то время как комментарии к трудам Архимеда, написанные Евтокием в шестом веке н. э., помогли донести его работу до более широкой аудитории. Труды Архимеда были переведены на арабский язык Табитом ибн Куррой (836–901 гг. н. э.), а на латынь через арабский — Герардом Кремонским (ок. 1114–1187 гг.). Прямые переводы с греческого на латынь позже были сделаны Вильгельмом Мёрбеке (ок. 1215–1286 гг.) и Якобом Кремонским (ок. 1400–1453 гг.). [77] [78]

В эпоху Возрождения в Базеле в 1544 году Иоганном Хервагеном было опубликовано Editio princeps (Первое издание) с работами Архимеда на греческом и латинском языках. [79]

Сохранившиеся работы

Нижеследующее упорядочено в хронологическом порядке на основе новых терминологических и исторических критериев, установленных Кнорром (1978) и Сато (1986). [80] [81]

Измерение окружности

Это короткая работа, состоящая из трех предложений. Она написана в форме переписки с Досифеем Пелусийским, который был учеником Конона Самосского . В предложении II Архимед дает приближенное значение числа пи ( π ), показывая, что оно больше, чем ⁠223/71⁠ (3,1408...) и меньше ⁠22/7⁠ (3,1428...).

Песчаный счетовод

В этом трактате, также известном как «Псаммит» , Архимед находит число, которое больше, чем песчинки, необходимые для заполнения вселенной. В этой книге упоминается гелиоцентрическая теория солнечной системы, предложенная Аристархом Самосским , а также современные представления о размерах Земли и расстоянии между различными небесными телами . Используя систему чисел, основанную на степенях мириады , Архимед приходит к выводу, что количество песчинок, необходимых для заполнения вселенной, составляет 8 × 1063 в современной нотации. Вступительное письмо гласит, что отцом Архимеда был астроном по имени Фидий. «Песочный счетовод» — единственная сохранившаяся работа, в которой Архимед обсуждает свои взгляды на астрономию. [82]

О равновесии плоскостей

Есть две книги « О равновесии плоскостей» : первая содержит семь постулатов и пятнадцать предложений , а вторая книга содержит десять предложений. В первой книге Архимед доказывает закон рычага , который гласит, что:

Величины находятся в равновесии на расстояниях, обратно пропорциональных их весам.

Архимед использует полученные принципы для вычисления площадей и центров тяжести различных геометрических фигур, включая треугольники , параллелограммы и параболы . [83]

Квадратура параболы

В этой работе из 24 предложений, адресованной Досифею, Архимед двумя способами доказывает, что площадь, ограниченная параболой и прямой, составляет 4/3 площади треугольника с равными основанием и высотой. Он достигает этого в одном из своих доказательств, вычисляя значение геометрической прогрессии , которая в сумме дает бесконечность с отношением 1/4.

О сфере и цилиндре

Объем и площадь поверхности сферы составляют 2/3 объема и площади поверхности описанного вокруг нее цилиндра, включая ее основания.

В этом двухтомном трактате, адресованном Досифею, Архимед получает результат, которым он больше всего гордился, а именно соотношение между сферой и описанным цилиндром той же высоты и диаметра . Объем ⁠4/3⁠ π r 3 для сферы и 2 π r 3 для цилиндра. Площадь поверхности составляет 4 π r 2 для сферы и 6 π r 2 для цилиндра (включая два его основания), где r — радиус сферы и цилиндра.

На спиралях

Эта работа из 28 предложений также адресована Досифею. Трактат определяет то, что сейчас называется архимедовой спиралью . Это геометрическое место точек, соответствующих положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью . Эквивалентно, в современных полярных координатах ( r , θ ), ее можно описать уравнением с действительными числами a и b .

Это ранний пример механической кривой (кривой, описываемой движущейся точкой ), рассмотренный греческим математиком.

О коноидах и сфероидах

Это произведение в 32 предложениях, адресованное Досифею. В этом трактате Архимед вычисляет площади и объемы сечений конусов , сфер и параболоидов.

О плавающих телах

Существует две книги « О плавающих телах» . В первой книге Архимед излагает закон равновесия жидкостей и доказывает, что вода примет сферическую форму вокруг центра тяжести. Это, возможно, была попытка объяснить теорию современных греческих астрономов, таких как Эратосфен, о том, что Земля круглая. Жидкости, описанные Архимедом, не являются самогравитирующими , поскольку он предполагает существование точки, к которой падают все вещи, чтобы получить сферическую форму. Принцип плавучести Архимеда приводится в этой работе, изложенный следующим образом: [11] [84]

Любое тело, полностью или частично погруженное в жидкость, испытывает выталкивающую силу, равную весу вытесненной жидкости, но противоположную по направлению.

Во второй части он вычисляет положения равновесия секций параболоидов. Это, вероятно, было идеализацией форм корпусов кораблей. Некоторые из его секций плавают с основанием под водой и вершиной над водой, подобно тому, как плавают айсберги. [85]

Остомахион

Остомахион — головоломка по препарированию, встречающаяся в Палимпсесте Архимеда .

Также известная как Loculus of Archimedes или Archimedes' Box , [86] это головоломка на рассечение, похожая на Tangram , и трактат, описывающий ее, был найден в более полной форме в Палимпсесте Архимеда . Архимед вычисляет площади 14 частей, которые можно собрать в квадрат . Ревиел Нец из Стэнфордского университета утверждал в 2003 году, что Архимед пытался определить, сколькими способами части можно собрать в форму квадрата. Нец вычисляет, что части можно сделать в квадрат 17 152 способами. [87] Количество расположений равно 536, если исключить решения, эквивалентные вращению и отражению. [88] Головоломка представляет собой пример ранней задачи в комбинаторике .

Происхождение названия головоломки неясно, и было высказано предположение, что оно взято от древнегреческого слова, означающего «горло» или «пищевод», stomachos ( στόμαχος ). [89] Авзоний называет головоломку Ostomachion , греческим сложным словом, образованным от корней osteon ( ὀστέον , «кость») и machē ( μάχη , «сражаться»). [86]

Проблема крупного рогатого скота

Готтхольд Эфраим Лессинг обнаружил эту работу в греческой рукописи, состоящей из 44-строчной поэмы в библиотеке Герцога Августа в Вольфенбюттеле , Германия, в 1773 году. Она адресована Эратосфену и математикам в Александрии. Архимед бросает им вызов, чтобы они подсчитали количество скота в Стаде Солнца , решив ряд одновременных диофантовых уравнений . Существует более сложная версия задачи, в которой некоторые из ответов должны быть квадратными числами . А. Амтор впервые решил эту версию задачи [90] в 1880 году, и ответом является очень большое число , приблизительно 7,760271 × 10206 544 . [91]

Метод механических теорем

Этот трактат считался утерянным до открытия Палимпсеста Архимеда в 1906 году. В этой работе Архимед использует неделимые [5] [ 6] и показывает, как разбиение фигуры на бесконечное число бесконечно малых частей может быть использовано для определения ее площади или объема. Он мог считать этот метод недостаточным в формальной строгости, поэтому он также использовал метод исчерпывания для получения результатов. Как и в случае с Задачей о скоте , Метод механических теорем был написан в форме письма Эратосфену в Александрию .

Апокрифические произведения

Книга лемм Архимеда или Liber Assumptorum — это трактат с 15 положениями о природе окружностей. Самая ранняя известная копия текста написана на арабском языке . Т. Л. Хит и Маршалл Клэгетт утверждали, что она не могла быть написана Архимедом в ее нынешнем виде, поскольку цитирует Архимеда, что предполагает модификацию другим автором. Леммы могут быть основаны на более ранней работе Архимеда, которая теперь утеряна. [92]

Также утверждалось, что формула для вычисления площади треугольника по длине его сторон была известна Архимеду, [d] хотя впервые она появилась в работе Герона Александрийского в I веке нашей эры. [93] Другие сомнительные приписывания трудам Архимеда включают латинскую поэму Carmen de ponderibus et mensuris (IV или V век), в которой описывается использование гидростатических весов для решения проблемы короны, и текст XII века Mappae clavicula , содержащий инструкции о том, как выполнять анализ металлов путем вычисления их удельного веса. [94] [95]

Архимед Палимпсест

В 1906 году в «Палимпсесте Архимеда» были обнаружены труды Архимеда, считавшиеся утерянными.

Самым главным документом, содержащим труд Архимеда, является палимпсест Архимеда. В 1906 году датский профессор Йохан Людвиг Гейберг посетил Константинополь, чтобы изучить 174-страничный пергамент из козьей кожи с молитвами, написанный в XIII веке, после прочтения короткой транскрипции, опубликованной семью годами ранее Пападопулосом -Керамеусом . [96] [97] Он подтвердил, что это действительно палимпсест , документ с текстом, написанным поверх стертой более старой работы. Палимпсесты создавались путем соскабливания чернил с существующих работ и их повторного использования, что было обычной практикой в ​​Средние века, поскольку пергамент был дорогим. Более старые работы в палимпсесте были идентифицированы учеными как копии X века ранее утерянных трактатов Архимеда. [96] [98] Пергамент пролежал сотни лет в монастырской библиотеке в Константинополе, прежде чем был продан частному коллекционеру в 1920-х годах. 29 октября 1998 года он был продан на аукционе анонимному покупателю за общую сумму в 2,2 миллиона долларов. [99] [100]

Палимпсест содержит семь трактатов, включая единственную сохранившуюся копию « О плавающих телах» на греческом языке. Это единственный известный источник «Метода механических теорем» , на который ссылался Суидас и который считался утерянным навсегда. В палимпсесте также был обнаружен Стомахион с более полным анализом головоломки, чем в предыдущих текстах. Палимпсест хранился в Художественном музее Уолтерса в Балтиморе , штат Мэриленд , где он был подвергнут ряду современных тестов, включая использование ультрафиолетового и рентгеновского света для прочтения перезаписанного текста. [101] С тех пор он вернулся к своему анонимному владельцу. [102] [103]

Трактаты «Архимедова палимпсеста» включают в себя:

Наследие

Архимед , которого иногда называют отцом математики и математической физики , оказал большое влияние на математику и науку. [104]

Математика и физика

Бронзовая статуя Архимеда в Берлине

Историки науки и математики почти единогласно сходятся во мнении, что Архимед был величайшим математиком древности. Эрик Темпл Белл , например, писал:

Любой список трех «величайших» математиков всей истории включал бы имя Архимеда. Другие два, обычно ассоциируемые с ним, — это Ньютон и Гаусс . Некоторые, учитывая относительное богатство — или бедность — математики и физической науки в соответствующие эпохи, в которые жили эти гиганты, и оценивая их достижения на фоне их времени, поставили бы Архимеда на первое место. [105]

Аналогично Альфред Норт Уайтхед и Джордж Ф. Симмонс говорили об Архимеде:

... в 1500 году Европа знала меньше Архимеда, который умер в 212 году до нашей эры ... [106]

Если мы рассмотрим то, чего добились все остальные люди в математике и физике, на каждом континенте и в каждой цивилизации, от начала времен до семнадцатого века в Западной Европе, то достижения Архимеда перевешивают все это. Он был великой цивилизацией сам по себе. [107]

Ревиэль Нец , профессор кафедры греческой математики и астрономии в Стэнфордском университете и эксперт по Архимеду, отмечает:

И так, поскольку Архимед больше, чем кто-либо другой, способствовал формированию исчисления и поскольку он был пионером применения математики к физическому миру, то получается, что западная наука — это всего лишь ряд сносок к Архимеду. Таким образом, получается, что Архимед — самый важный ученый, который когда-либо жил. [108]

Леонардо да Винчи неоднократно выражал восхищение Архимедом и приписывал свое изобретение Architonnerre Архимеду. [109] [110] [111] Галилей называл его «сверхчеловеком» и «моим учителем», [112] [113] в то время как Гюйгенс говорил: «Я думаю, что Архимед ни с кем не сравним», сознательно подражая ему в своих ранних работах. [114] Лейбниц говорил: «Тот, кто понимает Архимеда и Аполлония, будет меньше восхищаться достижениями выдающихся людей более поздних времен». [115] Героями Гаусса были Архимед и Ньютон, [116] и Мориц Кантор , который учился у Гаусса в Геттингенском университете , сообщил, что однажды заметил в разговоре, что «было только три математика, создавших эпоху: Архимед, Ньютон и Эйзенштейн ». [117]

Изобретатель Никола Тесла похвалил его, сказав:

Архимед был моим идеалом. Я восхищался произведениями художников, но для меня они были лишь тенями и подобиями. Изобретатель, думал я, дает миру творения, которые осязаемы, которые живут и работают. [118]

Почести и чествования

На медали Филдса изображён портрет Архимеда.

На Луне есть кратер , названный в его честь Архимедом ( 29°42′N 4°00′W / 29.7°N 4.0°W / 29.7; -4.0 ), а также лунный горный хребет Монтес Архимеда ( 25°18′N 4°36′W / 25.3°N 4.6°W / 25.3; -4.6 ). [119]

Медаль Филдса за выдающиеся достижения в математике имеет портрет Архимеда, а также резьбу, иллюстрирующую его доказательство на сфере и цилиндре. Надпись вокруг головы Архимеда — цитата, приписываемая поэту I века н. э. Манилию , которая на латыни гласит: Transire suum pectus mundoque potiri («Поднимись над собой и постигни мир»). [120] [121] [122]

Архимед появлялся на почтовых марках, выпущенных Восточной Германией (1973), Грецией (1983), Италией (1983), Никарагуа (1971), Сан-Марино (1982) и Испанией (1963). [123]

Возглас Эврика!, приписываемый Архимеду, является девизом штата Калифорния . В данном случае это слово относится к открытию золота около мельницы Саттера в 1848 году, что вызвало золотую лихорадку в Калифорнии . [124]

Смотрите также

Концепции

Люди

Ссылки

Примечания

  1. ↑ Дорический греческий : Ἀρχιμήδης , произносится [arkʰimɛːdɛ̂ːs] .
  2. ^ В предисловии к «О спиралях», адресованном Досифею Пелусийскому, Архимед говорит, что «много лет прошло со смерти Конона». Конон Самосский жил около 280–220 гг. до н. э., что позволяет предположить, что Архимед, возможно, был уже пожилым человеком, когда писал некоторые из своих трудов.
  3. ^ ab Трактаты Архимеда, о существовании которых известно только по ссылкам в трудах других авторов, это: «О создании сфер» и труд о многогранниках, упомянутый Паппом Александрийским ; «Катоптрика» — труд по оптике, упомянутый Теоном Александрийским ; «Начала» , адресованные Зевксиппу и объясняющие систему счисления, использованную в «Счетчике песчинок » ; «О весах или рычагах» ; «О центрах тяжести» ; «О календаре» .
  4. ^ Бойер, Карл Бенджамин . 1991. История математики . ISBN  978-0-471-54397-8 : «Арабские ученые сообщают нам, что известная формула площади треугольника через три его стороны, обычно известная как формула Герона – , где – полупериметр – была известна Архимеду за несколько столетий до жизни Герона. Арабские ученые также приписывают Архимеду «теорему о сломанной хорде »... Арабы сообщают, что Архимед дал несколько доказательств этой теоремы».

Цитаты

  1. ^ Кнорр, Уилбур Р. (1978). «Архимед и спирали: эвристический фон». Historia Mathematica . 5 (1): 43–75. doi : 10.1016/0315-0860(78)90134-9 .«Конечно, Паппус дважды упоминает теорему о касательной к спирали [IV, 36, 54]. Но в обоих случаях речь идет о ненадлежащем использовании Архимедом «твердого невзиса», то есть конструкции, включающей сечения твердых тел, при решении плоской задачи. Однако собственное разрешение трудности Паппусом [IV, 54] по его собственной классификации является «твердым» методом, поскольку использует конические сечения» (стр. 48).
  2. ^ "Архимед". Словарь Коллинза. nd . Получено 25 сентября 2014 г.
  3. ^ "Архимед (ок. 287 – ок. 212 до н. э.)". BBC History . Получено 7 июня 2012 г. .
  4. ^ Джон М. Хеншоу (2014). Уравнение на все случаи жизни: пятьдесят две формулы и почему они важны. JHU Press. стр. 68. ISBN 978-1-4214-1492-8. Архимед входит в большинство списков величайших математиков всех времен и считается величайшим математиком древности.
    Калингер, Рональд (1999). Контекстуальная история математики . Prentice-Hall. стр. 150. ISBN 978-0-02-318285-3. Вскоре после Евклида, составителя окончательного учебника, появился Архимед из Сиракуз (ок. 287–212 гг. до н. э.), самый оригинальный и глубокий математик древности.
    «Архимед Сиракузский». Архив истории математики MacTutor. Январь 1999 г. Получено 9 июня 2008 г.
    Садри Хассани (2013). Математические методы: для студентов физики и смежных дисциплин. Springer Science & Business Media. стр. 81. ISBN 978-0-387-21562-4. Архимед, по общему мнению, является величайшим математиком древности.
    Ганс Нильс Янке. История анализа. Американское математическое общество. стр. 21. ISBN 978-0-8218-9050-9. Архимед был величайшим математиком древности и одним из величайших математиков всех времен.
    Стивен Хокинг (2007). Бог создал целые числа: математические прорывы, изменившие историю. Running Press. стр. 12. ISBN 978-0-7624-3272-1. Архимед, величайший математик древности
    Vallianatos, Evaggelos (27 июля 2014 г.). «Архимед: величайший ученый, который когда-либо жил». HuffPost . Получено 17 апреля 2021 г. .
    Kiersz., Andy (2 июля 2014 г.). «12 математиков, открывших современный мир». Business Insider . Получено 3 мая 2021 г. .
    "Архимед" . Получено 3 мая 2021 г.
    Ливио, Марио (6 декабря 2017 г.). «Кто из них величайший математик?». HuffPost . Получено 7 мая 2021 г. .
  5. ^ abc Powers, J. (2020). «Архимед занимался исчислением?» (PDF) . maa.org . Получено 14 апреля 2021 г. .
  6. ^ ab Jullien, V. (2015), J., Vincent (ред.), "Archimedes and Indivisibles", Seventeenth-Century Indivisibles Revisited , Science Networks. Исторические исследования, т. 49, Cham: Springer International Publishing, стр. 451–457, doi :10.1007/978-3-319-00131-9_18, ISBN 978-3-319-00131-9
  7. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (февраль 1996). "История исчисления". Университет Сент-Эндрюс . Получено 7 августа 2007 г.
  8. ^ abcd Хит, Томас Л. 1897. Труды Архимеда .
  9. ^ Goe, G. (1972). «Теория рычага Архимеда и критика Маха». Исследования по истории и философии науки Часть A. 2 ( 4): 329–345. Bibcode :1972SHPSA...2..329G. doi :10.1016/0039-3681(72)90002-7.
  10. ^ Берггрен, Дж. Л. (1976). «Ложные теоремы в равновесии плоскостей Архимеда: Книга I». Архив для History of Exact Sciences . 16 (2): 87–103. doi :10.1007/BF00349632. JSTOR  41133463.
  11. ^ abc Graf, Erlend H. (2004). «Что сказал Архимед о плавучести?». The Physics Teacher . 42 (5): 296–299. Bibcode : 2004PhTea..42..296G. doi : 10.1119/1.1737965.
  12. ^ Хёйруп, Йенс (2017). «Архимед: Знания и предания от латинской античности до уходящего европейского Возрождения» (PDF) . Ганита Бхарати . 39 (1): 1–22.Перепечатано в Hoyrup, J. (2019). Избранные эссе о до- и ранней современной математической практике . С. 459–477. doi :10.1007/978-3-030-19258-7_17.
  13. ^ Лихи, А. (2018). «Метод Архимеда в семнадцатом веке». The American Monthly . 125 (3): 267–272. doi :10.1080/00029890.2018.1413857.
  14. ^ "Works, Archimedes". Университет Оклахомы. 23 июня 2015 г. Получено 18 июня 2019 г.
  15. ^ Paipetis, Stephanos A.; Ceccarelli, Marco, ред. (8–10 июня 2010 г.). Гений Архимеда – 23 века влияния на математику, науку и технику: Труды международной конференции, состоявшейся в Сиракузах, Италия . История механизмов и машиноведения. Том 11. Springer. doi :10.1007/978-90-481-9091-1. ISBN 978-90-481-9091-1.
  16. ^ "Archimedes – The Palimpsest". Walters Art Museum . Архивировано из оригинала 28 сентября 2007 года . Получено 14 октября 2007 года .
  17. ^ Флуд, Элисон. «Палимпсест Архимеда раскрывает идеи, опережающие свое время на столетия». The Guardian . Получено 10 февраля 2017 г.
  18. ↑ Плутарх (октябрь 1996 г.). Параллельные жизнеописания. Полный электронный текст с сайта Gutenberg.org – через Project Gutenberg .
  19. ^ abcdef Дейкстерхейс, Эдуард Дж. [1938] 1987. Архимед , перевод. Принстон: Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08421-3 . 
  20. ^ ab Шапиро, AE (1975). "Измерение Архимедом видимого диаметра Солнца". Журнал истории астрономии . 6 (2): 75–83. Bibcode : 1975JHA.....6...75S. doi : 10.1177/002182867500600201.
  21. ^ ab Acerbi, F. (2008). Архимед . Новый словарь научной биографии. С. 85–91.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  22. ^ abc Роррес, Крис. "Смерть Архимеда: Источники". Институт математических наук Куранта . Получено 2 января 2007 г.
  23. ^ Роррес, Крис. "Осада Сиракуз". Институт математических наук Куранта . Получено 23 июля 2007 г.
  24. ^ "Гробница Архимеда". Институт математических наук Куранта . Получено 29 июня 2024 г.
  25. ^ Роррес, Крис. «Гробница Архимеда: Источники». Институт математических наук Куранта . Получено 2 января 2007 г.
  26. ^ Роррес, Крис. «Гробница Архимеда – Иллюстрации». Институт математических наук Куранта . Получено 15 марта 2011 г.
  27. ^ ab "Планетарий Архимеда". studylib.net . Получено 14 апреля 2021 г. .
  28. ^ "Смерть Архимеда: Иллюстрации". math.nyu.edu . Нью-Йоркский университет . Получено 13 декабря 2017 г. .
  29. ^ ab Plutarch . Выдержка из Parallel Lives. fulltextarchive.com . Получено 10 августа 2009 г.
  30. ^ Йегер, Мэри. Архимед и римское воображение . стр. 113.
  31. ^ ab Rorres, Chris (ред.). «Золотая корона: Источники». Нью-Йоркский университет . Получено 6 апреля 2021 г.
    • Morgan, Morris Hicky (1914). Vitruvius: The Ten Books on Architecture . Cambridge: Harvard University Press. pp. 253–254. Наконец, снова наполнив сосуд и опустив саму корону в то же количество воды, он обнаружил, что больше воды протекло по короне, чем по массе золота того же веса. Следовательно, рассуждая из того факта, что в случае короны было потеряно больше воды, чем в случае массы, он обнаружил смешивание серебра с золотом и сделал воровство подрядчика совершенно очевидным.
    • Витрувий (1567 г.). De Architetura libri декабрь . Венеция: Даниэле Барбаро. стр. 270–271. Postea vero repleto vase in eadem aqua ipsa corona demissa, invenit plus aquae defluxisse in coronam, quàm in auream eodem pondere Massam, et ita ex eo, quod plus defluxerat aquae in corona, quàm in Massa, Ratiocinatus, deprehendit argenti in auro mixtionem, et манифест фуртум редемпторис.
  32. ^ ab Vitruvius (31 декабря 2006 г.). De Architectura, Книга IX, Введение, параграфы 9–12 – через Project Gutenberg .
  33. ^ "Несжимаемость воды". Гарвардский университет . Получено 27 февраля 2008 г.
  34. ^ Роррес, Крис. "Золотая корона". Университет Дрекселя . Получено 24 марта 2009 г.
  35. ^ Кэрролл, Брэдли В. "Принцип Архимеда". Университет Вебера . Получено 23 июля 2007 г.
  36. ^ Ван Хелден, Эл. «Проект Галилео: Гидростатический баланс». Университет Райса . Получено 14 сентября 2007 г.
  37. ^ Роррес, Крис. "Золотая корона: баланс Галилея". Университет Дрекселя . Получено 24 марта 2009 г.
  38. ^ Финлей, М. (2013). Построение древней механики Архивировано 14 апреля 2021 г. в Wayback Machine [Магистерская диссертация]. Университет Глассго.
  39. ^ Роррес, Крис. «Закон рычага по Архимеду». Институт математических наук Куранта . Архивировано из оригинала 27 сентября 2013 года . Получено 20 марта 2010 года .
  40. ^ Клэгетт, Маршалл (2001). Греческая наука в античности. Dover Publications. ISBN 978-0-486-41973-2.
  41. ^ Dougherty, FC; Macari, J.; Okamoto, C. "Pulleys". Society of Women Engineers . Архивировано из оригинала 18 июля 2007 г. Получено 23 июля 2007 г.
  42. ↑ Цитируется Паппом Александрийским в «Синагоге» , книга VIII.
  43. ^ ab Берриман, С. (2020). «Как Архимед предложил передвинуть Землю». Isis . 111 (3): 562–567. doi :10.1086/710317.
  44. ^ Кассон, Лайонел (1971). Корабли и мореплавание в Древнем мире . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03536-9.
  45. ^ "Athenaeus, The Deipnosophists, BOOK V., chapter 40". perseus.tufts.edu . Получено 7 марта 2023 г. .
  46. ^ Далли, Стефани ; Олесон, Джон Питер (2003). «Сеннахериб, Архимед и водяной винт: контекст изобретения в Древнем мире». Технология и культура . 44 (1).
  47. ^ Роррес, Крис. "Винт Архимеда – Оптимальное проектирование". Институт математических наук Куранта . Получено 23 июля 2007 г.
  48. ^ "SS Archimedes". wrecksite.eu . Получено 22 января 2011 г. .
  49. ^ Роррес, Крис. «Коготь Архимеда – Иллюстрации и анимация – ряд возможных дизайнов когтя». Институт математических наук Куранта . Получено 23 июля 2007 г.
  50. ^ Кэрролл, Брэдли В. "Коготь Архимеда: посмотрите анимацию". Университет Вебера . Получено 12 августа 2007 г.
  51. ^ "Древнегреческие ученые: герой Александрии". Технологический музей Салоник. Архивировано из оригинала 5 сентября 2007 года . Получено 14 сентября 2007 года .
  52. ^ Современник Архимеда Диокл не упоминал ни Архимеда, ни горящие корабли в своем трактате о фокусирующих отражателях. Диокл, О горящих зеркалах , под ред. Г. Дж. Тумера, Берлин: Springer, 1976.
    Лукиан, Гиппий , ¶ 2, в Лукиане , т. 1, ред. AM Harmon, Гарвард, 1913, стр. 36–37, говорит, что Архимед сжигал корабли с помощью своего techne , «умения».
    Гален в трактате «О темпераментах» 3.2 упоминает pyreia , «факелы».
    Антемий Траллийский , О чудесных двигателях 153 [Вестерман].
    Кнорр, Уилбур (1983). «Геометрия зажигательных зеркал в античности». Isis . 74 (1): 53–73. doi :10.1086/353176. ISSN  0021-1753.
  53. ^ Симмс, Д. Л. (1977). «Архимед и горящие зеркала Сиракуз». Технология и культура . 18 (1): 1–24. doi :10.2307/3103202. JSTOR  3103202.
  54. ^ "Archimedes Death Ray: Testing with MythBusters". MIT. Архивировано из оригинала 20 ноября 2006 года . Получено 23 июля 2007 года .
  55. ^ Джон Уэсли . «A Compendium of Natural Philosophy (1810) Chapter XII, Burning Glasses». Онлайн-текст в Wesley Center for Applied Theology. Архивировано из оригинала 12 октября 2007 года . Получено 14 сентября 2007 года .
  56. ^ "Обзор ТВ: MythBusters 8.27 – President's Challenge". 13 декабря 2010 г. Получено 18 декабря 2010 г.
  57. ^ "Самая большая солнечная печь в мире". Atlas Obscura . Получено 6 ноября 2016 г.
  58. ^ Эванс, Джеймс (1 августа 1999 г.). "Материальная культура греческой астрономии". Журнал истории астрономии . 30 (3): 238–307. Bibcode :1999JHA....30..237E. doi :10.1177/002182869903000305. Но еще до Гиппарха Архимед описал подобный инструмент в своем Sand-Reckoner. Более полное описание того же типа инструмента дано Паппусом Александрийским ... Рисунок 30 основан на Архимеде и Паппусе. Стержень R имеет канавку, которая проходит по всей его длине ... Цилиндр или призма C закреплены на небольшом блоке, который свободно скользит в канавке (стр. 281).
  59. ^ Тумер, Г. Дж.; Джонс, Александр (7 марта 2016 г.). «Астрономические инструменты». Oxford Research Encyclopedia of Classics . doi :10.1093/acrefore/9780199381135.013.886. ISBN 9780199381135. Возможно, самым ранним прибором, помимо солнечных часов, подробное описание которого у нас имеется, является устройство, сконструированное Архимедом (Sand-Reckoner 11-15) для измерения видимого диаметра солнца; это был стержень, по которому можно было перемещать разноцветные штифты.
  60. ^ Цицерон . «De re publica 1.xiv §21». thelatinlibrary.com . Проверено 23 июля 2007 г.
  61. ^ Цицерон (9 февраля 2005 г.). De re publica Полный электронный текст на английском языке с сайта Gutenberg.org . Проверено 18 сентября 2007 г. - через Project Gutenberg .
  62. ^ Райт, Майкл Т. (2017). «Архимед, астрономия и планетарий». В Роррес, Крис (ред.). Архимед в 21 веке: Труды Всемирной конференции в Институте математических наук Куранта . Тенденции в истории науки. Cham: Springer. стр. 125–141. doi :10.1007/978-3-319-58059-3_7. ISBN 978-3-319-58059-3.
  63. ^ Нобл Уилфорд, Джон (31 июля 2008 г.). «Открывая, как греки производили вычисления в 100 г. до н. э.» The New York Times . Получено 25 декабря 2013 г.
  64. ^ "The Antikythera Mechanism II". Stony Brook University . Архивировано из оригинала 12 декабря 2013 года . Получено 25 декабря 2013 года .
  65. ^ "Ancient Moon 'computer' revisited". BBC News. 29 ноября 2006 г. Получено 23 июля 2007 г.
  66. ^ Роррес, Крис. "Сферы и планетарии". Институт математических наук Куранта . Получено 23 июля 2007 г.
  67. ^ Russo, L. (2013). «Архимед между легендой и фактом». Lettera Matematica . 1 (3): 91–95. doi : 10.1007/s40329-013-0016-y . Удивительно, что долгое время отношение Архимеда к приложениям науки выводилось из некритического принятия мнения Плутарха: полиграф, живший столетия спустя, в совершенно ином культурном климате, конечно, не мог знать интимных мыслей ученого. С другой стороны, преданность, с которой Архимед разрабатывал приложения всех видов, хорошо документирована: катоптрика, как сообщает Апулей в уже цитированном отрывке (Апология, 16), гидростатика (от проектирования часов до военно-морского строительства: мы знаем от Афинея (Deipnosophistae, V, 206d), что самый большой корабль в античности, «Сиракузы», был построен под его руководством), и механика (от машин для подъема тяжестей до машин для подъема воды и военных приспособлений).
  68. ^ Drachmann, AG (1968). «Архимед и наука физика». Centaurus . 12 (1): 1–11. Bibcode : 1968Cent...12....1D. doi : 10.1111/j.1600-0498.1968.tb00074.x.
  69. ^ Carrier, Richard (2008). Отношение к натурфилософу в ранней Римской империи (100 г. до н. э. — 313 г. н. э.) (диссертация) . Получено 6 апреля 2021 г.«Поэтому вывод Плутарха о том, что Архимед презирал всю механику, работу в мастерской или что-либо полезное как низкое и вульгарное, и сосредоточился только на геометрической теории, очевидно неверен. Таким образом, как уже пришли к выводу некоторые ученые, его рассказ об Архимеде представляется полной выдумкой, придуманной для продвижения платоновских ценностей, которые он прославляет, приписывая их весьма почитаемому герою» (стр. 444).
  70. ^ Хит, ТЛ "Архимед об измерении окружности". math.ubc.ca. Получено 30 октября 2012 г.
  71. ^ Kaye, RW "Archimedean ordered fields". web.mat.bham.ac.uk. Архивировано из оригинала 16 марта 2009 года . Получено 7 ноября 2009 года .
  72. ↑ Цитируется в книге Хита Т. Л. «Работы Архимеда» , Dover Publications, ISBN 978-0-486-42084-4 . 
  73. ^ «О вычислениях прошлого и настоящего: алгоритм Архимеда». maa.org . Математическая ассоциация Америки . Получено 14 апреля 2021 г. .
  74. ^ Маккиман, Билл. «Вычисление числа Пи Архимедом». Matlab Central . Получено 30 октября 2012 г.
  75. ^ Кэрролл, Брэдли В. "The Sand Reckoner". Университет Вебера . Получено 23 июля 2007 г.
  76. ↑ Энциклопедия Древней Греции Уилсон, Найджел Гай стр. 77 Архивировано 8 мая 2016 г. на Wayback Machine ISBN 978-0-7945-0225-6 (2006) 
  77. ^ Клэгетт, Маршалл (1982). «Вильгельм Мёрбеке: переводчик Архимеда». Труды Американского философского общества . 126 (5): 356–36 6. JSTOR  986212.
  78. ^ Клэгетт, Маршалл (1959). «Влияние Архимеда на средневековую науку». Isis . 50 (4): 419–429. doi :10.1086/348797.
  79. ^ «Издания работ Архимеда». Библиотека Университета Брауна. 1999.
  80. ^ Knorr, WR (1978). «Архимед и элементы: предложение по пересмотренному хронологическому порядку архимедова корпуса». Архив истории точных наук . 19 (3): 211–290. doi :10.1007/BF00357582. JSTOR  41133526.
  81. ^ Сато, Т. (1986). «Реконструкция предложения 17 метода и развитие мысли Архимеда о квадратуре... Часть первая». Historia scientiarum: Международный журнал Общества истории науки Японии .
  82. ^ "Английский перевод The ​​Sand Reckoner". Университет Ватерлоо . 2002. Архивировано из оригинала 1 июня 2002 года.Адаптировано из Newman, James R. (1956). Мир математики . Том 1. Нью-Йорк: Simon & Schuster.
  83. ^ Хит, Т. Л. (1897). Труды Архимеда. Издательство Кембриджского университета.
  84. ^ Нетц, Ревель (2017). «Жидкие тела Архимеда» . В Бухгейме, Томас; Мейснер, Дэвид; Ваксманн, Нора (ред.). ΣΩΜΑ: Körperkonzepte und körperliche Existenz in der antiken Philosophie und Literatur . Гамбург: Феликс Майнер. стр. 287–322. ISBN 978-3-7873-2928-1.
  85. ^ Stein, Sherman (2004). "Archimedes and his floating paraboloids" . В Hayes, David F.; Shubin, Tatiana (ред.). Mathematical Adventures for Students and Amateurs . Washington: Mathematical Association of America. стр. 219–231. ISBN 0-88385-548-8.
    Роррес, Крис (2004). «Завершение второй книги Архимеда о плавающих телах». The Mathematical Intelligencer . 26 (3): 32–42. doi :10.1007/bf02986750.
    Гирстмайер, Курт; Кирхнер, Герхард (2008). «К завершению трактата Архимеда о плавающих телах». Expositiones Mathematicae . 26 (3): 219–236. doi : 10.1016/j.exmath.2007.11.002 .
  86. ^ ab "Греко-римские головоломки". Джанни А. Сарконе и Мари Дж. Вэбер . Получено 9 мая 2008 г.
  87. ↑ Колата, Джина (14 декабря 2003 г.). «В головоломке Архимеда — новый момент эврики». The New York Times . Получено 23 июля 2007 г.
  88. ↑ Эд Пегг-младший (17 ноября 2003 г.). «The Loculus of Archimedes, Solved» (Раскрытие геометрического места Архимеда). Математическая ассоциация Америки . Получено 18 мая 2008 г.
  89. ^ Роррес, Крис. "Archimedes' Stomachion". Courant Institute of Mathematical Sciences . Получено 14 сентября 2007 г.
  90. ^ Крумбигель, Б. и Амтор, А. Das Issuea Bovinum des Archimedes , Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik 25 (1880), стр. 121–136, 153–171.
  91. ^ Calkins, Keith G. "Archimedes' Problema Bovinum". Andrews University . Архивировано из оригинала 12 октября 2007 года . Получено 14 сентября 2007 года .
  92. ^ "Archimedes' Book of Lemmas". cut-the-knot . Получено 7 августа 2007 г.
  93. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (апрель 1999). "Heron of Alexandria". Университет Сент-Эндрюс . Получено 17 февраля 2010 .
  94. ^ Дилке, Освальд AW 1990. [Без названия]. Gnomon 62(8):697–99. JSTOR  27690606.
  95. ^ Бертло, Марсель. 1891. «Sur l histoire de la Balance Hydrostatic et de Quelques Autres Appareils et Procédés Scientifiques». Annales de Chimie et de Physique 6 (23): 475–85.
  96. ^ ab Wilson, Nigel (2004). «Палимпсест Архимеда: отчет о ходе работы». Журнал Художественного музея Уолтерса . 62 : 61–68. JSTOR  20168629.
  97. ^ Истон, Р. Л.; Ноэль, В. (2010). «Бесконечные возможности: десять лет изучения палимпсеста Архимеда». Труды Американского философского общества . 154 (1): 50–76. JSTOR  20721527.
  98. ^ Миллер, Мэри К. (март 2007 г.). «Чтение между строк». Смитсоновский институт .
  99. ^ «Редкая работа Архимеда продана за 2 миллиона долларов». CNN . 29 октября 1998 г. Архивировано из оригинала 16 мая 2008 г. Получено 15 января 2008 г.
  100. ^ Christie's (б.д.). Результаты аукциона
  101. ^ "Рентгеновские лучи раскрывают секреты Архимеда". BBC News. 2 августа 2006 г. Получено 23 июля 2007 г.
  102. ^ Piñar, G.; Sterflinger, K.; Ettenauer, J.; Quandt, A.; Pinzari, F. (2015). «Комбинированный подход к оценке микробного загрязнения палимпсеста Архимеда». Microbial Ecology . 69 (1): 118–134. Bibcode :2015MicEc..69..118P. doi :10.1007/s00248-014-0481-7. PMC 4287661 . PMID  25135817. 
  103. ^ Ачерби, Ф. (2013). «Обзор: Р. Нетц, В. Ноэль, Н. Чернецка, Н. Уилсон (ред.), Архимед Палимпсест, 2001». Оценка . 10 : 34–46.
  104. ↑ Отец математики: Джейн Мьюир, «О людях и числах: история великих математиков», стр. 19.

    Отец математической физики: Джеймс Х. Уильямс-младший , «Основы прикладной динамики», стр. 30, Карл Б. Бойер, Ута К. Мерцбах, «История математики», стр. 111, Стюарт Холлингдейл, «Творцы математики», стр. 67, Игорь Ушаков, «В начале было число» (2), стр. 114.

  105. ↑ ET Bell, Men of Mathematics, стр. 20.
  106. ^ Альфред Норт Уайтхед. «Влияние западной средневековой культуры на развитие современной науки» . Получено 4 апреля 2022 г.
  107. ↑ Джордж Ф. Симмонс, «Жемчужины исчисления: краткие жизни и памятные математические произведения», стр. 43.
  108. ^ Ревиел Нец, Уильям Ноэль, Кодекс Архимеда: Раскрытие секретов величайшего в мире палимпсеста
  109. ^ "The Steam-Engine". Nelson Examiner and New Zealand Chronicle . Том I, № 11. Нельсон: Национальная библиотека Новой Зеландии. 21 мая 1842 г. стр. 43. Получено 14 февраля 2011 г.
  110. ↑ Паровой двигатель. Журнал Penny Magazine. 1838. С. 104.
  111. ^ Роберт Генри Терстон (1996). История развития паровой машины. Elibron. стр. 12. ISBN 1-4021-6205-7.
  112. ^ Мэтьюз, Майкл. Время для научного образования: как преподавание истории и философии маятникового движения может способствовать научной грамотности . стр. 96.
  113. ^ "Архимед – Галилео Галилей и Архимед". exhibitions.museogalileo.it . Получено 16 июня 2021 г. .
  114. ^ Йодер, Дж. (1996). «По следам геометрии: математический мир Христиана Гюйгенса». Де Зевентьенде Эув. Джаарганг 12 .
  115. ^ Бойер, Карл Б. и Ута К. Мерцбах . 1968. История математики . Гл. 7.
  116. ↑ Джей Голдман, Королева математики: исторически мотивированное руководство по теории чисел, стр. 88.
  117. ^ ET Bell, Men of Mathematics, стр. 237
  118. ^ В. Бернард Карлсон, Тесла: изобретатель электрического века, стр. 57
  119. ^ Фридлендер, Джей; Уильямс, Дэйв. «Косой вид на кратер Архимеда на Луне». NASA . Получено 13 сентября 2007 г.
  120. ^ Riehm, C. (2002). "The early history of the Fields Medal" (PDF) . Notices of the AMS . 49 (7): 778–782. Латинская надпись римского поэта Манилия, окружающая изображение, может быть переведена как "Выйти за рамки своего понимания и стать хозяином вселенной". Фраза взята из Astronomica 4.392 Манилия первого века нашей эры (стр. 782).
  121. ^ "Медаль Филдса". Институт исследований математических наук имени Филдса . 5 февраля 2015 г. Получено 23 апреля 2021 г.
  122. ^ "Fields Medal". Международный математический союз . Получено 23 апреля 2021 г.
  123. ^ Роррес, Крис. "Марки Архимеда". Институт математических наук Куранта . Получено 25 августа 2007 г.
  124. ^ "California Symbols". Музей Капитолия штата Калифорния. Архивировано из оригинала 12 октября 2007 года . Получено 14 сентября 2007 года .

Дальнейшее чтение

В Wikisource есть текст статьи « Архимед » из Британской энциклопедии 1911 года .

Внешние ссылки