Асимптотика Планшереля–Ротаха

Асимптотические значения полиномов Эрмита или Лагерра

Асимптотика Планшереля –Ротаха — это асимптотический результат для ортогональных многочленов . Она названа в честь швейцарских математиков Мишеля Планшереля и его аспиранта Вальтера Ротаха, которые впервые вывели асимптотику для многочлена Эрмита и многочлена Лагерра . В настоящее время асимптотические разложения такого рода для ортогональных многочленов называются асимптотикой Планшереля–Ротаха или асимптотикой типа Планшереля–Ротаха . ^[1]

Случай для связанного полинома Лагерра был выведен швейцарским математиком Эгоном Мёклином, еще одним аспирантом Планшереля и Джорджа Полиа в Швейцарской высшей технической школе Цюриха . ^[2]

Многочлены Эрмита

Пусть обозначает n-й полином Эрмита. Пусть и положительны и фиксированы, тогда ${\displaystyle H_{n}(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \omega }$

• для и ${\displaystyle x=(2n+1)^{1/2}\cos \varphi }$ ${\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq \pi -\epsilon }$

${\displaystyle e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=2^{n/2+1/4}(n!)^{1/2}(\pi n)^{-1/4}(\sin \varphi )^{-1/2}{\bigg \{}\sin \left[\left({\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{4}}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(n^{-1}){\bigg \}}}$

• для и ${\displaystyle x=(2n+1)^{1/2}\cosh \varphi }$ ${\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq \omega }$

${\displaystyle e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=2^{n/2-3/4}(n!)^{1/2}(\pi n)^{-1/4}(\sinh \varphi )^{-1/2}\exp \left[\left({\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{4}}\right)(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]{\big \{}1+{\mathcal {O}}(n^{-1}){\big \}}}$

• для и комплексного и ограниченного ${\displaystyle x=(2n+1)^{1/2}-2^{-1/2}3^{-1/3}n^{-1/6}t}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=3^{1/3}\pi ^{-3/4}2^{n/2+1/4}(n!)^{1/2}n^{-1/12}{\bigg \{}\operatorname {Ai} (t)+{\mathcal {O}}\left(n^{-{2/3}}\right){\bigg \}}}$

где обозначает функцию Эйри . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Ai} }$

(Связанные) полиномы Лагерра

Пусть обозначает n-й ассоциированный полином Лагерра. Пусть будет произвольным и действительным, а будет положительным и фиксированным, тогда ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \omega }$

• для и ${\displaystyle x=(4n+2\alpha +2)\cos ^{2}\varphi }$ ${\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq {\tfrac {\pi }{2}}-\epsilon n^{-1/2}}$

${\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{n}(\pi \sin \varphi )^{-1/2}x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}{\big \{}\sin \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3\pi /4\right]+(nx)^{-1/2}{\mathcal {O}}(1){\big \}}}$

• для и ${\displaystyle x=(4n+2\alpha +2)\cosh ^{2}\varphi }$ ${\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq \omega }$

${\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n}(\pi \sinh \varphi )^{-1/2}x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}\exp \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]\{1+{\mathcal {O}}\left(n^{-1}\right)\}}$

• для и комплексного и ограниченного ${\displaystyle x=4n+2\alpha +2-2(2n/3)^{1/3}t}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{n}\pi ^{-1}2^{-\alpha -1/3}3^{1/3}n^{-1/3}{\bigg \{}\operatorname {Ai} (t)+{\mathcal {O}}\left(n^{-2/3}\right){\bigg \}}}$. ^[3]

Литература

• Сегё, Габор (1975). Ортогональные полиномы . Том. 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1023-5.

Ссылки

1. Ротач, Уолтер (1925). Reihenentwicklungen einer willkürlichen Funktion nach Hermite'schen und Laguerre'schen Polynomen (Thesis). ETH Цюрих. doi : 10.3929/ethz-a-000092029. hdl : 20.500.11850/133495.
2. Мёклин, Эгон (1934). Асимптотическое Entwicklungen der Laguerreschen Polynome (Диссертация). ETH Цюрих. doi : 10.3929/ethz-a-000092417. hdl : 20.500.11850/133650.
3. Сегё, Габор (1975). Ортогональные полиномы . Том. 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 200–201. ISBN 0-8218-1023-5.