Ассоциатор

В абстрактной алгебре термин ассоциатор используется по-разному как мера неассоциативности алгебраической структуры . Ассоциаторы обычно изучаются как тройные системы .

Теория колец

Для неассоциативного кольца или алгебры R ассоциатор — это полилинейное отображение, заданное формулой ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]:R\times R\times R\to R}$

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz).}$

Так же как и коммутатор

${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

измеряет степень некоммутативности , ассоциатор измеряет степень неассоциативности R. Для ассоциативного кольца или алгебры ассоциатор тождественно равен нулю.

Ассоциатор в любом кольце подчиняется тождеству

${\displaystyle w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz].}$

Ассоциатор является чередующимся именно тогда, когда R является альтернативным кольцом .

Ассоциатор симметричен по двум своим правым аргументам, когда R является предалгеброй Ли .

Ядро — это набор элементов, которые связаны со всеми остальными: то есть n в R , такие что

${\displaystyle [n,R,R]=[R,n,R]=[R,R,n]=\{0\}\ .}$

Ядро является ассоциативным подкольцом кольца R.

Теория квазигрупп

Квазигруппа Q — это множество с бинарной операцией, такое, что для каждого a , b из Q уравнения и имеют единственные решения x , y из Q. В квазигруппе Q ассоциатор — это отображение, определяемое уравнением ${\displaystyle \cdot :Q\times Q\to Q}$ ${\displaystyle a\cdot x=b}$ ${\displaystyle y\cdot a=b}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot ):Q\times Q\times Q\to Q}$

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=(a\cdot (b\cdot c))\cdot (a,b,c)}$

для всех a , b , c из Q. Как и его аналог в теории колец, ассоциатор квазигруппы является мерой неассоциативности Q.

Многомерная алгебра

В многомерной алгебре , где могут быть нетождественные морфизмы между алгебраическими выражениями, ассоциатор является изоморфизмом

${\displaystyle a_{x,y,z}:(xy)z\mapsto x(yz).}$

Теория категорий

В теории категорий ассоциатор выражает ассоциативные свойства функтора внутреннего произведения в моноидальных категориях .

Смотрите также

• Коммутатор
• Неассоциативная алгебра
• Квази-биалгебра  – обсуждает ассоциатор Дринфельда

Ссылки

• Бремнер, М.; Хентцель, И. (март 2002 г.). «Тождества для ассоциатора в альтернативных алгебрах». Журнал символических вычислений . 33 (3): 255–273. CiteSeerX  10.1.1.85.1905 . doi :10.1006/jsco.2001.0510.
• Шефер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Довер. ISBN 0-486-68813-5.