индекс Аткинсона

Индекс Аткинсона (также известный как мера Аткинсона или мера неравенства Аткинсона ) — это мера неравенства доходов, разработанная британским экономистом Энтони Барнсом Аткинсоном . Мера полезна для определения того, какой конец распределения внес наибольший вклад в наблюдаемое неравенство. ^[1]

Определение

Индекс можно превратить в нормативную меру, назначив коэффициент для взвешивания доходов. Больший вес можно придать изменениям в заданной части распределения доходов , выбрав соответствующим образом уровень «неприятия неравенства». Индекс Аткинсона становится более чувствительным к изменениям в нижней части распределения доходов по мере его увеличения. И наоборот, по мере того, как уровень неприятия неравенства падает (то есть приближается к 0), индекс Аткинсона становится менее чувствительным к изменениям в нижней части распределения. Индекс Аткинсона не имеет значения высокой чувствительности к верхним доходам из-за общего ограничения, которое является неотрицательным. ^[2] ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Параметр Аткинсона часто называют «параметром неприятия неравенства», поскольку он регулирует чувствительность подразумеваемых потерь общественного благосостояния от неравенства к неравенству доходов, измеряемую некоторым соответствующим обобщенным индексом энтропии. Индекс Аткинсона определяется относительно соответствующей функции общественного благосостояния, где средний доход, умноженный на единицу минус индекс Аткинсона, дает эквивалентный равномерно распределенный доход благосостояния . Таким образом, индекс Аткинсона дает долю текущего дохода, которой можно было бы пожертвовать, не уменьшая общественного благосостояния, если бы было установлено совершенное неравенство. Для , (отсутствие неприятия неравенства) предельное общественное благосостояние от дохода инвариантно к доходу, т. е. предельные увеличения дохода производят столько же общественного благосостояния, независимо от того, достаются ли они бедному или богатому человеку. В этом случае эквивалентный равномерно распределенный доход благосостояния равен среднему доходу, а индекс Аткинсона равен нулю. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$

Для (бесконечного отвращения к неравенству) предельное общественное благосостояние дохода самого бедного человека бесконечно больше, чем у любого даже немного более богатого человека, а функция общественного благосостояния Аткинсона равна наименьшему доходу в выборке. В этом случае индекс Аткинсона равен среднему доходу за вычетом наименьшего дохода, деленного на средний доход. Поскольку в больших типичных распределениях доходов доход, равный нулю или близкий к нулю, является обычным явлением, индекс Аткинсона будет стремиться быть равным единице или очень близким к единице для очень больших . ${\displaystyle \varepsilon =+\infty }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Индекс Аткинсона тогда варьируется от 0 до 1 и является мерой величины общественной полезности, которая может быть получена путем полного перераспределения данного распределения дохода для данного параметра. Согласно утилитаристскому этическому стандарту и некоторым ограничительным предположениям (однородное население и постоянная эластичность замещающей полезности), равен эластичности дохода предельной полезности дохода. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Индекс Аткинсона определяется как:

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{for}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{for}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{for}}\ \varepsilon =+\infty \end{cases}}}$

где — индивидуальный доход ( i = 1, 2, ..., N ), а — средний доход. ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

Другими словами, индекс Аткинсона представляет собой дополнение к 1 отношения обобщенного среднего показателя Гельдера 1−ε к среднему арифметическому доходов (где, как обычно, обобщенное среднее показателя 0 интерпретируется как среднее геометрическое ).

Индекс Аткинсона удовлетворяет следующим свойствам:

1. Индекс симметричен по своим аргументам: для любой перестановки . ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})}$ ${\displaystyle \sigma }$
2. Индекс неотрицателен и равен нулю только в том случае, если все доходы одинаковы: тогда и только тогда, когда для всех . ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0}$ ${\displaystyle y_{i}=\mu }$ ${\displaystyle i}$
3. Индекс удовлетворяет принципу трансфертов : если трансферт осуществляется от лица с доходом к другому лицу с доходом таким, что , то индекс неравенства не может увеличиться. ${\displaystyle \Delta >0}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta }$
4. Индекс удовлетворяет аксиоме репликации популяции: если новая популяция формируется путем репликации существующей популяции произвольное число раз, неравенство остается прежним: ${\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}$
5. Индекс удовлетворяет аксиоме средней независимости или однородности доходов: если все доходы умножить на положительную константу, неравенство останется прежним: для любого . ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})}$ ${\displaystyle k>0}$
6. Индекс является подгруппоразложимым. ^[3] Это означает, что общее неравенство в популяции можно вычислить как сумму соответствующих индексов Аткинсона внутри каждой группы и индекса Аткинсона средних доходов группы:

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}A_{\varepsilon }(y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+A_{\varepsilon }(\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})}$

где индексы групп, , индивидов внутри групп, — средний доход в группе , а веса зависят от и . Класс индексов неравенства, разлагаемых на подгруппы, очень ограничен. Многие популярные индексы, включая индекс Джини , не удовлетворяют этому свойству. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w_{g}}$ ${\displaystyle \mu _{g},\mu ,N}$ ${\displaystyle N_{g}}$

Смотрите также

• Показатели неравенства доходов
• Обобщенный индекс энтропии
• индекс Джини

Сноски

1. inter alia «Доход, бедность и медицинское страхование в Соединенных Штатах: 2010», Бюро переписи населения США , 2011, стр. 10
2. Индекс Аткинсона связан с классом индексов неравенства обобщенной энтропии (GE) следующим образом: - т. е. индекс Аткинсона с высоким неприятием неравенства выводится из индекса GE с малым . Индексы GE с большим чувствительны к существованию больших верхних доходов, но соответствующий индекс Аткинсона будет иметь отрицательное . Для гипотетического индекса Аткинсона с отрицательным подразумеваемая функция общественной полезности будет выпуклой по доходу, а индекс Аткинсона будет неположителен. ${\displaystyle \epsilon =1-\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$
3. Шоррокс, А. Ф. (1980). Класс аддитивно разложимых индексов неравенства. Econometrica , 48 (3), 613–625, doi :10.2307/1913126

Ссылки

• Аткинсон, AB (1970) Об измерении неравенства. Журнал экономической теории , 2 (3), стр. 244–263, doi :10.1016/0022-0531(70)90039-6. Оригинальная статья, предлагающая этот индекс неравенства.
• Allison PD (1978) Measures of Inequality, American Sociological Review , 43, стр. 865–880. Представляет техническое обсуждение свойств меры Аткинсона. В формуле индекса Аткинсона есть ошибка, которая исправлена ​​в Allison (1979).
• Эллисон, П.Д. (1979) Ответ Джассо. American Sociological Review 44(5):870–72.
• Бивен М., Дженкинс СП (2003). Оценка обобщенной энтропии и индексов неравенства Аткинсона по данным комплексного обследования. Дискуссионный документ IZA № 763. Предоставляет статистические выводы для индексов Аткинсона.
• Ламберт, П. (2002). Распределение и перераспределение доходов . 3-е издание, Manchester Univ Press, ISBN 978-0-7190-5732-8 . 
• Сен А., Фостер Дж. Э. (1997) Об экономическом неравенстве , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-828193-1 . (Скрипт Python для выбора формул в книге) 
• База данных о неравенстве доходов в мире. Архивировано 13 марта 2011 г. на Wayback Machine , предоставлено Всемирным институтом исследований экономики развития.
• Неравенство доходов, 1947–1998 гг., по данным Бюро переписи населения США .

Внешние ссылки

Программное обеспечение:

• Бесплатный онлайн-калькулятор вычисляет коэффициент Джини, строит кривую Лоренца и вычисляет множество других показателей концентрации для любого набора данных.
• Бесплатный калькулятор: онлайн и загружаемые скрипты ( Python и Lua ) для неравенств Аткинсона, Джини и Гувера
• Пользователи программного обеспечения для анализа данных R могут установить пакет «ineq», который позволяет вычислять различные индексы неравенства, включая Джини, Аткинсона и Тейла.
• Пакет неравенства MATLAB Архивировано 2008-10-04 на Wayback Machine , включая код для вычисления индексов Джини, Аткинсона, Тейла и для построения кривой Лоренца. Доступно много примеров.
• Пакеты неравенств Stata : ineqdeco для разложения неравенства по группам; svygei и svyatk для вычисления согласованных дисперсий для обобщенной энтропии и индексов Аткинсона; glcurve для получения обобщенной кривой Лоренца. Вы можете ввести ssc install ineqdecoetc. в приглашении Stata для установки этих пакетов.