Распределение Бейтса

Распределение вероятностей

В вероятностной и деловой статистике распределение Бейтса , названное в честь Грейс Бейтс , представляет собой вероятностное распределение среднего значения ряда статистически независимых равномерно распределенных случайных величин на единичном интервале . ^[1] Это распределение связано с равномерным , треугольным и нормальным гауссовым распределением и имеет применение в вещательной технике для улучшения сигнала.

Распределение Бейтса иногда путают ^[2] с распределением Ирвина–Холла , которое является распределением суммы ( не среднего ) n независимых случайных величин, равномерно распределенных от 0 до 1. Если X имеет распределение Бейтса на единичном интервале, то n X имеет распределение Ирвина–Холла; при n  = 1 они оба равномерно распределены.

Определение

Распределение Бейтса — это непрерывное распределение вероятностей среднего значения X n независимых равномерно распределенных случайных величин на единичном интервале U _k :

${\displaystyle X={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}$

Уравнение, определяющее функцию плотности вероятности случайной величины распределения Бейтса X , имеет вид

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(nx-k)}$

для x в интервале (0,1) и ноль в остальных местах. Здесь sgn( nx − k ) обозначает функцию знака :

${\displaystyle \operatorname {sgn}(nx-k)={\begin{cases}-1&nx<k\\0&nx=k\\1&nx>k.\end{cases}}}$

В более общем смысле, среднее значение n независимых равномерно распределенных случайных величин на интервале [ a , b ]

${\displaystyle X_{(a,b)}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}(a,b).}$

будет иметь функцию плотности вероятности (PDF)

${\displaystyle g(x;n,a,b)={\frac {1}{b-a}}f_{X}\left({\frac {x-a}{b-a}};n\right){\text{ for }}a\leq x\leq b}$

Расширения и приложения

С некоторыми изменениями распределение Бейтса охватывает равномерное , треугольное и, если принять предел при n, стремящемся к бесконечности, также нормальное гауссовское распределение .

Замена члена при вычислении среднего значения X на создаст похожее распределение с постоянной дисперсией, например, единицей. Затем, вычитая среднее значение, результирующее среднее значение распределения будет установлено равным нулю. Таким образом, параметр n станет чисто параметром, корректирующим форму . Также позволяя n быть нецелым числом, можно создать очень гибкое распределение, например, U (0,1) + 0,5 U (0,1) дает трапециевидное распределение . ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$

Распределение Стьюдента-t обеспечивает естественное расширение нормального гауссовского распределения для моделирования данных с длинным хвостом . Распределение Бейтса, которое было обобщено, как было указано ранее, выполняет ту же цель для данных с коротким хвостом .

Распределение Бейтса применяется для формирования диаграммы направленности и синтеза диаграммы направленности в области электротехники . Было обнаружено, что распределение увеличивает ширину диаграммы направленности главного лепестка , что представляет собой увеличение сигнала диаграммы направленности в одном направлении, одновременно снижая обычно нежелательные ^{[3] уровни} боковых лепестков . ^{[4] [ нужна страница ]}

Смотрите также

• Распределение Ирвина–Холла
• Нормальное распределение
• Центральная предельная теорема
• Равномерное распределение (непрерывное)
• Треугольное распределение

Ссылки

1. Джонсон, Н. Л.; Коц, С.; Балакришнан (1995) Непрерывные одномерные распределения , том 2, 2-е издание, Wiley ISBN  0-471-58494-0 (раздел 26.9)
2. "Вещь под названием "распределение Ирвина-Холла" в d3.random на самом деле является распределением Бейтса · Выпуск № 1647 · d3/d3". GitHub . Архивировано из оригинала 12 декабря 2020 г. Получено 17 апреля 2018 г.
3. «Поведение боковых лепестков и характеристики полосы пропускания распределенных антенных решеток». Январь 2018 г. С. 1–2.
4. "Энциклопедия физических наук и технологий". ScienceDirect . Получено 16.12.2021 .

Дальнейшее чтение

• Бейтс, GE (1955) «Совместные распределения временных интервалов для возникновения последовательных аварий в обобщенной схеме урн Пойа», Annals of Mathematical Statistics , 26, 705–720