stringtranslate.com

Бенуа Мандельброт

Бенуа Б. [n 1] Мандельброт [n 2] (20 ноября 1924 г. – 14 октября 2010 г.) был французско-американским математиком и эрудитом польского происхождения с широкими интересами в практических науках, особенно в отношении того, что он называл «искусством грубости» физических явлений и «неконтролируемым элементом в жизни». [6] [7] [8] Он называл себя «фракталистом» [9] и признан за свой вклад в область фрактальной геометрии , который включал создание слова «фрактал», а также разработку теории «грубости и самоподобия » в природе. [10]

В 1936 году, в возрасте 11 лет, Мандельброт и его семья эмигрировали из Варшавы , Польша, во Францию. После окончания Второй мировой войны Мандельброт изучал математику, окончил университеты в Париже и в Соединенных Штатах и ​​получил степень магистра в области аэронавтики в Калифорнийском технологическом институте . Он провел большую часть своей карьеры как в Соединенных Штатах, так и во Франции, имея двойное французское и американское гражданство. В 1958 году он начал 35-летнюю карьеру в IBM , где он стал IBM Fellow и периодически брал отпуска, чтобы преподавать в Гарвардском университете . В Гарварде, после публикации его исследования американских товарных рынков в связи с хлопковыми фьючерсами, он преподавал экономику и прикладные науки.

Благодаря своему доступу к компьютерам IBM, Мандельброт был одним из первых, кто использовал компьютерную графику для создания и отображения фрактальных геометрических изображений, что привело к его открытию множества Мандельброта в 1980 году. Он показал, как визуальная сложность может быть создана из простых правил. Он сказал, что вещи, которые обычно считаются «грубыми», «беспорядочными» или «хаотичными», такие как облака или береговые линии, на самом деле имеют «степень порядка». [11] Его исследования, ориентированные на математику и геометрию, включали вклад в такие области, как статистическая физика , метеорология , гидрология , геоморфология , анатомия , таксономия , неврология , лингвистика , информационные технологии , компьютерная графика , экономика , геология , медицина , физическая космология , инженерия , теория хаоса , эконофизика , металлургия и социальные науки . [12]

Ближе к концу своей карьеры он был профессором математических наук в Йельском университете , где он был старейшим профессором в истории Йельского университета, получившим постоянную должность. [13] Мандельброт также занимал должности в Тихоокеанской северо-западной национальной лаборатории , Университете Лилль-Нор-де-Франс , Институте перспективных исследований и Национальном центре научных исследований . За свою карьеру он получил более 15 почетных докторских степеней и работал во многих научных журналах, а также получил множество наград. Его автобиография «Фракталист: мемуары научного индивидуалиста » была опубликована посмертно в 2012 году.

Ранние годы

Бенедикт Мандельброт [15] родился в семье литовских евреев в Варшаве во время Второй Польской Республики . [16] Его отец зарабатывал на жизнь торговлей одеждой; мать была стоматологом-хирургом. В течение первых двух школьных лет его частным образом обучал дядя, который презирал зубрежку : «Большую часть времени я проводил за игрой в шахматы, чтением карт и изучением того, как открывать глаза на все вокруг меня». [17] В 1936 году, когда ему было 11 лет, семья эмигрировала из Польши во Францию. Переезд, Вторая мировая война и влияние брата его отца, математика Шолема Мандельбройта (который переехал в Париж около 1920 года), еще больше помешали стандартному образованию. «Тот факт, что мои родители, как экономические и политические беженцы, присоединились к Шолему во Франции, спас нам жизнь», — пишет он. [9] : 17  [18]

Мандельброт посещал лицей Роллен (ныне Коллеж-лицей Жак-Декур ) в Париже до начала Второй мировой войны , когда его семья переехала в Тюль , Франция. Ему помог раввин Давид Фейерверкер , раввин Брив-ла-Гайарда , продолжить учебу. [9] : 62–63  [19] Большая часть Франции была оккупирована нацистами в то время, и Мандельброт вспоминает этот период:

Нашим постоянным страхом было то, что достаточно решительный враг может донести на нас властям, и мы будем отправлены на смерть. Это случилось с близкой подругой из Парижа, Зиной Морханж , врачом в соседнем округе. Просто чтобы устранить конкурентку, другой врач донес на нее... Мы избежали этой участи. Кто знает почему? [9] : 49 

В 1944 году Мандельброт вернулся в Париж, учился в Lycée du Parc в Лионе , а с 1945 по 1947 год посещал École Polytechnique , где учился у Гастона Жюлиа и Поля Леви . С 1947 по 1949 год он учился в Калифорнийском технологическом институте, где получил степень магистра в области аэронавтики. [2] Вернувшись во Францию, он получил степень доктора философии в области математических наук в Парижском университете в 1952 году. [17]

Исследовательская карьера

С 1949 по 1958 год Мандельброт был сотрудником Centre National de la Recherche Scientifique . В это время он провел год в Institute for Advanced Study в Принстоне, штат Нью-Джерси , где его спонсировал Джон фон Нейман . В 1955 году он женился на Алиетт Каган и переехал в Женеву, Швейцария (чтобы сотрудничать с Жаном Пиаже в Международном центре генетической эпистемологии), а затем в Университет Лилль-Нор-де-Франс . [20] В 1958 году пара переехала в Соединенные Штаты, где Мандельброт присоединился к исследовательскому составу IBM Thomas J. Watson Research Center в Йорктаун-Хайтс, штат Нью-Йорк . [20] Он оставался в IBM в течение 35 лет, став IBM Fellow, а затем Fellow Emeritus . [17]

Начиная с 1951 года Мандельброт работал над проблемами и публиковал статьи не только по математике, но и в прикладных областях, таких как теория информации , экономика и гидродинамика .

Хаотичность и фракталы на финансовых рынках

Мандельброт рассматривал финансовые рынки как пример «дикой случайности», характеризующейся концентрацией и долгосрочной зависимостью. Он разработал несколько оригинальных подходов для моделирования финансовых колебаний. [21] В своей ранней работе он обнаружил, что изменения цен на финансовых рынках следуют не гауссовскому распределению , а скорее устойчивым распределениям Леви с бесконечной дисперсией . Например, он обнаружил, что цены на хлопок следуют устойчивому распределению Леви с параметром α , равным 1,7, а не 2, как в гауссовском распределении. «Стабильные» распределения обладают тем свойством, что сумма многих случаев случайной величины следует тому же распределению, но с большим параметром масштаба . [22] Последняя работа начала 60-х годов была выполнена с ежедневными данными цен на хлопок с 1900 года, задолго до того, как он ввел слово «фрактал». В более поздние годы, после того как концепция фракталов созрела, изучение финансовых рынков в контексте фракталов стало возможным только после появления высокочастотных данных в финансах. В конце 1980-х годов Мандельброт использовал внутридневные тиковые данные, предоставленные Olsen & Associates в Цюрихе [23] [24], чтобы применить фрактальную теорию к рыночной микроструктуре. Это сотрудничество привело к публикации первых всеобъемлющих статей о законе масштабирования в финансах. [25] [26] Этот закон демонстрирует схожие свойства в разных временных масштабах, подтверждая понимание Мандельбротом фрактальной природы рыночной микроструктуры. Собственные исследования Мандельброта в этой области представлены в его книгах Fractals and Scaling in Finance [27] и The (Mis)behavior of Markets [28] .

Развитие «фрактальной геометрии» и множества Мандельброта

Будучи приглашенным профессором Гарвардского университета , Мандельброт начал изучать математические объекты, называемые множествами Жюлиа , которые были инвариантны относительно определенных преобразований комплексной плоскости . Основываясь на предыдущих работах Гастона Жюлиа и Пьера Фату , Мандельброт использовал компьютер для построения изображений множеств Жюлиа. Исследуя топологию этих множеств Жюлиа, он изучал множество Мандельброта , которое было введено им в 1979 году.

Мандельброт говорит о множестве Мандельброта во время своей речи при вручении ордена Почетного легиона в 2006 году

В 1975 году Мандельброт ввел термин фрактал для описания этих структур и впервые опубликовал свои идеи во французской книге Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension , позже переведенной в 1977 году как Fractals: Form, Chance and Dimension . [29] По словам ученого-компьютерщика и физика Стивена Вольфрама , эта книга стала «прорывом» для Мандельброта, который до этого обычно «применял довольно простую математику... к областям, которые раньше едва видели свет серьезной математики». [11] Вольфрам добавляет, что в результате этого нового исследования он больше не был «странствующим ученым», и позже назвал его «отцом фракталов»:

Мандельброт в конечном итоге сделал великое научное открытие и сформулировал гораздо более сильную и фундаментальную идею — проще говоря, что существуют некоторые геометрические фигуры, которые он назвал «фракталами», которые одинаково «грубы» во всех масштабах. Как бы внимательно вы ни смотрели, они никогда не становятся проще, так же как часть скалистого побережья, которую вы видите у своих ног, выглядит такой же неровной, как и участок, который вы видите из космоса. [11]

Вольфрам кратко описывает фракталы как форму геометрического повторения, «в которой все меньшие и меньшие копии узора последовательно вложены друг в друга, так что одни и те же замысловатые формы появляются независимо от того, насколько вы приближаете целое. Листья папоротника и романская брокколи — два примера из природы». [11] Он указывает на неожиданный вывод:

Можно было бы подумать, что такая простая и фундаментальная форма регулярности изучалась бы сотни, если не тысячи лет. Но это не так. Фактически, она приобрела известность только за последние 30 лет или около того — почти исключительно благодаря усилиям одного человека, математика Бенуа Мандельброта. [11]

Мандельброт использовал термин «фрактал», поскольку он произошел от латинского слова «fractus», определяемого как разбитое или осколки стекла. Используя недавно разработанные компьютеры IBM, имевшиеся в его распоряжении, Мандельброт смог создать фрактальные изображения с помощью графического компьютерного кода, изображения, которые интервьюер описал как похожие на «безумное изобилие психоделического искусства 1960-х годов с формами, навязчиво напоминающими природу и человеческое тело». Он также считал себя «потенциальным Кеплером», в честь ученого 17-го века Иоганна Кеплера , который вычислил и описал орбиты планет. [30]

Множество Мандельброта

Однако Мандельброт никогда не чувствовал, что изобретает новую идею. Он описал свои чувства в документальном фильме с научным писателем Артуром Кларком:

Исследуя этот набор, я, конечно, никогда не испытывал чувства изобретения. У меня никогда не было чувства, что мое воображение было достаточно богатым, чтобы изобрести все эти необычайные вещи, обнаружив их. Они были там, хотя никто их раньше не видел. Это чудесно, очень простая формула объясняет все эти очень сложные вещи. Так что цель науки — начать с беспорядка и объяснить его простой формулой, своего рода мечтой науки. [31]

По словам Кларка, « множество Мандельброта действительно является одним из самых поразительных открытий за всю историю математики. Кто мог подумать, что такое невероятно простое уравнение может генерировать изображения буквально бесконечной сложности?» Кларк также отмечает «странное совпадение»:

имя Мандельброт и слово « мандала » — для обозначения религиозного символа — что, я уверен, является чистым совпадением, но на самом деле множество Мандельброта, похоже, содержит огромное количество мандал. [31]

В 1982 году Мандельброт расширил и обновил свои идеи в работе «Фрактальная геометрия природы » . [32] Эта влиятельная работа вывела фракталы в русло профессиональной и популярной математики, а также заставила замолчать критиков, которые отвергали фракталы как « программные артефакты ».

Мандельброт покинул IBM в 1987 году, после 35 лет и 12 дней, когда IBM решила прекратить чистые исследования в его подразделении. [33] Он присоединился к кафедре математики в Йельском университете и получил свою первую постоянную должность в 1999 году, в возрасте 75 лет. [34] На момент выхода на пенсию в 2005 году он был профессором математических наук в Стерлинге.

Фракталы и «теория шероховатости»

Мандельброт создал первую в истории «теорию шероховатости», и он увидел «шероховатость» в формах гор, береговых линий и речных бассейнов ; в структурах растений, кровеносных сосудов и легких ; в скоплении галактик . Его личным стремлением было создание некоторой математической формулы для измерения общей «шероховатости» таких объектов в природе. [9] : xi  Он начал с того, что задавал себе различные виды вопросов, связанных с природой:

Может ли геометрия дать то, что, казалось бы, обещал греческий корень ее названия [geo-], — правдивое измерение не только возделанных полей вдоль реки Нил, но и дикой Земли? [9] : xii 

В своей статье « Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность », опубликованной в журнале Science в 1967 году, Мандельброт обсуждает самоподобные кривые, имеющие размерность Хаусдорфа , которые являются примерами фракталов , хотя Мандельброт не использует этот термин в статье, поскольку он не придумывал его до 1975 года. Статья является одной из первых публикаций Мандельброта на тему фракталов. [35] [36]

Мандельброт подчеркивал использование фракталов как реалистичных и полезных моделей для описания многих «грубых» явлений в реальном мире. Он пришел к выводу, что «реальная грубость часто является фрактальной и может быть измерена». [9] : 296  Хотя Мандельброт ввел термин «фрактал», некоторые из математических объектов, представленных им в «Фрактальной геометрии природы» , ранее были описаны другими математиками. Однако до Мандельброта они считались изолированными диковинками с неестественными и неинтуитивными свойствами. Мандельброт впервые объединил эти объекты и превратил их в необходимые инструменты для давно застопорившихся усилий по расширению сферы науки для объяснения негладких, «грубых» объектов в реальном мире. Его методы исследования были как старыми, так и новыми:

Форма геометрии, которую я все больше предпочитал, является самой старой, самой конкретной и самой всеобъемлющей, в частности, наделенной силой глаза и поддерживаемой рукой, а сегодня также компьютером... привносящей элемент единства в миры знания и чувства... и, невольно, в качестве бонуса, с целью создания красоты. [9] : 292 

Фракталы также встречаются в человеческих занятиях, таких как музыка, живопись, архитектура и в финансовой сфере. Мандельброт считал, что фракталы, далекие от того, чтобы быть неестественными, были во многих отношениях более интуитивными и естественными, чем искусственно гладкие объекты традиционной евклидовой геометрии :

Облака — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не окружности, кора деревьев не гладкая, а молния не распространяется по прямой линии.
  — Мандельброт, в своем введении к «Фрактальной геометрии природы»

Сечение множества Мандельброта

Мандельброта называли художником, визионером [37] и индивидуалистом. [38] Его неформальный и страстный стиль письма и акцент на визуальной и геометрической интуиции (подкрепленный включением многочисленных иллюстраций) сделали «Фрактальную геометрию природы» доступной для неспециалистов. Книга вызвала широкий интерес к фракталам и внесла вклад в теорию хаоса и другие области науки и математики.

Мандельброт также применил свои идеи в космологии. В 1974 году он предложил новое объяснение парадокса Ольберса (загадка «темного ночного неба»), продемонстрировав последствия теории фракталов как достаточного, но не необходимого решения парадокса. Он постулировал, что если бы звезды во Вселенной были распределены фрактально (например, как пыль Кантора ), то не было бы необходимости полагаться на теорию Большого взрыва для объяснения парадокса. Его модель не исключала бы Большой взрыв, но допускала бы темное небо, даже если бы Большой взрыв не произошел. [39]

Награды и почести

Награды Мандельброта включают премию Вольфа по физике в 1993 году, премию Льюиса Фрая Ричардсона Европейского геофизического общества в 2000 году, премию Японии в 2003 году [40] и лекторскую должность имени Эйнштейна Американского математического общества в 2006 году.

Небольшой астероид 27500 Мандельброт был назван в его честь. В ноябре 1990 года он был произведен в кавалеры французского ордена Почетного легиона . В декабре 2005 года Мандельброт был назначен на должность научного сотрудника Battelle в Тихоокеанской северо-западной национальной лаборатории . [41] В январе 2006 года Мандельброт был повышен до офицера ордена Почетного легиона. [42] Почетная степень Университета Джонса Хопкинса была вручена Мандельброту на выпускных мероприятиях в мае 2010 года. [43]

Частичный список наград, полученных Мандельбротом: [44]

Смерть и наследие

Мандельброт умер от рака поджелудочной железы в возрасте 85 лет в хосписе в Кембридже, штат Массачусетс , 14 октября 2010 года. [1] [50] Реагируя на известие о его смерти, математик Хайнц-Отто Пайтген сказал: «Если говорить о влиянии на математику и ее применении в науках, то он является одной из важнейших фигур последних пятидесяти лет». [1]

Крис Андерсон , куратор конференции TED , описал Мандельброта как «икону, которая изменила то, как мы видим мир». [51] Николя Саркози , президент Франции на момент смерти Мандельброта, сказал, что у Мандельброта был «мощный, оригинальный ум, который никогда не уклонялся от инноваций и разрушения предвзятых представлений [...] его работа, разработанная полностью вне основных исследований, привела к современной теории информации». [52] Некролог Мандельброта в The Economist указывает на его известность как «знаменитости за пределами академии» и восхваляет его как «отца фрактальной геометрии». [53]

Автор бестселлеров и эссе Нассим Николас Талеб заметил, что книга Мандельброта « (Не)правильное поведение рынков » является, по его мнению, «самой глубокой и реалистичной финансовой книгой из когда-либо опубликованных». [10]

Библиография

По-английски

Смотрите также

Примечания

  1. ^ ab В своей автобиографии Мандельброт не добавлял циркумфлекс к «i» (т. е. «î») в своем имени, как это обычно бывает во французском имени . Он включил «B» в качестве инициала отчества . В его некрологе в New York Times говорилось, что «он сам добавил инициал отчества, хотя он не обозначает второе имя», [1] утверждение, которое подтверждается его некрологом в The Guardian . [2]
  2. ^ Произносится / ˈ m æ n d əl b r ɒ t / MAN -dəl-brot или / ˈ m æ n d əl b r oʊ t / MAN -dəl-broht на английском языке. [3] [4] Говоря по-французски, Мандельброт произносил свое имя [bənwa mɑ̃dɛlbʁot] . [5]

Ссылки

  1. ^ abc Хоффман, Яша (16 октября 2010 г.). «Бенуа Мандельброт, математик, умер в возрасте 85 лет». The New York Times . Архивировано из оригинала 18 октября 2010 г. Получено 16 октября 2010 г.
  2. ^ ab Lesmoir-Gordon, Nigel (17 октября 2010 г.). «Некролог Бенуа Мандельброта». The Guardian . Лондон. Архивировано из оригинала 17 сентября 2013 г. Получено 17 октября 2010 г.
  3. ^ "Mandelbrot" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
  4. ^ Уэллс, Джон С. (2008). Словарь произношения Longman (3-е изд.). Longman. ISBN 978-1-4058-8118-0.
  5. ↑ Запись церемонии 11 сентября 2006 года, на которой Мандельброт получил знаки отличия офицера ордена Почетного легиона .
  6. ^ «Вспоминая отца фракталов». 22 октября 2010 г. Архивировано из оригинала 8 января 2018 г. Получено 8 января 2018 г.
  7. ↑ Mandelbrot, Benoit (февраль 2010 г.), «Фракталы и искусство грубости», TED.com , архивировано из оригинала 14 апреля 2016 г.
  8. ^ Хадсон и Мандельброт, Прелюдия, стр. xviii
  9. ^ abcdefgh Мандельброт, Бенуа (2012). Фракталист: Мемуары ученого-индивидуалиста . Pantheon Books. ISBN 978-0-307-38991-6.
  10. ^ ab Gomory, R. (2010). "Бенуа Мандельброт (1924–2010)". Nature . 468 (7322): 378. Bibcode :2010Natur.468..378G. doi : 10.1038/468378a . PMID  21085164. S2CID  4393964.
  11. ^ abcde Вольфрам, Стивен (22 ноября 2012 г.). «Отец фракталов». The Wall Street Journal . Архивировано из оригинала 25 августа 2017 г.
  12. ^ список включает в себя конкретные науки, упомянутые в Hudson & Mandelbrot, the Prelude, стр. xvi и стр. 26
  13. ↑ Олсон, Стив (ноябрь–декабрь 2004 г.). «Гений непредсказуемого». Yale Alumni Magazine . Архивировано из оригинала 22 октября 2014 г. Получено 22 июля 2014 г.
  14. ^ Мандельброт, Бенуа; Бернард Саповал; Дэниел Зайденвебер (май 1998 г.). «Сеть историй – Бенуа Мандельброт – Семейное происхождение и раннее образование». Сеть историй . Архивировано из оригинала 11 сентября 2011 г. Получено 19 октября 2010 г.
  15. ^ Голоб-Мейер, Зофия (весна 2011 г.). «Бенуа Мандельброт (1924–2010) – ojciec geometrii fractalnej». Фотон . 112 . Институт физики Ягеллонского университета: 50 . Проверено 25 декабря 2021 г.
  16. ^ Хоффман, Яша (16 октября 2010 г.). «Бенуа Мандельброт, математик-новатор, умер в возрасте 85 лет (опубликовано в 2010 г.)». The New York Times . ISSN  0362-4331. Архивировано из оригинала 21 января 2017 г. Получено 20 ноября 2020 г.
  17. ^ abc Mandelbrot, Benoît (2002). "The Wolf Prizes for Physics, A Maverick's Apprenticeship" (PDF) . Imperial College Press. Архивировано (PDF) из оригинала 3 декабря 2013 г. . Получено 23 апреля 2012 г. .
  18. ^ "Фрактальный математик Бенуа Мандельброт умер в возрасте 85 лет". BBC Online . 17 октября 2010 г. Архивировано из оригинала 18 октября 2010 г. Получено 17 октября 2010 г.
  19. ^ Хеменуэй, П. (2005). Божественная пропорция: Фи в искусстве, природе и науке . Psychology Press. ISBN 0-415-34495-6.
  20. ^ ab Mandelbrot, BB (1984). "Mathematical People, Interview of BB Mandelbrot" (PDF) . Интервью взято Энтони Барселлосом. Биркхаузер. Архивировано (PDF) из оригинала 27 апреля 2015 г. . Получено 25 июня 2013 г. .
  21. ↑ Продолжение, Рама (15 мая 2010 г.). «Мандельброт, Бенуа». Энциклопедия количественных финансов . стр. eqf01006. doi :10.1002/9780470061602.eqf01006. ISBN 9780470057568.
  22. ^ "New Scientist, 19 апреля 1997 г." . Newscientist.com. 19 апреля 1997 г. Архивировано из оригинала 21 апреля 2010 г. Получено 17 октября 2010 г.
  23. ^ Дэвидсон, Клайв (15 декабря 1997 г.). «Wildly Random Market Moves». Journal of Commerce . Архивировано из оригинала 11 июля 2021 г. – через JOC.com.
  24. ^ Малдун, Оливер (14 октября 2019 г.). «Странствующий ученый, ставший отцом фракталов». Medium.com . Получено 19 марта 2021 г. .
  25. ^ Мюллер, Ульрих А.; Дакоронья, Мишель М.; Ольсен, Ричард Б.; Пикте, Оливер В.; Шварц, Маттиас; Моргенегг, Клод (декабрь 1990 г.). «Статистическое исследование валютных курсов, эмпирические доказательства закона масштабирования изменения цен и внутридневной анализ». Журнал банковского дела и финансов . 14 (6): 1189–1208. doi :10.1016/0378-4266(90)90009-Q – через Elsevier Science Direct.
  26. ^ Мюллер, UA; Дакоронья, MM; Даве, RD; Пикте, OV; Олсен, RB; Уорд, JR (28 июня 1995 г.). «ФРАКТАЛЫ И ВНУТРЕННЕЕ ВРЕМЯ – ВЫЗОВ ЭКОНОМЕТРИКАМ». Вступительная лекция XXXIX Международной конференции Ассоциации прикладной эконометрики (AEA) . CiteSeerX 10.1.1.197.2969 . 
  27. ^ Мандельброт, Бенуа (1997). Фракталы и масштабирование в финансах . Springer. ISBN 978-1-4757-2763-0.
  28. ^ Мандельброт, Бенуа (2004). (Не)правильное поведение рынков . Profile Books. ISBN 9781861977656.
  29. ^ Фракталы: форма, случайность и размерность , Бенуа Мандельброт; WH Freeman and Co, 1977; ISBN 0-7167-0473-0 
  30. ^ Иври, Бенджамин (17 ноября 2012 г.). «Бенуа Мандельброт оказал влияние на искусство и математику». The Jewish Daily Forward . Архивировано из оригинала 2 июня 2013 г.
  31. ^ ab Артур С. Кларк – Фракталы – Цвета бесконечности, 25 декабря 2010 г., архивировано из оригинала 31 мая 2017 г. – через YouTube
  32. ^ Мандельброт, Бенуа (1982). Фрактальная геометрия природы. WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-1186-9. Архивировано из оригинала 30 ноября 2015 года.
  33. ^ Мандельброт, Бенуа; Бернард Саповал; Дэниел Зайденвебер (май 1998 г.). «Бенуа Мандельброт • IBM: предыстория и политика». Web of Stories . Архивировано из оригинала 8 сентября 2011 г. Получено 17 октября 2010 г.
  34. ↑ Tenner, Edward (16 октября 2010 г.). «Бенуа Мандельброт — Индивидуалист, 1924–2010». The Atlantic . Архивировано из оригинала 18 октября 2010 г. Получено 16 октября 2010 г.
  35. ^ "Бенуа Мандельброт, выдающийся математик, умер в возрасте 85 лет". The New York Times . 17 октября 2010 г. Архивировано из оригинала 31 декабря 2018 г. Доктор Мандельброт проследил свою работу над фракталами до вопроса, с которым он впервые столкнулся, будучи молодым исследователем: какова длина побережья Британии?"
  36. ^ Mandelbrot, Benoit B. (5 мая 1967 г.). «Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность» (PDF) . Science . 156 (3775): 636–638. Bibcode :1967Sci...156..636M. doi :10.1126/science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830. Архивировано из оригинала 13 июля 2015 г. Получено 11 января 2016 г.
  37. ^ Девани, Роберт Л. (2004). "Видение Мандельброта для математики" (PDF) . Труды симпозиумов по чистой математике . 72 (1). Американское математическое общество. Архивировано из оригинала (PDF) 9 декабря 2006 года . Получено 5 января 2007 года .
  38. ^ Джерси, Билл (24 апреля 2005 г.). «Радикальный ум». Охота на скрытое измерение, NOVA . PBS. Архивировано из оригинала 22 августа 2009 г. Получено 20 августа 2009 г.
  39. ^ Гефтер, Аманда (25 июня 2008 г.). «Галактическая карта намекает на фрактальную Вселенную». New Scientist .
  40. ↑ Лауреаты премии Японии. Архивировано 17 апреля 2016 г. на Wayback Machine . japanprize.jp
  41. ^ "Mandelbrot joins Pacific Northwest National Laboratory". pnl.gov (пресс-релиз). Pacific Northwest National Laboratory. 16 февраля 2006 г. Архивировано из оригинала 12 января 2009 г. Получено 17 октября 2010 г.
  42. ^ "Объявление Légion d'honneur о повышении Мандельброта до офицера" (на французском). Legifrance.gouv.fr. Архивировано из оригинала 20 ноября 2020 года . Получено 17 октября 2010 года .
  43. ^ "Шестеро получили почетные степени, признаны члены Общества ученых". gazette.jhu.edu . Университет Джонса Хопкинса. 7 июня 2010 г. Архивировано из оригинала 17 июня 2010 г. Получено 17 октября 2010 г.
  44. ^ Mandelbrot, Benoit B. (2 февраля 2006 г.). "Vita and Awards". Архивировано из оригинала (документ Word) 2 июля 2007 г. Получено 15 декабря 2013 г.
  45. ^ "Просмотр/поиск стипендиатов ASA". amstat.org . Архивировано из оригинала 16 июня 2016 года . Получено 20 августа 2016 года .
  46. ^ "APS Fellow Archive". APS. Архивировано из оригинала 20 ноября 2020 года . Получено 24 сентября 2020 года .
  47. ^ "Gruppe 1: Matematiske fag" (на норвежском). Норвежская академия наук и литературы . Архивировано из оригинала 10 ноября 2013 года . Получено 7 октября 2010 года .
  48. ^ "История членства в Американском философском обществе" . Получено 14 июня 2021 г. .
  49. ^ "Медаль и Wykład im. Wacława Serpińskiego | Polskie Towarzystwo Matematyczne" . Проверено 21 января 2023 г.
  50. ^ "Умер Бенуа Мандельброт, пионер фракталов". United Press International . 16 октября 2010 г. Архивировано из оригинала 22 октября 2012 г. Получено 17 октября 2010 г.
  51. ^ "Mandelbrot, father of fractal geometry, dies". The Gazette . Архивировано из оригинала 19 октября 2010 года . Получено 16 октября 2010 года .
  52. ^ "Sarkozy rend hommage à Mandelbrot" [Саркози воздает почести Мандельброту]. Le Figaro (на французском). Архивировано из оригинала 28 июля 2013 года . Получено 17 октября 2010 года .
  53. ↑ Некролог Бенуа Мандельброта Архивировано 24 октября 2010 г. в Wayback Machine . The Economist (21 октября 2010 г.)

Источники

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Бенуа Мандельброт.
В Викицитатнике есть цитаты, связанные с Бенуа Мандельбротом .