Переход Березинского–Костерлица–Таулесса

Фазовый переход в двумерной (2-D) модели XY

Переход Березинского –Костерлица–Таулеса ( БКТ ) — фазовый переход двумерной (2-D) модели XY в статистической физике . Это переход от связанных пар вихрь-антивихрь при низких температурах к неспаренным вихрям и антивихрям при некоторой критической температуре. Переход назван в честь физиков конденсированного состояния Вадима Березинского , Джона М. Костерлица и Дэвида Дж. Таулеса . ^[1] Переходы БКТ можно найти в нескольких двумерных системах в физике конденсированного состояния, которые аппроксимируются моделью XY, включая массивы контактов Джозефсона и тонкие неупорядоченные сверхпроводящие гранулированные пленки. ^[2] Совсем недавно этот термин был применен сообществом по переходу 2-D сверхпроводник-изолятор к закреплению куперовских пар в изолирующем режиме из-за сходства с исходным вихревым переходом БКТ.

Критическая плотность перехода БКТ в слабовзаимодействующей системе имеет вид ^[3]

${\displaystyle n_{\text{c}}={\frac {mT}{2\pi }}\ln {\frac {\xi }{mU}}}$

где безразмерная константа оказалась равной . ^[4] ${\displaystyle \xi =380\pm 3}$

Работа над этим переходом привела к присуждению Нобелевской премии по физике 2016 года Таулессу и Костерлицу; Березинский умер в 1981 году.

XY-модель

Модель XY — это двумерная векторная спиновая модель, обладающая U(1) или круговой симметрией. От этой системы не ожидается нормального фазового перехода второго рода . Это происходит потому, что ожидаемая упорядоченная фаза системы разрушается поперечными флуктуациями, т. е. модами Намбу-Голдстоуна , связанными с этой нарушенной непрерывной симметрией , которые логарифмически расходятся с размером системы. Это частный случай того, что называется теоремой Мермина–Вагнера в спиновых системах.

Строго говоря, переход не полностью изучен, но существование двух фаз было доказано МакБрайаном и Спенсером (1977) и Фрёлихом и Спенсером (1981).

Неупорядоченные фазы с различными корреляциями

В модели XY в двух измерениях фазовый переход второго рода не наблюдается. Однако обнаруживается низкотемпературная квазиупорядоченная фаза с корреляционной функцией (см. статистическую механику ), которая убывает с расстоянием как степень, зависящая от температуры. Переход из высокотемпературной неупорядоченной фазы с экспоненциальной корреляцией в эту низкотемпературную квазиупорядоченную фазу является переходом Костерлица–Таулесса. Это фазовый переход бесконечного порядка.

Роль вихрей

В модели 2-D XY вихри являются топологически устойчивыми конфигурациями. Установлено, что высокотемпературная неупорядоченная фаза с экспоненциальным корреляционным затуханием является результатом образования вихрей. Генерация вихрей становится термодинамически выгодной при критической температуре перехода Костерлица-Таулесса. При температурах ниже этой генерация вихрей имеет степенную корреляцию. ${\displaystyle T_{\text{c}}}$

Переходы Костерлица–Таулесса описываются как диссоциация связанных пар вихрей с противоположными циркуляциями, называемых парами вихрь–антивихрь, впервые описанных Вадимом Березинским . В этих системах тепловая генерация вихрей производит четное количество вихрей противоположного знака. Связанные пары вихрь–антивихрь имеют более низкую энергию, чем свободные вихри, но также имеют более низкую энтропию. Чтобы минимизировать свободную энергию, , система претерпевает переход при критической температуре, . Ниже существуют только связанные пары вихрь–антивихрь. Выше существуют свободные вихри. ${\displaystyle F=E-TS}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$

Неформальное описание

Существует элегантный термодинамический аргумент в пользу перехода Костерлица–Таулесса. Энергия отдельного вихря равна , где — параметр, зависящий от системы, в которой находится вихрь, — размер системы, — радиус ядра вихря. Предполагается . В двумерной системе число возможных положений вихря приблизительно равно . Из формулы энтропии Больцмана , (где W — число состояний), энтропия равна , где — постоянная Больцмана . Таким образом, свободная энергия Гельмгольца равна ${\displaystyle \kappa \ln(R/a)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R\gg a}$ ${\displaystyle (R/a)^{2}}$ ${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln W}$ ${\displaystyle S=2k_{\rm {B}}\ln(R/a)}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$

${\displaystyle F=E-TS=(\kappa -2k_{\rm {B}}T)\ln(R/a).}$

Когда , система не будет иметь вихря. С другой стороны, когда , энтропийные соображения благоприятствуют образованию вихря. Критическую температуру, выше которой могут образовываться вихри, можно найти, установив и задается как ${\displaystyle F>0}$ ${\displaystyle F<0}$ ${\displaystyle F=0}$

${\displaystyle T_{\text{c}}={\frac {\kappa }{2k_{\rm {B}}}}.}$

Переход Костерлица–Таулесса можно наблюдать экспериментально в системах, подобных двумерным массивам переходов Джозефсона, путем измерения тока и напряжения (IV). Выше соотношение будет линейным . Чуть ниже соотношение будет , так как число свободных вихрей будет увеличиваться как . Этот скачок от линейной зависимости указывает на переход Костерлица–Таулесса и может быть использован для определения . Этот подход использовался в работе Резника и др. ^[5] для подтверждения перехода Костерлица–Таулесса в массивах переходов Джозефсона с ближней связью . ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle V\sim I}$ ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle V\sim I^{3}}$ ${\displaystyle I^{2}}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$

Теоретико-полевой анализ

В следующем обсуждении используются методы теории поля. Предположим, что поле φ(x) определено в плоскости, которая принимает значения в , так что отождествляется с . То есть, окружность реализуется как . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)+2\pi }$ ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

Энергия определяется по формуле

${\displaystyle E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi \cdot \nabla \phi \,d^{2}x}$

а фактор Больцмана равен . ${\displaystyle \exp(-\beta E)}$

Взяв контурный интеграл по любому стягиваемому замкнутому пути , мы могли бы ожидать, что он будет равен нулю (например, по фундаментальной теореме исчисления . Однако это не так из-за сингулярной природы вихрей (которые дают сингулярности в ). ${\displaystyle \textstyle \oint _{\gamma }d\phi =\oint _{\gamma }{\frac {d\phi }{dx}}dx}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \phi }$

Чтобы сделать теорию хорошо определенной, она определяется только до некоторого энергетического масштаба обрезания , так что мы можем проколоть плоскость в точках, где расположены вихри, удалив области с размером порядка . Если совершает один оборот против часовой стрелки вокруг прокола, контурный интеграл является целым числом, кратным . Значение этого целого числа является индексом векторного поля . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle 1/\Lambda }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle \oint _{\gamma }d\phi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \nabla \phi }$

Предположим, что заданная конфигурация поля имеет проколы, расположенные в каждом с индексом . Тогда, разлагается на сумму конфигурации поля без проколов, и , где мы перешли к комплексным координатам плоскости для удобства. Функция комплексного аргумента имеет разрез ветвей, но, поскольку определена по модулю , она не имеет физических последствий. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{i},i=1,\dots ,N}$ ${\displaystyle n_{i}=\pm 1}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}\arg(z-z_{i})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Сейчас,

${\displaystyle E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi _{0}\cdot \nabla \phi _{0}\,d^{2}x+\sum _{1\leq i<j\leq N}n_{i}n_{j}\int {\frac {1}{2}}\nabla \ \arg(z-z_{i})\cdot \nabla \arg(z-z_{j})\,d^{2}x}$

Если , то второй член положителен и расходится в пределе : конфигурации с несбалансированным числом вихрей каждой ориентации никогда не бывают энергетически выгодными. ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \Lambda \to \infty }$

Однако, если выполняется нейтральное условие , второй член равен , что является полной потенциальной энергией двумерного кулоновского газа . Масштаб L является произвольным масштабом, который делает аргумент логарифма безразмерным. ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{N}n_{i}=0}$ ${\displaystyle \textstyle -2\pi \sum _{1\leq i<j\leq N}n_{i}n_{j}\ln(|x_{j}-x_{i}|/L)}$

Предположим случай только с вихрями кратности . При низких температурах и больших расстояние между парой вихря и антивихря имеет тенденцию быть чрезвычайно малым, по существу порядка . При больших температурах и малых это расстояние увеличивается, и предпочтительная конфигурация становится фактически конфигурацией газа свободных вихрей и антивихрей. Переход между двумя различными конфигурациями является фазовым переходом Костерлица–Таулесса, а точка перехода связана с расцеплением пар вихрь–антивихрь. ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1/\Lambda }$ ${\displaystyle \beta }$

Смотрите также

• теория KTHNY
• Голдстоуновский бозон
• Композитный фермион
• Лямбда-переход
• модель Изинга
• Модель Поттса
• Топологический дефект
• Квантовый вихрь
• Сверхтекучая пленка
• Гексатическая фаза

Примечания

1. Костерлиц, Дж. М.; Таулесс, Д. Д. (ноябрь 1972 г.). «Упорядочение, метастабильность и фазовые переходы в двумерных системах». Журнал физики C: Физика твердого тела . 6 (7): 1181–1203. Bibcode : 1973JPhC....6.1181K. doi : 10.1088/0022-3719/6/7/010. ISSN  0022-3719.
2. Тинкхэм, Майкл (1906). Введение в сверхпроводимость (2-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, INC. стр. 237–239. ISBN 0486435032.
3. Функциональные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике.
4. Прокофьев, Николай; Рубенакер, Оливер; Свистунов, Борис (2001). "Критическая точка слабовзаимодействующего двумерного бозе-газа". Physical Review Letters . 87 (27): 270402. arXiv : cond-mat/0106075 . Bibcode :2001PhRvL..87.0402P. doi :10.1103/PhysRevLett.87.270402. PMID  11800861.
5. Резник и др. 1981.

Ссылки

• Березинский, В. Л. (1970), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных соединениях с непрерывной последовательностью симметрии I. Классические системы", ЖЭТФ , 59 (3): 907–920.. Доступен перевод: Березинский, В.Л. (1971), «Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии I. Классические системы» (PDF) , ЖЭТФ , 32 (3): 493–500, Bibcode :1971JETP...32..493B
• Березинский, В. Л. (1971), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных соединениях с непрерывной последовательностью симметрии II. Квантовые системы", ЖЭТФ , 61 (3): 1144–1156.. Доступен перевод: Березинский, В.Л. (1972), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах, имеющих непрерывную группу симметрии II. Квантовые системы" (PDF) , ЖЭТФ , 34 (3): 610–616, Bibcode :1972JETP...34..610B
• Костерлиц, Дж. М.; Таулесс, Дж. Д. (1973), «Упорядочение, метастабильность и фазовые переходы в двумерных системах», Журнал физики C: Физика твердого тела , 6 (7): 1181–1203, Bibcode : 1973JPhC....6.1181K, doi : 10.1088/0022-3719/6/7/010
• МакБрайан, О.; Спенсер, Т. (1977), "О распаде корреляций в SO(n)-симметричных ферромагнетиках", Commun. Math. Phys. , 53 (3): 299, Bibcode : 1977CMaPh..53..299M, doi : 10.1007/BF01609854, S2CID  119587247
• BI Halperin , DR Nelson , Phys. Rev. Lett. 41, 121 (1978)
• AP Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979)
• Резник, DJ; Гарланд, JC; Бойд, JT; Шумейкер, S.; Ньюрок, RS (1981), "Переход Костерлица-Таулесса в сверхпроводящих массивах с близкой связью", Phys. Rev. Lett. , 47 (21): 1542, Bibcode : 1981PhRvL..47.1542R, doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1542
• Фрёлих, Юрг; Спенсер, Томас (1981), «Переход Костерлица–Таулесса в двумерных абелевых спиновых системах и кулоновском газе», Comm. Math. Phys. , 81 (4): 527–602, Bibcode : 1981CMaPh..81..527F, doi : 10.1007/bf01208273, S2CID  73555642
• Z. Hadzibabic и др. (2006), «Кроссовер Березинского–Костерлица–Таулесса в захваченном атомарном газе», Nature , 41 (7097): 1118–21, arXiv : cond-mat/0605291 , Bibcode : 2006Natur.441.1118H, doi : 10.1038/nature04851, PMID  16810249, S2CID  4314014
• M. Mondal и др. (2011), "Роль энергии ядра вихря в переходе Березинского-Костерлица-Таулесса в тонких пленках NbN", Phys. Rev. Lett. , 107 (21): 217003, arXiv : 1108.0912 , Bibcode : 2011PhRvL.107u7003M, doi : 10.1103/PhysRevLett.107.217003, PMID  22181915, S2CID  34729666

Книги

• JV Jose, 40 лет теории Березинского–Костерлица–Таулесса , World Scientific , 2013, ISBN 978-981-4417-65-5 
• H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I, "SUPERFLOW AND VORTEX LINES", стр. 1–742, World Scientific (Сингапур, 1989); Мягкая обложка ISBN 9971-5-0210-0 (также доступно онлайн: Vol. I. Читайте стр. 618–688); 
• Х. Кляйнерт , Многозначные поля в конденсированных средах, электродинамика и гравитация , World Scientific (Сингапур, 2008) (также доступно онлайн: здесь)