Название фильтра является отсылкой к немецкому математику Фридриху Бесселю (1784–1846), который разработал математическую теорию, на которой основан фильтр. Фильтры также называются фильтрами Бесселя – Томсона в честь В. Э. Томсона, который в 1949 году разработал, как применять функции Бесселя для проектирования фильтров . [2]
Фильтр Бесселя очень похож на фильтр Гаусса и имеет тенденцию к той же форме по мере увеличения порядка фильтра. [3] [4] В то время как переходная характеристика фильтра Гаусса во временной области имеет нулевое перерегулирование , [5] фильтр Бесселя имеет небольшое перерегулирование, [6] [7] но все же намного меньше, чем другие распространенные частотные области. фильтры, такие как фильтры Баттерворта. Было отмечено, что импульсная характеристика фильтров Бесселя-Томсона стремится к гауссовой с увеличением порядка фильтра. [3]
По сравнению с аппроксимациями гауссова фильтра конечного порядка, фильтр Бесселя имеет лучший коэффициент формирования, более плоскую фазовую задержку и более плоскую групповую задержку , чем гауссиан того же порядка, хотя гауссиан имеет меньшую временную задержку и нулевое перерегулирование. [8]
где – обратный полином Бесселя, от которого фильтр получил свое название, и – частота, выбранная для получения желаемой частоты среза. Фильтр имеет низкочастотную групповую задержку . Поскольку является неопределенным по определению обратных полиномов Бесселя, но является устранимой особенностью, определяется, что .
Для фильтров Бесселя не существует стандартного установленного значения затухания. [10] Однако обычно выбирают значение -3,0103 дБ. В некоторых приложениях может использоваться более высокое или низкое затухание, например –1 дБ или –20 дБ. Это можно аппроксимировать путем интерполяции таблиц затухания фильтра Бесселя или рассчитать с высокой точностью с помощью метода Ньютона или алгоритма поиска корня . Например, пример ослабления частоты среза на 20 дБ с использованием приведенного ниже примера 3-полюсного Бесселя устанавливается следующим образом.
где числитель был выбран так, чтобы дать единичный коэффициент усиления на нулевой частоте ( ). Корни полинома знаменателя, полюса фильтра, включают действительный полюс при , и комплексно-сопряженную пару полюсов при , изображенных выше.
Выигрыш тогда
Точка −3 дБ, где происходит при . Условно это называется частотой среза.
Обратите внимание, что два члена в и равны нулю, что приводит к очень плоской групповой задержке при . Это наибольшее количество членов, которое можно приравнять нулю, поскольку в полиноме Бесселя третьего порядка всего четыре коэффициента, и для определения требуется четыре уравнения. Одно уравнение указывает, что коэффициент усиления равен единице при , а второе указывает, что коэффициент усиления равен нулю при , оставляя два уравнения, чтобы указать, что два члена в разложении ряда равны нулю. Это общее свойство групповой задержки для фильтра Бесселя порядка : первые члены в разложении групповой задержки в ряд будут равны нулю, что максимизирует неравномерность групповой задержки при .
Цифровой
Хотя билинейное преобразование используется для преобразования непрерывных (аналоговых) фильтров в дискретные (цифровые) фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) со сравнимой частотной характеристикой, БИХ-фильтры, полученные с помощью билинейного преобразования, не имеют постоянной групповой задержки. [11] Поскольку важной характеристикой фильтра Бесселя является его максимально плоская групповая задержка, билинейное преобразование не подходит для преобразования аналогового фильтра Бесселя в цифровую форму.
Цифровым эквивалентом является фильтр Тирана, также всеполюсный фильтр нижних частот с максимально плоской групповой задержкой, [12] [13], который также может быть преобразован в всеполосный фильтр для реализации дробных задержек. [14] [15]
^ "Фильтр Бесселя". 2013. Архивировано из оригинала 24 января 2013 г. Проверено 14 мая 2022 г.
^ Томсон, МЫ (ноябрь 1949 г.). «Сети задержки, имеющие максимально ровные частотные характеристики» (PDF) . Труды IEE - Часть III: Радиотехника и техника связи . 96 (44): 487–490. дои : 10.1049/пи-3.1949.0101.
^ Аб Робертс, Стивен (2001). «Переходный процесс и преобразования: 3.1 фильтры Бесселя-Томсона» (PDF) .
^ "comp.dsp | БИХ-фильтры гауссовского перехода" . www.dsprelated.com . Проверено 14 мая 2022 г. Аналоговый фильтр Бесселя является приближением фильтра Гаусса, и приближение улучшается по мере увеличения порядка фильтра.
^ «Фильтры Гаусса». www.nuhertz.com . Архивировано из оригинала 11 января 2020 г. Проверено 14 мая 2022 г.
^ «Как выбрать фильтр? (Баттерворт, Чебышев, Инверсный Чебышев, Бессель – Томсон)» . www.etc.tuiasi.ro . Проверено 14 мая 2022 г.
^ «Бесплатная программа аналоговых фильтров» . www.kecktaylor.com . Проверено 14 мая 2022 г. фильтр Бесселя имеет небольшое перерегулирование, а фильтр Гаусса не имеет перерегулирования.
^ Паарманн, LD (2001). Проектирование и анализ аналоговых фильтров: перспектива обработки сигналов. Springer Science & Business Media. ISBN9780792373735. Фильтр Бесселя имеет немного лучший коэффициент формирования, более плоскую фазовую задержку и более плоскую групповую задержку, чем у гауссовского фильтра того же порядка. Однако фильтр Гаусса имеет меньшую временную задержку, о чем свидетельствуют пики единичной импульсной характеристики, возникающие раньше, чем у фильтров Бесселя того же порядка.
^ аб Бьянки, Джованни; Соррентино, Роберто (2007). Моделирование и проектирование электронного фильтра. МакГроу-Хилл Профессионал. стр. 31–43. ISBN978-0-07-149467-0.
^ Паарманн, Ларри Д. (2001). Проектирование и анализ аналоговых фильтров, перспектива обработки сигналов. Норвелл, Массачусетс, США: Kluwer Academic Publishers. п. 224. ИСБН0-7923-7373-1.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
^ Чжан, Си (1 июля 2008 г.). «Разработка максимально плоских БИХ-фильтров с плоской характеристикой групповой задержки». Обработка сигнала . 88 (7): 1792–1800. doi :10.1016/j.sigpro.2008.01.016. ISSN 0165-1684.
^ Тиран, Ж.-П. (1971). «Рекурсивные цифровые фильтры с максимально плоской групповой задержкой». Транзакции IEEE по теории цепей . 18 (6): 659–664. дои : 10.1109/TCT.1971.1083363. ISSN 0018-9324.
^ Мадисетти, Виджай (1997). «Раздел 11.3.2.2 Типы классических БИХ-фильтров». Справочник по цифровой обработке сигналов. ЦРК Пресс. п. 11-32. ISBN9780849385728.
^ Смит III, Юлиус О. (22 мая 2015 г.). «Интерполяторы Thiran Allpass». Издательство W3K . Проверено 14 мая 2022 г.
^ Вялимяки, Веса (1995). Дискретное моделирование акустических трубок с использованием фильтров дробной задержки (PDF) (Диссертация). Хельсинкский технологический университет.
Внешние ссылки
Фильтры Бесселя и линейно-фазовые фильтры — Нугерца
Константы фильтра Бесселя — CR Bond
Фильтры Бесселя: полиномы, полюса и элементы цепей — CR Bond
Исходный код Java для вычисления полюсов фильтра Бесселя