Биарк

Рис. 1

Биарк — это гладкая кривая, образованная двумя дугами окружностей . ^[1] Чтобы сделать биарк гладкой ( непрерывной G1 ), две дуги должны иметь одну и ту же ^{касательную} в точке соединения, где они встречаются.

Биарки обычно используются в геометрическом моделировании и компьютерной графике . Их можно использовать для аппроксимации сплайнов и других плоских кривых , размещая две внешние конечные точки биарки вдоль аппроксимируемой кривой с касательной, которая соответствует кривой, а затем выбирая среднюю точку, которая наилучшим образом соответствует кривой. Этот выбор трех точек и двух касательных определяет уникальную пару дуг окружности, а геометрическое место средних точек, для которых эти две дуги образуют биарку, само по себе является дугой окружности. В частности, чтобы аппроксимировать кривую Безье таким образом, среднюю точку биарки следует выбрать как инцентр треугольника, образованного двумя конечными точками кривой Безье и точкой, где встречаются их две касательные. В более общем смысле, можно аппроксимировать кривую гладкой последовательностью биарок; использование большего количества биарок в последовательности в целом улучшит близость аппроксимации к исходной кривой.

Примеры биарк-кривых

1. В приведенных ниже примерах бидуги стягиваются хордой и являются точкой соединения. Касательный вектор в начальной точке равен , а является касательной в конечной точке ${\displaystyle A(J)B}$ ${\displaystyle AB,}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\beta )}$ ${\displaystyle B:}$
2. На рис. 2 показано шесть примеров биарк. ${\displaystyle AJB.}$
   • Biarc 1 вытягивается с Biarcs 2-6 имеют ${\displaystyle \alpha =100^{\circ },\;\beta =30^{\circ }.}$ ${\displaystyle \alpha =100^{\circ },\;\beta =-30^{\circ }.}$
   • В примерах 1, 2, 6 кривизна меняет знак, а точка соединения является также точкой перегиба. Биарк 3 включает в себя отрезок прямой линии . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle JB}$
   • Бидуги 1–4 короткие в том смысле, что они не поворачивают около конечных точек. С другой стороны, бидуги 5,6 длинные : поворот около одной из конечных точек означает, что они пересекают левое или правое дополнение хорды к бесконечной прямой.
   • Бидуги 2–6 имеют общие концевые касательные. Их можно найти в нижнем фрагменте рис. 3 среди семейства бидуг с общими касательными.
3. На рис. 3 показаны два примера семейств бидуг, имеющих общие конечные точки и конечные касательные.
4. На рис. 4 показаны два примера семейств биарк, имеющих общие конечные точки и конечные касательные, причем конечные касательные параллельны: ${\displaystyle \alpha =\beta .}$
5. На рис. 5 показаны конкретные семьи с одним или ${\displaystyle |\alpha |=\pi }$ ${\displaystyle |\beta |=\pi .}$

Рис. 5. Семейства Biarcs с одним или ${\displaystyle |\alpha |=\pi }$ ${\displaystyle |\beta |=\pi }$

Различные цвета на рисунках 3, 4, 5 поясняются ниже как подсемейства , , . В частности, для биарк, показанных коричневым цветом на затененном фоне ( линзовидном или луновидном ), справедливо следующее: ${\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}}$ ${\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ ${\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$

• полный поворот (угол поворота) кривой равен точно (а не , что является поворотом для других бидуг); ${\displaystyle \beta -\alpha }$ ${\displaystyle \beta -\alpha \pm 2\pi }$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta )=\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})}$: сумма есть угловая ширина линзы/лунки, охватывающей бидугу, знак которой соответствует либо возрастающей (+1), либо убывающей кривизне (−1) бидуги, согласно обобщенной теореме Фогта (Теорема Фогта#Общение теоремы  ^[ru] ). ${\displaystyle \alpha +\beta }$

Семейство бидуг с общими касательными на концах

Семейство бидуг с общими конечными точками , , и общими конечными касательными (1) обозначается как или, кратко, как  параметр семейства. Свойства бидуг описаны ниже в терминах статьи. ^[2] ${\displaystyle A=(-c,0)}$ ${\displaystyle B=(c,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p),}$ ${\displaystyle p}$

1. Построение биарк возможно, если
2. Обозначить
   • ${\displaystyle k_{1}}$, а также   кривизна, угол поворота и длина дуги :    ; ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle AJ}$ ${\displaystyle \theta _{1}=k_{1}L_{1}}$
   • ${\displaystyle k_{2}}$, и   то же самое для дуги :    . ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle JB}$ ${\displaystyle \theta _{2}=k_{2}L_{2}}$
   Тогда (в силу (2) , ). Углы поворота: $${\displaystyle k_{1}(p)=-{\frac {1}{c}}\left(\sin \alpha +p^{-1}\sin \omega \right),\quad k_{2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right),\quad {\text{where}}\quad \omega ={\frac {\alpha +\beta }{2}}}$$ ${\displaystyle \sin \omega \not =0}$ $${\displaystyle \theta _{1}(p)=2\arg \left(e^{-i\alpha }+p^{-1}{e^{-i\omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(e^{i\beta }+p\,e^{i\omega }\right).}$$
3. Геометрическим местом точек соединения является окружность (показана пунктиром на рис.3, рис.5). Эта окружность (прямая линия, если , рис.4) проходит через точки, касательные к которым являются  бидугами, пересекающими эту окружность под постоянным углом   ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad Y_{J}(p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad {\text{where}}\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2}}}$$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\gamma ).}$ ${\displaystyle -\omega .}$
4. Касательный вектор к бидуге в точке соединения равен , где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \left(\tau _{{}_{J}}\right)}$ $${\displaystyle \tau _{\scriptscriptstyle J}(p)={-2}\arctan {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.}$$
5. Бидуги имеют точку соединения на оси Y и дают минимальный скачок кривизны , при  ${\displaystyle p=\pm 1}$ ${\displaystyle (X_{J}=0),}$ ${\displaystyle \min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,}$ ${\displaystyle J.}$
6. Вырожденные биарксы :
   • Biarc : при , , дуга исчезает. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$ ${\displaystyle p\to 0}$ ${\displaystyle J(p)\to A}$ ${\displaystyle AJ}$
   • Biarc : при , , дуга исчезает. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\infty )}$ ${\displaystyle p\to \pm \infty }$ ${\displaystyle J(p)\to B}$ ${\displaystyle JB}$
   • Разрывная бидуга включает прямую линию или и проходит через бесконечно удаленную точку  : ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p^{\ast })}$ ${\displaystyle AP_{\infty }J}$ ${\displaystyle JP_{\infty }B,}$ ${\displaystyle P_{\infty }}$ $${\displaystyle p^{\ast }={\begin{cases}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha }},&{\text{if}}\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (|\alpha |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=-\infty ),\\[1ex]-{\dfrac {\sin \beta }{\sin \omega }},&{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (|\beta |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=0).\end{cases}}}$$
   Затемненная линзовидная область на рис. 3, 4 ограничена бидугами. Она охватывает бидуги с Прерывистая бидуга показана красной штрихпунктирной линией. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0),\,{\mathcal {B}}(\infty ).}$ ${\displaystyle p>0.}$
7. Все семейство можно разделить на три подсемейства невырожденных бидуг: Подсемейство исчезает, если Подсемейство исчезает, если На рисунках 3, 4, 5 бидуги показаны коричневым цветом, бидуги — синим, а бидуги — зеленым. ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)}$ $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\\left[{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p)\right].\end{array}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ ${\displaystyle p^{\ast }=0}$   ${\displaystyle (|\beta |=\pi ).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$ ${\displaystyle p^{\ast }=-\infty }$ ${\displaystyle (|\alpha |=\pi ).}$ ${\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}}$ ${\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$ ${\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$

Ссылки

1. Болтон, К. М. (1975). «Биарковые кривые». Computer-Aided Design . 7 (2): 89–92. doi :10.1016/0010-4485(75)90086-X.
2. Курносенко, А.И. (2013). «Биарки и билинзы» (PDF) . Компьютерное геометрическое проектирование . 30 (3): 310–330. doi :10.1016/j.cagd.2012.12.002.

• Nutbourne, AW; Martin, RR (1988). Дифференциальная геометрия, применяемая к проектированию кривых и поверхностей. Том 1: Основы . Эллис Хорвуд. ISBN 978-0132118224.

Внешние ссылки

• Интерполяция Biarc