Додекаэдр Билински

В геометрии додекаэдр Билински — это выпуклый многогранник с двенадцатью конгруэнтными золотыми ромбовидными гранями. Он имеет ту же топологию, но другую геометрию, чем гранетранзитивный ромбический додекаэдр . Это параллелоэдр .

История

Эта форма появляется в книге Джона Лоджа Коули 1752 года под названием додекаромб . ^[1]^[2] Она названа в честь Станко Билински , который заново открыл ее в 1960 году. ^[3] Сам Билински назвал ее ромбическим додекаэдром второго рода . ^[4] Открытие Билински исправило 75-летнее упущение в классификации выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями Евграфа Федорова . ^[5]

Определение и свойства

Определение

Додекаэдр Билински образован путем склеивания двенадцати равных золотых ромбов . Это ромбы , диагонали которых находятся в золотом сечении :

\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\приблизительно 1,618~034.

Граф полученного многогранника изоморфен графу ромбододекаэдра , но грани ориентированы по-разному: у одной пары противолежащих ромбов длинные и короткие диагонали повернуты вспять относительно ориентации соответствующих ромбов в ромбододекаэдре.

Симметрия

Из-за своей инверсии додекаэдр Билински имеет более низкий порядок симметрии; его группа симметрии является группой симметрии прямоугольного кубоида : $D 2h, [2,2], (*222),$ порядка 8. Это подгруппа октаэдрической симметрии ; ее элементами являются три оси симметрии 2-го порядка, три плоскости симметрии (которые также являются осевыми плоскостями этого тела) и центр симметрии инверсии . Группа вращения додекаэдра Билински — $D 2, [2,2] +, (222),$ порядка 4.

Вершины

Как и ромбический додекаэдр, додекаэдр Билински имеет восемь вершин степени 3 и шесть степени 4. Он имеет две вершины на вертикальной оси и четыре вершины на каждой осевой плоскости. Но из-за переворота его невершинные вершины образуют два квадрата (красный и зеленый) и один прямоугольник (синий), а его четырнадцать вершин в общей сложности имеют четыре различных вида:

две вершины степени 4, окруженные четырьмя острыми гранями (вершины вертикальной оси, черные на первом рисунке);
четыре вершины степени 4, окруженные тремя острыми и одним тупым гранями (вершины в горизонтальной аксиальной плоскости, синие на первом рисунке);
четыре вершины степени 3, окруженные тремя тупыми углами грани (одна вершина в вертикальной осевой плоскости, красная на первом рисунке);
четыре вершины степени 3, окруженные двумя тупыми и одним острым гранью (другие вершины в вертикальной осевой плоскости, зеленые на первом рисунке).

Лица

Дополнительные внутренние углы золотого ромба: ^[6]

острый угол:

\альфа =\arctan 2\approx 63.434~949^{\circ };

тупой угол:

\beta =\pi -\arctan 2\approx 116.565~051^{\circ }.

Грани додекаэдра Билински представляют собой двенадцать равных золотых ромбов; но из-за переворота они бывают трех разных видов:

восемь вершинных граней со всеми четырьмя видами вершин,
две боковые грани с чередующимися синими и красными вершинами (передняя и задняя на первом рисунке),
две боковые грани с чередующимися синими и зелеными вершинами (левая и правая на первом рисунке).

(См. также рисунок с цветными краями и передними гранями.)

Края

24 ребра додекаэдра Билински имеют одинаковую длину, но из-за переворота они бывают четырех разных видов:

четыре вершинных ребра с черными и красными вершинами (на первом рисунке),
четыре вершинных ребра с черными и зелеными вершинами (на первом рисунке),
восемь боковых рёбер с синими и красными вершинами (на первом рисунке),
восемь боковых рёбер с синими и зелёными вершинами (на первом рисунке).

(См. также рисунок с цветными краями и передними гранями.)

Декартовы координаты

Вершины додекаэдра Билински толщиной 2 имеют следующие декартовы координаты , где $φ$ — золотое сечение :

В семействах многогранников

Додекаэдр Билински является параллелоэдром ; таким образом, он также является заполняющим пространство многогранником и зоноэдром .

Отношение к ромбододекаэдру

В статье 1962 года Х. С. М. Коксетер утверждал, что додекаэдр Билински может быть получен с помощью аффинного преобразования из ромбического додекаэдра, но это неверно. ^[7]

В ромбическом додекаэдре: каждая длинная диагональ тела (т.е. лежащая в противоположных вершинах степени 4) параллельна коротким диагоналям четырех граней.

В додекаэдре Билински: самая длинная диагональ тела (т.е. лежащая на противоположных черных вершинах степени 4) параллельна коротким диагоналям двух граней и длинным диагоналям двух других граней; более короткие диагонали тела (т.е. лежащие на противоположных синих вершинах степени 4) не параллельны диагонали ни одной грани. ^[5]

При любом аффинном преобразовании ромбического додекаэдра: каждая длинная диагональ тела (т.е. лежащая на противоположных вершинах степени 4) остается параллельной четырем диагоналям граней, и они остаются той же (новой) длины.

Зоноэдры с золотыми ромбическими гранями

Додекаэдр Билински может быть образован из ромбического триаконтаэдра (еще один зоноэдр с тридцатью конгруэнтными золотыми ромбическими гранями) путем удаления или схлопывания двух зон или поясов из десяти и восьми золотых ромбических граней с параллельными ребрами. Удаление только одной зоны из десяти граней дает ромбический икосаэдр . Удаление трех зон из десяти, восьми и шести граней дает золотой ромбоэдр . ^[4]^[5] Таким образом, удаление зоны из шести граней из додекаэдра Билински дает золотой ромбоэдр. Додекаэдр Билински может быть разрезан на четыре золотых ромбоэдра, по два каждого типа. ^[8]

Вершины зоноэдров с золотыми ромбическими гранями можно вычислить с помощью линейных комбинаций от двух до шести векторов порождающих ребер с коэффициентами 0 или 1. [ ^9] Пояс $m$ $n$ означает пояс, представляющий $n$ направляющих векторов и содержащий $m$ копараллельных ребер одинаковой длины. Додекаэдр Билински имеет четыре пояса из шести копараллельных ребер.

Эти зоноэдры являются проекционными оболочками гиперкубов с n $-$ мерным проекционным базисом с золотым сечением ( $φ$ ). Для $n = 6$ конкретный базис имеет вид:

х = (1, φ, 0,-1, φ, 0),

у = (φ, 0, 1, φ, 0,-1),

z = (0, 1, φ, 0,-1, φ).

Для $n = 5$ базис тот же, но удален шестой столбец. Для $n = 4$ удаляются пятый и шестой столбцы.

Ссылки

^ Харт, Джордж У. (2000), «Цветовое сопоставление рассечения ромбического эннеаконтаэдра», Симметрия: Культура и наука , 11 (1–4): 183–199, MR 2001417.
↑ Коули, Джон Лодж (1752), Геометрия, ставшая легкой; или Новое и методическое объяснение элементов геометрии , Лондон, Таблица 5, Рис. 16. Как цитирует Харт (2000).
^ Билински, С. (1960), "Über die Rhombenisoeder", Glasnik Mat. Физ. Астр. , 15 : 251–263, Збл 0099.15506.
^ ab Cromwell, Peter R. (1997), Многогранники: одна из самых очаровательных глав геометрии, Кембридж: Cambridge University Press , стр. 156, ISBN 0-521-55432-2, МР 1458063.
^ abc Грюнбаум, Бранко (2010), «Додекаэдр Билински и различные параллелоэдры, зоноэдры, моноэдры, изозоноэдры и другие эдры», The Mathematical Intelligencer , 32 (4): 5–15, doi :10.1007/s00283-010-9138-7, hdl : 1773/15593 , MR 2747698, S2CID 120403108.
↑ Огава, Тору (январь 1987 г.), «Симметрия трехмерных квазикристаллов», Materials Science Forum , 22–24: 187–200, doi :10.4028/www.scientific.net/msf.22-24.187, S2CID 137677876. См. в частности таблицу 1, стр. 188.
^ Коксетер, HSM (1962), «Классификация зоноэдров с помощью проективных диаграмм», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 41 : 137–156, MR 0141004. Перепечатано в Coxeter, HSM (1968), Двенадцать геометрических эссе , Карбондейл, Иллинойс: Southern Illinois University Press , MR 0310745( Красота геометрии. Двенадцать эссе , Дувр, 1999, MR 1717154).
^ "Золотые ромбоэдры", CutOutFoldUp , получено 26.05.2016
^ Пусть V обозначает количество вершин, а e _k обозначает k -й порождающий вектор ребра, где 1 ≤ k ≤ n ;
для 2 ≤ n ≤ 3, V = card(𝒫 { e ₁ ,..., e _n }) = 2 ⁿ ;
для 4 ≤ n ≤ 6, V < 2 ⁿ , поскольку некоторые линейные комбинации из четырех-шести порождающих векторов ребер с коэффициентами 0 или 1 заканчиваются строго внутри золотого ромбического зоноэдра.
^ Пусть e _k обозначает k -й порождающий вектор ребра, где 1 ≤ k ≤ n ;
пример: e ₁ и e _n соответствуют паре противолежащих ромбов, ..., e _{n −1} и e _n соответствуют другой паре противолежащих ромбов; всего: e _n представлен в n −1 различных парах противолежащих ромбов, то есть в 2( n −1) различных ромбах; они образуют полосу; она замкнута, иначе она была бы бесконечной; поэтому e _n представлен в 2( n −1) различных (копараллельных) ребрах этого пояса.
^ Золотой ромбический зоноэдр имеет каждую пару противолежащих ромбов, соответствующих двум из n порождающих векторов ребер, поэтому он имеет:
F = 2×( ⁿ₂ ) = n ( n −1) граней.
^ У золотого ромбического зоноэдра каждая грань лежит на четырех ребрах, а каждое ребро лежит на двух гранях, поэтому он имеет:
E = 4 F /2 = 2 F = 2 n ( n −1) ребер.
^ Золотой ромбический зоноэдр имеет:
V = E − F +2 = 2 n ( n −1)− n ( n −1)+2 = n ( n −1)+2 вершин.

Внешние ссылки

Модель VRML , Джордж У. Харт : www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/rhombic_dodecahedron_of_second_kind.wrl
анимация и координаты, Дэвид И. МакКуи: dmccooey.com/polyhedra/BilinskiDodecahedron.html
Новый ромбический додекаэдр из Хорватии!, видео на YouTube Мэтта Паркера