Блокировка подвеса

Потеря одной степени свободы в трехмерном трехкарданном механизме.

Самолет с заблокированным стабилизатором. Когда подвесы тангажа (зеленый) и рыскания (пурпурный) выравниваются, изменения крена (синий) и рыскания приводят к тому же вращению самолета.

Добавление четвертой оси вращения может решить проблему блокировки карданного подвеса, но для этого необходимо, чтобы внешнее кольцо активно приводилось в движение, чтобы оно не совпадало на 90 градусов с самой внутренней осью (валом маховика). Без активного приведения в движение крайнего кольца все четыре оси могут выровняться в плоскости, как показано выше, что снова приведет к блокировке подвеса и невозможности вращения.

Блокировка карданного подвеса – это потеря одной степени свободы в многомерном механизме при определенных положениях осей. В трехмерном механизме с тремя подвесами блокировка подвеса происходит, когда оси двух подвесов приводятся в параллельную конфигурацию, «запирая» систему во вращении в вырожденном двумерном пространстве.

Термин «стабильный подвес» может ввести в заблуждение в том смысле, что ни один из отдельных подвесов на самом деле не закреплен. Все три подвеса по-прежнему могут свободно вращаться вокруг своих осей подвески. Тем не менее, из-за параллельной ориентации двух осей подвесов невозможно обеспечить вращение вокруг одной оси, в результате чего подвешенный объект фактически заблокирован (т. е. не может вращаться) вокруг этой оси.

Проблему можно распространить на другие контексты, где система координат теряет определение одной из своих переменных при определенных значениях других переменных.

Подвесы

Подвес — это кольцо, подвешенное так, что оно может вращаться вокруг оси. Подвесы обычно вложены один в другой, чтобы обеспечить вращение вокруг нескольких осей.

Они появляются в гироскопах и инерциальных единицах измерения , чтобы ориентация внутреннего подвеса оставалась неизменной, в то время как подвеска внешнего подвеса принимает любую ориентацию. В компасах и механизмах накопления энергии маховика они позволяют объектам оставаться в вертикальном положении. Они используются для ориентации двигателей ракет. ^[1]

Некоторые системы координат в математике ведут себя так, как если бы они были настоящими подвесами, используемыми для измерения углов, особенно углов Эйлера .

В случае трех или менее вложенных подвесов в какой-то момент системы неизбежно происходит блокировка подвеса из-за свойств закрывающего пространства .

В инженерном деле

Хотя только две определенные ориентации обеспечивают точную фиксацию подвеса, практические механические подвесы сталкиваются с трудностями вблизи этих ориентаций. Когда набор подвесов близок к заблокированной конфигурации, небольшие повороты платформы подвеса требуют больших перемещений окружающих подвесов. Хотя это соотношение бесконечно только в точке фиксации подвеса, практические пределы скорости и ускорения подвесов обусловлены инерцией (вытекающей из массы каждого кольца подвеса), трением подшипников, сопротивлением потоку воздуха или другой жидкости, окружающей подвесы (если они не в вакууме) и другие физические и инженерные факторы — ограничивают движение платформы вблизи этой точки.

В двух измерениях

Блокировка подвеса может произойти в подвесных системах с двумя степенями свободы, таких как теодолит с вращением по азимуту (горизонтальный угол) и углу места (вертикальный угол). Эти двумерные системы могут фиксировать карданный подвес в зените и надире , поскольку в этих точках азимут не определен четко, а вращение в направлении азимута не меняет направление, куда указывает теодолит.

Рассмотрим отслеживание вертолета, летящего к теодолиту с горизонта. Теодолит представляет собой телескоп, установленный на штативе так, чтобы он мог перемещаться по азимуту и ​​углу места для отслеживания вертолета. Вертолет летит к теодолиту и отслеживается телескопом по углу места и азимуту. Вертолет летит непосредственно над штативом (т.е. находится в зените), когда он меняет направление и летит под углом 90 градусов к своему предыдущему курсу. Телескоп не может отслеживать этот маневр без прерывистого скачка в одном или обоих положениях подвеса. Не существует непрерывного движения, позволяющего ему следовать за целью. Он находится в фиксаторе подвеса. Таким образом, существует бесконечное количество направлений вокруг зенита, в которых телескоп не может непрерывно отслеживать все движения цели. ^[2] Обратите внимание, что даже если вертолет не проходит через зенит, а только около зенита, чтобы не произошло блокировки подвеса, система все равно должна двигаться исключительно быстро, чтобы отслеживать его, поскольку он быстро переходит от одного пеленга к другому. Чем ближе к зениту находится ближайшая точка, тем быстрее это надо делать, а если она действительно проходит через зенит, то предел этих «все более быстрых» движений становится бесконечно быстрым, а именно прерывистым.

Чтобы выйти из блокировки подвеса, пользователь должен обойти зенит, а именно: уменьшить угол места, изменить азимут, чтобы он соответствовал азимуту цели, затем изменить угол места, чтобы он соответствовал цели.

Математически это соответствует тому факту, что сферические координаты не определяют карту координат на сфере в зените и надире. Альтернативно, соответствующее отображение T ² → S ² тора T ² в сферу S 2 ⁽ задаваемое точкой с заданными азимутом и углом возвышения) не является покрывающим отображением в этих точках.

В трех измерениях

Подвес с 3 осями вращения. Набор из трех подвесов, смонтированных вместе, обеспечивает три степени свободы: крен, наклон и рысканье. Когда два подвеса вращаются вокруг одной оси, система теряет одну степень свободы.

Нормальная ситуация: три подвеса независимы

Блокировка подвеса: два из трех подвесов находятся в одной плоскости, теряется одна степень свободы

Рассмотрим случай платформы определения уровня на самолете, летящем строго на север, с тремя осями подвеса, взаимно перпендикулярными (т. е. углы крена , тангажа и рыскания , каждая из которых равна нулю). Если дрон наклоняется на 90 градусов, подвес оси самолета и платформы становится параллельным подвесу оси крена, и изменения относительно рыскания больше нельзя компенсировать.

Решения

Эту проблему можно решить за счет использования четвертого подвеса, активно приводимого в движение двигателем, чтобы поддерживать большой угол между осями подвеса крена и рыскания. Другое решение — повернуть один или несколько подвесов в произвольное положение при обнаружении блокировки подвеса и, таким образом, перезагрузить устройство.

Современная практика заключается в том, чтобы полностью избегать использования подвесов. В контексте инерциальных навигационных систем это можно сделать путем установки инерционных датчиков непосредственно на корпус транспортного средства (это называется бесплатформенной системой ) ^[3] и цифровой интеграции измеренного вращения и ускорения с использованием кватернионных методов для определения ориентации транспортного средства и определения координат. скорость. Другой способ замены подвесов — использование жидкостных подшипников или флотационной камеры. ^[4]

На Аполлоне-11

Известный инцидент с блокировкой подвеса произошел во время лунной миссии «Аполлон-11» . На этом космическом корабле использовался набор подвесов на инерциальном измерительном блоке (ИБИ). Инженеры знали о проблеме с блокировкой подвеса, но отказались использовать четвертый подвес. ^[5] Некоторые причины этого решения очевидны из следующей цитаты:

Преимущества резервного подвеса, по-видимому, перевешиваются простотой оборудования, преимуществами размеров и соответствующей подразумеваемой надежностью прямого блока с тремя степенями свободы.

-  Дэвид Хоаг, журнал Apollo Lunar Surface Journal

Они предпочли альтернативное решение с использованием индикатора, который срабатывал бы при угле наклона около 85 градусов.

Рядом с этой точкой, в замкнутом контуре стабилизации, моментным двигателям теоретически можно дать команду мгновенно перевернуть подвес на 180 градусов. Вместо этого в LM компьютер выдал предупреждение о «блокировке подвеса» при 70 градусах и заморозил IMU при 85 градусах.

-  Пол Фьелд, журнал Apollo Lunar Surface Journal

Вместо того, чтобы попытаться управлять подвесами быстрее, чем они могли, система просто сдалась и заморозила платформу. С этого момента космический корабль придется вручную перемещать из положения блокировки подвеса, а платформу придется вручную перенастраивать, используя звезды в качестве ориентира. ^[6]

После приземления лунного модуля Майк Коллинз на борту командного модуля пошутил: «Как насчет того, чтобы послать мне четвертый подвес на Рождество?»

Робототехника

Промышленный робот, работающий на литейном заводе.

В робототехнике блокировку подвеса обычно называют «переворотом запястья» из-за использования в роботизированных руках «запястья с тройным вращением» , где три оси запястья, управляющие рысканьем, тангажем и креном, проходят через общая точка.

Примером переворота запястья, также называемого сингулярностью запястья, является ситуация, когда путь, по которому движется робот, приводит к совмещению первой и третьей осей запястья робота. Затем вторая ось запястья пытается повернуть на 180° за нулевое время, чтобы сохранить ориентацию концевого эффектора. Результат сингулярности может быть весьма драматичным и иметь неблагоприятные последствия для руки робота, рабочего органа и процесса.

Важность предотвращения сингулярностей в робототехнике привела к тому, что Американский национальный стандарт для промышленных роботов и робототехнических систем - Требования безопасности определил его как «состояние, вызванное коллинеарным выравниванием двух или более осей робота, приводящее к непредсказуемому движению и скорости робота». ^[7]

В прикладной математике

Проблема блокировки подвеса возникает, когда в прикладной математике используются углы Эйлера; разработчики компьютерных 3D-программ , таких как 3D-моделирование , встроенные навигационные системы и видеоигры , должны позаботиться о том, чтобы избежать этого.

На формальном языке блокировка кардана возникает потому, что отображение углов Эйлера в вращения (топологически — из 3-тора T ³ в реальное проективное пространство RP ³ , которое совпадает с пространством вращений трехмерных твердых тел, формально с именем SO(3) ) не является локальным гомеоморфизмом в каждой точке, и поэтому в некоторых точках ранг (степени свободы) должен упасть ниже 3, после чего происходит блокировка карданного подвеса. Углы Эйлера позволяют дать численное описание любого вращения в трехмерном пространстве с использованием трех чисел, но это описание не только не уникально, но есть некоторые точки, в которых не каждое изменение в целевом пространстве (повороты) может быть реализовано. изменением исходного пространства (углов Эйлера). Это топологическое ограничение: не существует покрывающего отображения 3-тора в 3-мерное реальное проективное пространство; единственная (нетривиальная) покрывающая карта относится к 3-сфере, как и при использовании кватернионов .

Для сравнения все перемещения можно описать тремя числами , , и , как последовательность трех последовательных линейных движений вдоль трех перпендикулярных осей , и осей. То же самое справедливо и для вращений: все вращения можно описать тремя числами , , и , как последовательность трех вращательных движений вокруг трех осей, перпендикулярных друг другу. Это сходство между линейными и угловыми координатами делает углы Эйлера очень интуитивно понятными , но, к сожалению, они страдают от проблемы блокировки карданного подвеса. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

Потеря степени свободы с углами Эйлера

Вращение в трехмерном пространстве можно представить численно с помощью матриц несколькими способами. Одним из таких представлений является:

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Пример, заслуживающий изучения, имеет место, когда . Зная, что и , приведенное выше выражение становится равным: ${\displaystyle \beta ={\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \cos {\tfrac {\pi }{2}}=0}$ ${\displaystyle \sin {\tfrac {\pi }{2}}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Выполнение матричного умножения :

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\-\cos \alpha &\sin \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &0\\-\cos \alpha \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma &\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma &0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

И, наконец, используя формулы тригонометрии :

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin(\alpha +\gamma )&\cos(\alpha +\gamma )&0\\-\cos(\alpha +\gamma )&\sin(\alpha +\gamma )&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Изменение значений и в приведенной выше матрице имеет тот же эффект: угол поворота меняется, но ось вращения остается в направлении: последний столбец и первая строка в матрице не изменятся. Единственное решение для восстановления различных ролей — это изменение . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha +\gamma }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta }$

Используя соглашение XYZ , можно представить самолет, вращающийся на вышеупомянутые углы Эйлера . В данном случае первый угол – это шаг. Затем устанавливается значение рыскания , и последнее вращение – на – снова соответствует тангажу самолета. Из-за блокировки подвеса он потерял одну из степеней свободы – в данном случае способность крениться. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \gamma }$

Также можно выбрать другое соглашение для представления вращения с помощью матрицы с использованием углов Эйлера, чем соглашение XYZ , указанное выше, а также выбрать другие интервалы изменения углов, но в конце концов всегда найдется хотя бы одно значение, для которого степень свобода потеряна.

Проблема блокировки подвеса не делает углы Эйлера «недействительными» (они всегда служат четко определенной системой координат), но делает их непригодными для некоторых практических приложений.

Представление альтернативной ориентации

Причиной блокировки подвеса является представление ориентации в расчетах как три осевых вращения на основе углов Эйлера. Поэтому потенциальное решение состоит в том, чтобы представить ориентацию каким-либо другим способом. Это может быть матрица вращения , кватернион (см. «Кватернионы и пространственное вращение ») или подобное представление ориентации, которое рассматривает ориентацию как значение, а не как три отдельных и связанных значения. Учитывая такое представление, пользователь сохраняет ориентацию как значение. Для количественной оценки угловых изменений, вызванных преобразованием, изменение ориентации выражается как дельта-угол/поворот оси. Полученную ориентацию необходимо повторно нормализовать, чтобы предотвратить накопление ошибок с плавающей запятой при последующих преобразованиях. Для матриц повторная нормализация результата требует преобразования матрицы в ближайшее ортонормированное представление . Для кватернионов повторная нормализация требует выполнения нормализации кватернионов .

Смотрите также

• Графики SO(3)
• Динамика полета  - исследование характеристик, устойчивости и управления летательными аппаратами.
• Сетка севера  - декартова географическая система координат Pages displaying short descriptions of redirect targets(эквивалентная навигационная задача в полярных экспедициях)
• Инерциальная навигационная система  – непрерывно вычисляемый счисление пути.
• Планирование движения  – вычислительная задача
• Кватернионы и пространственное вращение  . Соответствие между кватернионами и трехмерным вращением.

Рекомендации

1. Джонатан Стрикленд (2008). «Что такое подвес и какое отношение он имеет к НАСА?».
2. Адриан Попа (4 июня 1998 г.). «Re: Что подразумевается под термином «блокировка карданного подвеса»?».
3. Крис Верплаэтсе (1995). «Обзор дизайна перьев и основы навигации». Архивировано из оригинала 14 февраля 2009 г.
4. Чаппелл, Чарльз, Д. (2006). «Опорные опоры шарнирные газовые».{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Дэвид Хоаг (1963). «Наведение и навигация Аполлона - Особенности блокировки карданного подвеса ИДУ Аполлона - Документ инструментальной лаборатории Массачусетского технологического института E-1344» .
6. Эрик М. Джонс; Пол Фьельд (2006). «Углы подвеса, блокировка подвеса и четвертый подвес на Рождество».
7. ANSI/RIA R15.06-1999

Внешние ссылки

• Блокировка карданного подвеса — объяснение на YouTube