Координаты Бойера–Линдквиста

В математическом описании общей теории относительности координаты Бойера –Линдквиста ^[1] являются обобщением координат, используемых для метрики черной дыры Шварцшильда , которые можно использовать для выражения метрики черной дыры Керра .

Гамильтониан для движения частиц в пространстве-времени Керра разделим в координатах Бойера–Линдквиста. Используя теорию Гамильтона–Якоби, можно вывести четвертую константу движения, известную как константа Картера . ^[2]

Статья 1967 года, в которой были представлены координаты Бойера–Линдквиста ^[1], была посмертной публикацией Роберта Х. Бойера, погибшего в 1966 году в результате стрельбы в башне Техасского университета . ^{[3] [4]}

Элемент линии

Линейный элемент для черной дыры с эквивалентной полной массой , угловым моментом и зарядом в координатах Бойера–Линдквиста и геометризированных единицах ( ) равен ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle G=c=1}$

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big )}^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}\,d\theta ^{2}}$

где

${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2},}$называемый дискриминантом ,

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,}$

и

${\displaystyle a={\frac {J}{M}},}$называемый параметром Керра .

Обратите внимание, что в геометрических единицах , и все имеют единицы длины. Этот элемент линии описывает метрику Керра–Ньюмена . Здесь следует интерпретировать как массу черной дыры, видимую наблюдателем на бесконечности, интерпретируется как угловой момент , а электрический заряд . Все они должны быть постоянными параметрами, удерживаемыми фиксированными. Название дискриминанта возникает, потому что он появляется как дискриминант квадратного уравнения, ограничивающего времяподобное движение частиц, вращающихся вокруг черной дыры, т. е. определяющего эргосферу. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Q}$

Преобразование координат из координат Бойера–Линдквиста , , в декартовы координаты , , задается (для ) формулой: ^[5] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m\to 0}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi \\y&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

Вирбейн

Формы vierbein можно прочитать непосредственно из элемента строки:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\frac {\sqrt {\Delta }}{\rho }}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)}$

${\displaystyle \sigma ^{1}={\frac {\rho }{\sqrt {\Delta }}}dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\rho \,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}={\frac {\sin \theta }{\rho }}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big )}}$

так что элемент линии задается как

${\displaystyle ds^{2}=\sigma ^{a}\otimes \sigma ^{b}\eta _{ab}}$

где — метрика Минковского в плоском пространстве . ${\displaystyle \eta _{ab}}$

Спиновое соединение

Спиновая связь без кручения определяется как ${\displaystyle \omega ^{ab}}$

${\displaystyle d\sigma ^{a}+\omega ^{ab}\wedge \sigma ^{c}\eta _{bc}=0}$

Тензор конторсии дает разницу между связью с кручением и соответствующей связью без кручения. По соглашению, римановы многообразия всегда задаются геометриями без кручения; кручение часто используется для задания эквивалентных плоских геометрий.

Спиновая связь полезна, поскольку она обеспечивает промежуточную точку для вычисления двумерной формы кривизны :

${\displaystyle R^{ab}=d\omega ^{ab}+\omega ^{ac}\wedge \omega ^{db}\eta _{cd}}$

Это также наиболее подходящая форма для описания связи со спинорными полями, открывающая путь к твисторному формализму .

Все шесть компонентов спиновой связи неисчезающие. Это: ^[6]

${\displaystyle \omega ^{01}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[{\frac {-2Mr^{2}+2rQ^{2}+a^{2}[M+r+(M-r)\cos 2\theta ]}{2{\sqrt {\Delta }}}}\,\sigma ^{0}+ra\sin \theta \,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{02}={\frac {a\cos \theta }{\rho ^{3}}}\left[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{03}={\frac {a}{\rho ^{3}}}\left[r\sin \theta \,\sigma ^{1}-{\sqrt {\Delta }}\cos \theta \,\sigma ^{2}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{12}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[a^{2}\sin \theta \cos \theta \,\sigma ^{1}+r{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{2}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{13}={\frac {r}{\rho ^{3}}}\left[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{23}={\frac {\cot \theta }{\rho ^{3}}}\left[a{\sqrt {\Delta }}\sin \theta \,\sigma ^{0}+(r^{2}+a^{2})\,\sigma ^{3}\right]}$

Тензоры Римана и Риччи

Полностью записанный тензор Римана весьма многословен; его можно найти у Фре. ^[6] Тензор Риччи принимает диагональную форму:

${\displaystyle {\mbox{Ric}}={\frac {Q^{2}}{\rho ^{4}}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание на расположение записи со знаком минус один: она полностью исходит из электромагнитного вклада. А именно, когда тензор электромагнитного напряжения имеет только две неисчезающие компоненты: и , то соответствующий тензор энергии-импульса принимает вид ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle F_{01}}$ ${\displaystyle F_{23}}$

${\displaystyle T^{\mbox{Maxwell}}={\frac {F_{01}^{2}+F_{23}^{2}}{4}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Приравнивая это к тензору энергии-импульса для гравитационного поля, получаем электровакуумное решение Керра–Ньюмена .

Ссылки

1. Boyer, Robert H.; Lindquist, Richard W. (1967). «Максимальное аналитическое расширение метрики Керра». Журнал математической физики . 8 (2): 265–281. Bibcode : 1967JMP.....8..265B. doi : 10.1063/1.1705193.
2. Картер, Брэндон (1968). «Глобальная структура семейства гравитационных полей Керра». Physical Review . 174 (5): 1559–1571. Bibcode : 1968PhRv..174.1559C. doi : 10.1103/PhysRev.174.1559.
3. "Жертвы". За башней . 15 июля 2016 г. Получено 2 ноября 2022 г.
4. "Роберт Гамильтон Бойер". Physics Today . 19 (9): 121. Сентябрь 1966. doi : 10.1063/1.3048457 .
5. Мэтт Виссер, arXiv:0706.0622v3, уравнения 60-62
6. Пьетро Джузеппе Фре, «Гравитация, геометрический курс, том 2: Черные дыры, космология и введение в супергравитацию», (2013) Springer-Verlag

• Шапиро, С. Л.; Тьюкольский, С. А. (1983). Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды: физика компактных объектов . Нью-Йорк: Wiley. стр. 357. ISBN 9780471873167.