Брайан Хейворд Боудич (родился в 1961 году [1] ) — британский математик, известный своим вкладом в геометрию и топологию , особенно в области геометрической теории групп и низкоразмерной топологии . Он также известен решением [2] проблемы ангела . Боудич занимает должность профессора-председателя кафедры математики в Университете Уорика .
Брайан Боудич родился в 1961 году в Ните , Уэльс. Он получил степень бакалавра в Кембриджском университете в 1983 году. [1] Впоследствии он продолжил докторантуру по математике в Университете Уорика под руководством Дэвида Эпштейна , где получил степень доктора философии в 1988 году. [3] Затем Боудич занимал постдокторские и приглашенные должности в Институте перспективных исследований в Принстоне , штат Нью-Джерси , Университете Уорика, Институте высших научных исследований в Бюр-сюр-Иветт , Университете Мельбурна и Университете Абердина . [1] В 1992 году он получил назначение в Университет Саутгемптона , где оставался до 2007 года. В 2007 году Боудич перешел в Университет Уорика, где получил должность профессора-председателя по математике.
Боудич был награжден премией Уайтхеда Лондонским математическим обществом в 1997 году за свою работу в области геометрической теории групп и геометрической топологии . [4] [5] Он выступил с приглашенной речью на Европейском математическом конгрессе 2004 года в Стокгольме. [6] Боудич является бывшим членом редколлегии журнала Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse [7] и бывшим редакционным советником Лондонского математического общества . [8]
Ранние заметные результаты Боудича включают в себя разъяснение классического понятия геометрической конечности для многомерных клейновых групп постоянной и переменной отрицательной кривизны. В статье 1993 года [9] Боудич доказал, что пять стандартных характеристик геометрической конечности для дискретных групп изометрий гиперболического 3-пространства и гиперболической плоскости (включая определение в терминах наличия конечностороннего фундаментального многогранника) остаются эквивалентными для групп изометрий гиперболического n -пространства , где n ≥ 4. Однако он показал, что в размерностях n ≥ 4 условие наличия конечносторонней области Дирихле больше не эквивалентно стандартным понятиям геометрической конечности. В последующей статье [10] Боудич рассмотрел аналогичную задачу для дискретных групп изометрий многообразия Адамара сжатой (но не обязательно постоянной) отрицательной кривизной и произвольной размерности n ≥ 2. Он доказал, что четыре из пяти эквивалентных определений геометрической конечности, рассмотренных в его предыдущей статье, остаются эквивалентными в этой общей постановке, но условие наличия конечностороннего фундаментального многогранника больше им не эквивалентно.
Большая часть работы Боудича в 1990-х годах была посвящена изучению границ на бесконечности гиперболических групп слов . Он доказал гипотезу о точке сочленения , которая гласит, что граница гиперболической группы слов с одним концом не имеет глобальных точек сочленения . Боудич впервые доказал эту гипотезу в основных случаях гиперболической группы с одним концом, которая не распадается на подгруппу с двумя концами [11] (то есть подгруппу, содержащую бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса ), а также для гиперболических групп с одним концом, которые являются «сильно доступными». [12] Общий случай гипотезы был вскоре завершен Г. Анандой Сварупом [13], который охарактеризовал работу Боудича следующим образом: «Наиболее значительные успехи в этом направлении были достигнуты Брайаном Боудичем в блестящей серии статей ([4]-[7]). Мы во многом опираемся на его работу». Вскоре после статьи Сварупа Боудич представил альтернативное доказательство гипотезы о точке разреза в общем случае. [14] Работа Боудича основывалась на извлечении различных дискретных древовидных структур из действия гиперболической группы на ее границе.
Боудич также доказал, что (по модулю нескольких исключений) граница одноконечной слово-гиперболической группы G имеет локальные точки сочленения тогда и только тогда, когда G допускает существенное расщепление, как объединенное свободное произведение или расширение HNN , над виртуально бесконечной циклической группой. Это позволило Боудичу создать [15] теорию разложения JSJ для слово-гиперболических групп, которая была более канонической и более общей (в частности, потому что она охватывала группы с нетривиальным кручением), чем исходная теория разложения JSJ Злила Селы . [16] Одним из следствий работы Боудича является то, что для одноконечных слово-гиперболических групп (за несколькими исключениями), имеющих нетривиальное существенное расщепление над виртуально циклической подгруппой, является инвариантом квазиизометрии .
Боудич также дал топологическую характеристику гиперболических групп, тем самым решив гипотезу, предложенную Михаилом Громовым . А именно, Боудич доказал [17] , что группа G является гиперболической тогда и только тогда, когда G допускает действие гомеоморфизмами на совершенном метризуемом компакте M как "группу равномерной сходимости", то есть такое, что диагональное действие G на множестве различных троек из M является собственно разрывным и кокомпактным; более того, в этом случае M является G -эквивариантно гомеоморфным границе ∂ G группы G. Позже, основываясь на этой работе, аспирант Боудича Яман дал топологическую характеристику относительно гиперболических групп . [18]
Большая часть работы Боудича в 2000-х годах касается изучения комплекса кривых с различными приложениями к 3-многообразиям , группам классов отображений и группам Клейна . Комплекс кривых C ( S ) поверхности конечного типа S , введенный Харви в конце 1970-х годов, [19] имеет множество свободных гомотопических классов существенных простых замкнутых кривых на S в качестве множества вершин, где несколько различных вершин охватывают симплекс, если соответствующие кривые могут быть реализованы непересекающимися. Комплекс кривых оказался фундаментальным инструментом в изучении геометрии пространства Тейхмюллера , групп классов отображений и групп Клейна . В статье 1999 года [20] Говард Мазур и Яир Мински доказали, что для ориентируемой поверхности конечного типа S комплекс кривых C ( S ) является гиперболическим по Громову . Этот результат был ключевым компонентом в последующем доказательстве гипотезы Терстона о ламинировании конца , решении, которое было основано на совместной работе Яира Мински, Говарда Мазура, Джеффри Брока и Ричарда Канари . [21] В 2006 году Боудич дал еще одно доказательство [22] гиперболичности комплекса кривых. Доказательство Боудича более комбинаторное и довольно сильно отличается от исходного аргумента Мазура-Минского. Результат Боудича также дает оценку константы гиперболичности комплекса кривых, которая логарифмична по сложности поверхности, а также дает описание геодезических в комплексе кривых в терминах чисел пересечений. Последующая статья Боудича 2008 года [23] продвинула эти идеи дальше и получила новые количественные результаты о конечности, касающиеся так называемых «жестких геодезических» в комплексе кривых, понятия, введенного Мазуром и Мински для борьбы с тем фактом, что комплекс кривых не является локально конечным. В качестве приложения Боудич доказал, что, за исключением нескольких поверхностей малой сложности, действие группы классов отображений Mod( S ) на C ( S ) является «цилиндрическим» и что асимптотические длины трансляций псевдоаносовских элементов Mod( S ) на C ( S ) являются рациональными числами с ограниченными знаменателями.
Статья Боудича [2] 2007 года дает положительное решение проблемы ангела Джона Конвея : [24] Боудич доказал [2] , что 4-ангел имеет выигрышную стратегию и может уклониться от дьявола в «игре ангела». Независимые решения проблемы ангела были получены примерно в то же время Андрашем Мате [25] и Оддваром Клостером. [26]