Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема в топологии

Теорема Брауэра о неподвижной точке — теорема о неподвижной точке в топологии , названная в честь Бертуса Брауэра . Она утверждает, что для любой непрерывной функции, отображающей непустое компактное выпуклое множество в себя, существует точка такая, что . Простейшие формы теоремы Брауэра — для непрерывных функций из замкнутого интервала действительных чисел в себя или из замкнутого круга в себя. Более общая форма, чем последняя, ​​— для непрерывных функций из непустого выпуклого компактного подмножества евклидова пространства в себя. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K}$

Среди сотен теорем о неподвижной точке ^[1] теорема Брауэра особенно известна, отчасти благодаря ее использованию в многочисленных областях математики. В своей первоначальной области этот результат является одной из ключевых теорем, характеризующих топологию евклидовых пространств, наряду с теоремой о кривой Жордана , теоремой о волосатом шаре , инвариантностью размерности и теоремой Борсука–Улама . ^[2] Это дает ей место среди фундаментальных теорем топологии. ^[3] Теорема также используется для доказательства глубоких результатов о дифференциальных уравнениях и рассматривается в большинстве вводных курсов по дифференциальной геометрии . Она появляется в маловероятных областях, таких как теория игр . В экономике теорема Брауэра о неподвижной точке и ее расширение, теорема Какутани о неподвижной точке , играют центральную роль в доказательстве существования общего равновесия в рыночной экономике, разработанном в 1950-х годах лауреатами Нобелевской премии по экономике Кеннетом Эрроу и Жераром Дебре .

Теорема была впервые изучена в связи с работами по дифференциальным уравнениям французских математиков Анри Пуанкаре и Шарля Эмиля Пикара . Доказательство таких результатов, как теорема Пуанкаре–Бендиксона, требует использования топологических методов. Эта работа в конце 19 века открыла несколько последовательных версий теоремы. Случай дифференцируемых отображений n -мерного замкнутого шара был впервые доказан в 1910 году Жаком Адамаром ^[4] , а общий случай для непрерывных отображений — Брауэром в 1911 году. ^[5]

Заявление

Теорема имеет несколько формулировок, в зависимости от контекста, в котором она используется, и степени ее обобщения. Простейшая иногда приводится следующим образом:

В самолете

Каждая непрерывная функция из замкнутого круга в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку. ^[6]

Это можно обобщить на произвольную конечную размерность:

В евклидовом пространстве

Каждая непрерывная функция из замкнутого шара евклидова пространства в себя имеет неподвижную точку. ^[7]

Немного более общая версия выглядит следующим образом: ^[8]

Выпуклое компактное множество

Каждая непрерывная функция из непустого выпуклого компактного подмножества K евклидова пространства в само K имеет неподвижную точку. ^[9]

Еще более общая форма более известна под другим названием:

Теорема Шаудера о неподвижной точке

Каждая непрерывная функция из непустого выпуклого компактного подмножества K банахова пространства в само K имеет неподвижную точку. ^[10]

Важность предварительных условий

Теорема справедлива только для функций, являющихся эндоморфизмами (функций, имеющих то же множество, что и область определения и кодомен), и для непустых множеств, которые являются компактными (и, в частности, ограниченными и замкнутыми) и выпуклыми (или гомеоморфными выпуклым). Следующие примеры показывают, почему предварительные условия важны.

Функцияфкак эндоморфизм

Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)=x+1}$

с областью определения [-1,1]. Область определения функции — [0,2]. Таким образом, f не является эндоморфизмом.

Ограниченность

Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)=x+1,}$

которая является непрерывной функцией от к себе. Поскольку она сдвигает каждую точку вправо, она не может иметь неподвижную точку. Пространство выпукло и замкнуто, но не ограничено. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Закрытость

Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)={\frac {x+1}{2}},}$

которая является непрерывной функцией из открытого интервала (−1,1) в себя. Поскольку x = 1 не является частью интервала, не существует неподвижной точки f(x) = x. Пространство (−1,1) выпукло и ограничено, но не замкнуто. С другой стороны, функция f имеет неподвижную точку для замкнутого интервала [−1,1], а именно f (1) = 1.

Выпуклость

Выпуклость не является строго необходимой для теоремы Брауэра о неподвижной точке. Поскольку соответствующие свойства (непрерывность, быть неподвижной точкой) инвариантны относительно гомеоморфизмов , теорема Брауэра о неподвижной точке эквивалентна формам, в которых область должна быть замкнутым единичным шаром . По той же причине она справедлива для любого множества, гомеоморфного замкнутому шару (и, следовательно, также замкнутого , ограниченного, связного , без дыр и т. д.). ${\displaystyle D^{n}}$

Следующий пример показывает, что теорема Брауэра о неподвижной точке не работает для областей с дырками. Рассмотрим функцию , которая является непрерывной функцией от единичной окружности до самой себя. Поскольку -x≠x выполняется для любой точки единичной окружности, f не имеет неподвижной точки. Аналогичный пример работает для n -мерной сферы (или любой симметричной области, не содержащей начало координат). Единичная окружность замкнута и ограничена, но в ней есть дырка (и поэтому она не выпукла). Функция f имеет неподвижную точку для единичного круга, поскольку она переводит начало координат в себя. ${\displaystyle f(x)=-x}$

Формальное обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке для областей, «свободных от дырок», можно вывести из теоремы Лефшеца о неподвижной точке . ^[11]

Примечания

Непрерывная функция в этой теореме не обязана быть биективной или сюръективной .

Иллюстрации

Теорема имеет несколько иллюстраций из "реального мира". Вот несколько примеров.

1. Возьмите два листа миллиметровой бумаги одинакового размера с нанесенными на них системами координат, положите один на стол, скомкайте (не разрывая и не разрывая) другой и положите его любым способом поверх первого так, чтобы скомканная бумага не выходила за пределы плоской. Тогда будет по крайней мере одна точка скомканного листа, которая лежит прямо над соответствующей ей точкой (т. е. точкой с теми же координатами) плоского листа. Это следствие случая n = 2 теоремы Брауэра, примененной к непрерывной карте, которая присваивает координатам каждой точки скомканного листа координаты точки плоского листа, расположенной непосредственно под ней.
2. Возьмите обычную карту страны и предположите, что эта карта разложена на столе внутри этой страны. На карте всегда будет точка «Вы здесь», которая представляет ту же самую точку в стране.
3. В трех измерениях следствием теоремы Брауэра о неподвижной точке является то, что, независимо от того, как сильно вы помешиваете восхитительный коктейль в стакане (или думаете о молочном коктейле), когда жидкость успокоится, некоторая точка в жидкости окажется в том же самом месте в стакане, что и до того, как вы предприняли какие-либо действия, предполагая, что конечное положение каждой точки является непрерывной функцией ее исходного положения, что жидкость после перемешивания содержится в изначально занимаемом ею пространстве, и что стакан (и форма перемешиваемой поверхности) сохраняют выпуклый объем. Заказ коктейля , встряхнутого, но не встряхнутого, нарушает условие выпуклости («встряхивание» определяется как динамическая серия невыпуклых инерционных состояний удержания в свободном пространстве под крышкой). В этом случае теорема не будет применяться, и, таким образом, все точки расположения жидкости потенциально смещены из исходного состояния. ^{[ необходима цитата ]}

Интуитивный подход

Объяснения, приписываемые Брауэру

Предполагается, что теорема возникла из наблюдения Брауэра за чашкой изысканного кофе. ^[12] Если помешивать, чтобы растворить кусок сахара, то всегда будет точка без движения. Он пришел к выводу, что в любой момент на поверхности есть точка, которая не движется. ^[13] Неподвижная точка не обязательно является точкой, которая кажется неподвижной, поскольку центр турбулентности немного перемещается. Результат не является интуитивным, поскольку исходная неподвижная точка может стать подвижной, когда появляется другая неподвижная точка.

Говорят, что Брауэр добавил: «Я могу сформулировать этот великолепный результат иначе: я беру горизонтальный лист и еще один такой же, который я комкаю, расплющиваю и кладу на другой. Тогда точка смятого листа оказывается в том же месте, что и на другом листе». ^[13] Брауэр «расплющивает» свой лист, как утюгом, не удаляя складки и морщины. В отличие от примера с чашкой кофе, пример со смятой бумагой также демонстрирует, что может существовать более одной неподвижной точки. Это отличает результат Брауэра от других теорем о неподвижной точке, таких как теорема Стефана Банаха , которые гарантируют уникальность.

Одномерный случай

В одном измерении результат интуитивно понятен и легко доказывается. Непрерывная функция f определена на замкнутом интервале [ a ,  b ] и принимает значения в том же интервале. Сказать, что эта функция имеет неподвижную точку, равносильно утверждению, что ее график (темно-зеленый на рисунке справа) пересекает график функции, определенной на том же интервале [ a ,  b ], которая отображает x в x (светло-зеленый).

Интуитивно понятно, что любая непрерывная линия от левого края квадрата до правого края обязательно должна пересекать зеленую диагональ. Чтобы доказать это, рассмотрим функцию g , которая отображает x в f ( x ) −  x . Она ≥ 0 на a и ≤ 0 на  b . По теореме о промежуточном значении g имеет ноль в [ a ,  b ]; этот ноль является неподвижной точкой.

Говорят, что Брауэр выразил это следующим образом: «Вместо того, чтобы исследовать поверхность, мы докажем теорему о куске струны. Начнем со струны в развернутом состоянии, затем снова сложим ее. Давайте расплющим снова сложенную струну. И снова точка струны не изменила своего положения относительно своего первоначального положения на развернутой струне». ^[13]

История

Теорема Брауэра о неподвижной точке была одним из ранних достижений алгебраической топологии и является основой более общих теорем о неподвижной точке, которые важны в функциональном анализе . Случай n = 3 впервые был доказан Пирсом Больем в 1904 году (опубликован в Journal für die reine und angewandte Mathematik ). ^[14] Позднее он был доказан Л. Э. Брауэром в 1909 году. Жак Адамар доказал общий случай в 1910 году, ^[4] и Брауэр нашел другое доказательство в том же году. ^[5] Поскольку все эти ранние доказательства были неконструктивными косвенными доказательствами , они противоречили интуиционистским идеалам Брауэра. Хотя существование неподвижной точки не является конструктивным в смысле конструктивизма в математике , сейчас известны методы аппроксимации неподвижных точек, гарантированные теоремой Брауэра. ^{[15] [16]}

До открытия

Для потоков в неограниченной области или в области с «дыркой» теорема неприменима.

Теорема применима к любой области в форме диска, где она гарантирует существование неподвижной точки.

В конце 19 века старая проблема ^[17] устойчивости солнечной системы вновь оказалась в центре внимания математического сообщества. ^[18] Для ее решения потребовались новые методы. Как заметил Анри Пуанкаре , работавший над задачей трех тел , нет никакой надежды найти точное решение: «Ничто не может дать нам более подходящего представления о сложности задачи трех тел и вообще всех задач динамики, где нет равномерного интеграла и ряды Болина расходятся». ^[19] Он также отметил, что поиск приближенного решения не более эффективен: «чем больше мы стремимся получить точные приближения, тем больше результат будет расходиться в сторону возрастающей неточности». ^[20]

Он изучал вопрос, аналогичный вопросу о движении поверхности в чашке кофе. Что мы можем сказать, в общем, о траекториях на поверхности, оживленной постоянным потоком ? ^[21] Пуанкаре обнаружил, что ответ можно найти в том, что мы теперь называем топологическими свойствами в области, содержащей траекторию. Если эта область компактна , т. е. одновременно замкнута и ограничена , то траектория либо становится стационарной, либо приближается к предельному циклу . ^[22] Пуанкаре пошел дальше; если область того же рода, что и диск, как в случае с чашкой кофе, обязательно должна быть неподвижная точка. Эта неподвижная точка инвариантна относительно всех функций, которые связывают с каждой точкой исходной поверхности ее положение через короткий промежуток времени  t . Если область представляет собой круговую полосу или если она не замкнута, ^[23] то это не обязательно так.

Чтобы лучше понять дифференциальные уравнения, родилась новая ветвь математики. Пуанкаре назвал ее анализом situs . Французская энциклопедия Universalis определяет ее как ветвь, которая «рассматривает свойства объекта, которые инвариантны, если он деформируется любым непрерывным образом, без разрывов». ^[24] В 1886 году Пуанкаре доказал результат, эквивалентный теореме Брауэра о неподвижной точке, ^[25] хотя связь с предметом этой статьи еще не была очевидна. ^[26] Чуть позже он разработал один из фундаментальных инструментов для лучшего понимания анализа situs, теперь известный как фундаментальная группа или иногда группа Пуанкаре. ^[27] Этот метод можно использовать для очень компактного доказательства обсуждаемой теоремы.

Метод Пуанкаре был аналогичен методу Эмиля Пикара , современного математика, который обобщил теорему Коши–Липшица . ^[28] Подход Пикара основан на результате, который позже был формализован другой теоремой о неподвижной точке , названной в честь Банаха . Вместо топологических свойств области эта теорема использует тот факт, что рассматриваемая функция является сжатием .

Первые доказательства

Жак Адамар помог Брауэру формализовать его идеи.

На заре 20-го века интерес к анализу situs не остался незамеченным. Однако необходимость теоремы, эквивалентной той, что обсуждается в этой статье, еще не была очевидна. Пирс Боль , латвийский математик, применил топологические методы к изучению дифференциальных уравнений. ^[29] В 1904 году он доказал трехмерный случай нашей теоремы, ^[14] но его публикация не была замечена. ^[30]

Наконец, именно Брауэр дал теореме первый патент на дворянство. Его цели отличались от целей Пуанкаре. Этот математик был вдохновлен основами математики, особенно математической логикой и топологией . Его первоначальный интерес заключался в попытке решить пятую проблему Гильберта . ^[31] В 1909 году во время поездки в Париж он встретился с Анри Пуанкаре , Жаком Адамаром и Эмилем Борелем . Последовавшие за этим обсуждения убедили Брауэра в важности лучшего понимания евклидовых пространств и стали источником плодотворного обмена письмами с Адамаром. В течение следующих четырех лет он сосредоточился на доказательстве некоторых великих теорем по этому вопросу. В 1912 году он доказал теорему о волосатом шаре для двумерной сферы, а также тот факт, что каждое непрерывное отображение из двумерного шара в себя имеет неподвижную точку. ^[32] Эти два результата сами по себе не были действительно новыми. Как заметил Адамар, Пуанкаре доказал теорему, эквивалентную теореме о волосатом шаре. ^[33] Революционным аспектом подхода Брауэра было его систематическое использование недавно разработанных инструментов, таких как гомотопия , базовая концепция группы Пуанкаре. В следующем году Адамар обобщил обсуждаемую теорему на произвольную конечную размерность, но он использовал другие методы. Ганс Фройденталь комментирует соответствующие роли следующим образом: «По сравнению с революционными методами Брауэра, методы Адамара были очень традиционными, но участие Адамара в рождении идей Брауэра больше напоминает участие акушерки, чем простого зрителя». ^[34]

Подход Брауэра дал свои плоды, и в 1910 году он также нашел доказательство, которое было справедливо для любой конечной размерности, ^[5] а также другие ключевые теоремы, такие как инвариантность размерности. ^[35] В контексте этой работы Брауэр также обобщил теорему Жордана о кривой на произвольную размерность и установил свойства, связанные со степенью непрерывного отображения . ^[36] Эта отрасль математики, первоначально задуманная Пуанкаре и развитая Брауэром, изменила свое название. В 1930-х годах анализ situs стал алгебраической топологией . ^[37]

Прием

Джон Нэш использовал теорему теории игр для доказательства существования равновесного профиля стратегии.

Теорема доказала свою ценность более чем одним способом. В течение 20-го века были разработаны многочисленные теоремы о неподвижной точке, и даже раздел математики, называемый теорией неподвижной точки . ^[38] Теорема Брауэра, вероятно, является самой важной. ^[39] Она также входит в число основополагающих теорем о топологии топологических многообразий и часто используется для доказательства других важных результатов, таких как теорема о кривой Жордана . ^[40]

Помимо теорем о неподвижной точке для более или менее сжимающих функций, есть много других, которые возникли прямо или косвенно из обсуждаемого результата. Непрерывное отображение из замкнутого шара евклидова пространства на его границу не может быть тождеством на границе. Аналогично, теорема Борсука–Улама гласит, что непрерывное отображение из n -мерной сферы в R ⁿ имеет пару антиподальных точек, которые отображаются в одну и ту же точку. В конечномерном случае теорема Лефшеца о неподвижной точке предоставила с 1926 года метод подсчета неподвижных точек. В 1930 году теорема Брауэра о неподвижной точке была обобщена на банаховы пространства . ^[41] Это обобщение известно как теорема Шаудера о неподвижной точке , результат, обобщенный далее С. Какутани на функции со значениями множества . ^[42] Теорема и ее варианты также встречаются вне топологии. Его можно использовать для доказательства теоремы Хартмана-Гробмана , которая описывает качественное поведение некоторых дифференциальных уравнений вблизи определенных равновесий. Аналогично, теорема Брауэра используется для доказательства Центральной предельной теоремы . Теорему также можно найти в доказательствах существования решений некоторых частных дифференциальных уравнений . ^[43]

Затронуты и другие области. В теории игр Джон Нэш использовал теорему, чтобы доказать, что в игре Hex есть выигрышная стратегия для белых. ^[44] В экономике П. Бич объясняет, что некоторые обобщения теоремы показывают, что ее использование полезно для определенных классических проблем в теории игр и в целом для равновесий ( закон Хотеллинга ), финансовых равновесий и неполных рынков. ^[45]

Известность Брауэра не является исключительной заслугой его топологических работ. Доказательства его великих топологических теорем не являются конструктивными , ^[46] и недовольство Брауэра этим отчасти привело его к формулированию идеи конструктивности . Он стал создателем и ревностным защитником способа формализации математики, известного как интуиционизм , который в то время выступал против теории множеств . ^[47] Брауэр дезавуировал свое первоначальное доказательство теоремы о неподвижной точке.

Контуры доказательства

Доказательство с использованием степени

Первоначальное доказательство Брауэра 1911 года основывалось на понятии степени непрерывного отображения , вытекающем из идей дифференциальной топологии . Несколько современных описаний доказательства можно найти в литературе, в частности у Милнора (1965). ^{[48] [49]}

Пусть обозначает замкнутый единичный шар в с центром в начале координат. Предположим для простоты, что непрерывно дифференцируемо. Регулярное значение — это точка такая, что якобиан невырожден в каждой точке прообраза . В частности, по теореме об обратной функции каждая точка прообраза лежит в (внутри ). Степень при регулярном значении определяется как сумма знаков определителя Якоби по прообразам под : ${\displaystyle K={\overline {B(0)}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:K\to K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in B(0)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B(0)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in B(0)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {deg} _{p}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(p)}\operatorname {sign} \,\det(df_{x}).}$

Степень, грубо говоря, есть число «листов» прообраза , летящего над небольшим открытым множеством вокруг p , при этом листы считаются противоположно, если они противоположно ориентированы. Таким образом, это обобщение числа намотки на более высокие измерения.

Степень удовлетворяет свойству гомотопической инвариантности : пусть и — две непрерывно дифференцируемые функции, причем для . Предположим, что точка является регулярным значением для всех t . Тогда . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H_{t}}$ ${\displaystyle \deg _{p}f=\deg _{p}g}$

Если нет неподвижной точки границы , то функция ${\displaystyle K}$

${\displaystyle g(x)={\frac {x-f(x)}{\sup _{y\in K}\left|y-f(y)\right|}}}$

четко определено, и

${\displaystyle H(t,x)={\frac {x-tf(x)}{\sup _{y\in K}\left|y-tf(y)\right|}}}$

определяет гомотопию из функции тождества в нее. Функция тождества имеет степень один в каждой точке. В частности, функция тождества имеет степень один в начале координат, поэтому также имеет степень один в начале координат. Как следствие, прообраз не пуст. Элементы из являются в точности неподвижными точками исходной функции f . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$

Это требует некоторой работы, чтобы сделать полностью общим. Определение степени должно быть распространено на сингулярные значения f , а затем на непрерывные функции. Более современное появление теории гомологии упрощает построение степени, и поэтому стало стандартным доказательством в литературе.

Доказательство с использованием теоремы о волосатом шаре

Теорема о мохнатом шаре утверждает, что на единичной сфере S в нечетномерном евклидовом пространстве не существует нигде не исчезающего непрерывного касательного векторного поля w на S . (Условие касания означает, что w ( x ) ⋅ x = 0 для каждого единичного вектора x .) Иногда теорему выражают утверждением, что «на земном шаре всегда есть место, где нет ветра». Элементарное доказательство теоремы о мохнатом шаре можно найти в Milnor (1978).

Фактически, предположим сначала, что w непрерывно дифференцируемо . Масштабируя, можно предположить, что w является непрерывно дифференцируемым единичным касательным вектором на S. Его можно расширить радиально до небольшой сферической оболочки A для S. Для достаточно малого t обычное вычисление показывает, что отображение f _t ( x ) = x + t w ( x ) является сжимающим отображением на A и что объем его образа является полиномом по t . С другой стороны, как сжимающее отображение, f _t должно ограничиваться гомеоморфизмом S на (1 + t ² ) ^⁠1/2⁠ S и A на (1 + t ² ) ^⁠1/2⁠ A. Это приводит к противоречию, поскольку, если размерность n евклидова пространства нечетна, то (1 + t ² ) ^{n /2} не является многочленом.

Если w — только непрерывный единичный касательный вектор на S , то по теореме Вейерштрасса об аппроксимации его можно равномерно аппроксимировать полиномиальным отображением u из A в евклидово пространство. Ортогональная проекция на касательное пространство задается формулой v ( x ) = u ( x ) - u ( x ) ⋅ x . Таким образом, v — полином и нигде не обращается в нуль на A ; по построению v /|| v || — гладкое единичное касательное векторное поле на S , противоречие.

Непрерывная версия теоремы о волосатом шаре теперь может быть использована для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке. Сначала предположим, что n четно. Если бы существовало непрерывное отображение f замкнутого единичного шара B n -мерного евклидова пространства V в себя , свободное от неподвижных точек, то положим

${\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })=(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {f} }({\mathbf {x} }))\,{\mathbf {x} }-(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} })\,{\mathbf {f} }({\mathbf {x} }).}$

Так как f не имеет неподвижных точек, то для x внутри B вектор w ( x ) не равен нулю; а для x в S скалярное произведение x ⋅ w ( x ) = 1 – x ⋅ f ( x ) строго положительно. Из исходного n -мерного пространства Евклидово пространство V построим новое вспомогательное ( n + 1 ) -мерное пространство W = V x R с координатами y = ( x , t ). Положим

${\displaystyle {\mathbf {X} }({\mathbf {x} },t)=(-t\,{\mathbf {w} }({\mathbf {x} }),{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })).}$

По построению X является непрерывным векторным полем на единичной сфере W , удовлетворяющим условию касания y ⋅ X ( y ) = 0. Более того, X ( y ) нигде не обращается в нуль (потому что, если x имеет норму 1, то x ⋅ w ( x ) не равно нулю; в то время как если x имеет норму строго меньше 1, то t и w ( x ) оба не равны нулю). Это противоречие доказывает теорему о неподвижной точке, когда n четно. Для нечетного n можно применить теорему о неподвижной точке к замкнутому единичному шару B в n + 1 измерениях и отображению F ( x , y ) = ( f ( x ),0). Преимущество этого доказательства в том, что оно использует только элементарные методы; более общие результаты, такие как теорема Борсука-Улама, требуют инструментов из алгебраической топологии . ^[50]

Доказательство с использованием гомологии или когомологии

Доказательство использует наблюдение, что границей n -диска D n ^{является} S n ^{−1 ,} ( n − 1) -сфера .

Иллюстрация ретракции F

Предположим, от противного, что непрерывная функция f  : D ⁿ → D ⁿ не имеет неподвижной точки. Это означает, что для каждой точки x в D ⁿ точки x и f ( x ) различны. Поскольку они различны, для каждой точки x в D ⁿ мы можем построить единственный луч из f ( x ) в x и следовать за лучом, пока он не пересечет границу S ^{n −1} (см. иллюстрацию). Называя эту точку пересечения F ( x ), мы определяем функцию F  :  D ⁿ  →  S ^{n −1 ,} отправляющую каждую точку в диске в соответствующую ей точку пересечения на границе. В качестве особого случая, всякий раз, когда сама точка x находится на границе, то точка пересечения F ( x ) должна быть x .

Следовательно, F представляет собой особый тип непрерывной функции, известный как ретракция : каждая точка области значений (в данном случае S ^{n −1} ) является неподвижной точкой F .

Интуитивно кажется маловероятным, что может быть ретракция D ⁿ на S ^{n −1} , а в случае n = 1 невозможность более фундаментальна, поскольку S ⁰ (т. е. конечные точки замкнутого интервала D ¹ ) даже не связны. Случай n = 2 менее очевиден, но может быть доказан с использованием основных аргументов, включающих фундаментальные группы соответствующих пространств: ретракция индуцировала бы сюръективный групповой гомоморфизм из фундаментальной группы D ² в фундаментальную группу S ¹ , но последняя группа изоморфна Z , в то время как первая группа тривиальна, так что это невозможно. Случай n = 2 также может быть доказан от противного на основе теоремы о неисчезающих векторных полях .

Однако для n > 2 доказать невозможность ретракции сложнее. Один из способов — использовать группы гомологии : гомология H _{n −1} ( D ⁿ ) тривиальна, тогда как H _{n −1} ( S ^{n −1} ) — бесконечная циклическая . Это показывает, что ретракция невозможна, поскольку ретракция снова индуцировала бы инъективный групповой гомоморфизм из последней в первую группу.

Невозможность ретракции можно также показать с помощью когомологий де Рама открытых подмножеств евклидова пространства E ⁿ . Для n ≥ 2 когомологии де Рама U = E ⁿ – (0) являются одномерными в степени 0 и n - 1 и обращаются в нуль в противном случае. Если бы ретракция существовала, то U должна была бы быть стягиваемой, а ее когомологии де Рама в степени n - 1 должны были бы исчезнуть, противоречие. ^[51]

Доказательство с использованием теоремы Стокса

Как и в доказательстве теоремы Брауэра о неподвижной точке для непрерывных отображений с использованием гомологии, это сводится к доказательству того, что не существует непрерывной ретракции F из шара B на его границу ∂ B . В этом случае можно предположить, что F является гладким, поскольку его можно аппроксимировать с помощью теоремы аппроксимации Вейерштрасса или сверткой с неотрицательными гладкими функциями выпуклости достаточно малого носителя и целой единицы (т.е. смягчающей ). Если ω — объемная форма на границе, то по теореме Стокса ,

${\displaystyle 0<\int _{\partial B}\omega =\int _{\partial B}F^{*}(\omega )=\int _{B}dF^{*}(\omega )=\int _{B}F^{*}(d\omega )=\int _{B}F^{*}(0)=0,}$

давая противоречие. ^{[52] [53]}

В более общем смысле это показывает, что не существует гладкой ретракции из любого непустого гладкого ориентированного компактного многообразия M на его границу. Доказательство с использованием теоремы Стокса тесно связано с доказательством с использованием гомологии, поскольку форма ω порождает группу когомологий де Рама H ^{n -1} (∂ M ), которая изоморфна группе гомологий H _{n -1} (∂ M ) по теореме де Рама . ^[54]

Комбинаторное доказательство

BFPT можно доказать с помощью леммы Шпернера . Теперь мы дадим схему доказательства для особого случая, в котором f является функцией от стандартного n - симплекса , в себя, где ${\displaystyle \Delta ^{n},}$

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{P\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1{\text{ and }}P_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

Для каждой точки также, следовательно, сумма их координат равна: ${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$ ${\displaystyle f(P)\in \Delta ^{n}.}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=\sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}}$

Следовательно, по принципу ящика, для каждого должен существовать индекс такой, что -я координата больше или равна -й координате его изображения при f : ${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$ ${\displaystyle j\in \{0,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle P_{j}\geq f(P)_{j}.}$

Более того, если лежит на k -мерной подграни , то по тому же аргументу индекс может быть выбран из k + 1 координат, которые не равны нулю на этой подграни. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta ^{n},}$ ${\displaystyle j}$

Теперь мы используем этот факт для построения раскраски Шпернера. Для каждой триангуляции цвета каждой вершины есть индекс такой, что ${\displaystyle \Delta ^{n},}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}.}$

По построению это раскраска Шпернера. Следовательно, по лемме Шпернера, существует n -мерный симплекс, вершины которого раскрашены всем набором из n + 1 доступных цветов.

Поскольку f непрерывен, этот симплекс можно сделать сколь угодно малым, выбрав сколь угодно мелкую триангуляцию. Следовательно, должна быть точка, удовлетворяющая условию маркировки во всех координатах: для всех ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}}$ ${\displaystyle j.}$

Поскольку сумма координат и должна быть равна, все эти неравенства должны быть на самом деле равенствами. Но это означает, что: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(P)}$

${\displaystyle f(P)=P.}$

То есть, это фиксированная точка ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f.}$

Доказательство Хирша

Существует также быстрое доказательство Морриса Хирша , основанное на невозможности дифференцируемой ретракции. Косвенное доказательство начинается с замечания, что отображение f может быть аппроксимировано гладким отображением, сохраняющим свойство не фиксировать точку; это можно сделать, используя теорему аппроксимации Вейерштрасса или сверткой с гладкими функциями выпуклости . Затем определяется ретракция, как указано выше, которая теперь должна быть дифференцируемой. Такая ретракция должна иметь несингулярное значение, согласно теореме Сарда , которая также несингулярна для ограничения на границу (которая является просто тождеством). Таким образом, обратный образ будет 1-многообразием с границей. Граница должна содержать по крайней мере две конечные точки, обе из которых должны лежать на границе исходного шара, что невозможно в ретракции. ^[55]

Р. Брюс Келлог, Тьен-Йен Ли и Джеймс А. Йорк превратили доказательство Хирша в вычислимое доказательство, заметив, что ретракт на самом деле определен везде, кроме неподвижных точек. ^[56] Для почти любой точки q на границе (предполагая, что это не неподвижная точка) одно многообразие с границей, упомянутое выше, существует, и единственная возможность состоит в том, что оно ведет от q к неподвижной точке. Проследить такой путь от q до неподвижной точки — простая численная задача , поэтому метод по существу вычислим. ^[57] дал концептуально похожую версию следования по пути доказательства гомотопии, которая распространяется на широкий спектр связанных проблем.

Доказательство с использованием ориентированной области

Вариант предыдущего доказательства не использует теорему Сарда и выглядит следующим образом. Если — гладкая ретракция, то рассматривается гладкая деформация и гладкая функция ${\displaystyle r\colon B\to \partial B}$ ${\displaystyle g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,}$

${\displaystyle \varphi (t):=\int _{B}\det Dg^{t}(x)\,dx.}$

Дифференцируя под знаком интеграла, нетрудно проверить, что φ ′ ( t ) = 0 для всех t , поэтому φ является постоянной функцией, что является противоречием, поскольку φ (0) является n -мерным объемом шара, в то время как φ (1) равно нулю. Геометрическая идея состоит в том, что φ ( t ) является ориентированной площадью g ^t ( B ) (то есть мерой Лебега образа шара через g ^t , принимая во внимание кратность и ориентацию), и должна оставаться постоянной (как это очень ясно в одномерном случае). С другой стороны, когда параметр t переходит от 0 к 1, отображение g ^t непрерывно преобразуется из тождественного отображения шара в ретракцию r , что является противоречием, поскольку ориентированная площадь тождественного отображения совпадает с объемом шара, в то время как ориентированная площадь r обязательно равна 0, так как его образ является границей шара, множеством нулевой меры. ^[58]

Доказательство с использованием игры Hex

Совсем другое доказательство, данное Дэвидом Гейлом , основано на игре Hex . Основная теорема относительно Hex, впервые доказанная Джоном Нэшем, заключается в том, что ни одна игра Hex не может закончиться вничью; у первого игрока всегда есть выигрышная стратегия (хотя эта теорема неконструктивна, и явные стратегии не были полностью разработаны для размеров доски 10 x 10 или больше). Это оказывается эквивалентным теореме Брауэра о неподвижной точке для размерности 2. Рассматривая n -мерные версии Hex, можно доказать в общем случае, что теорема Брауэра эквивалентна теореме о детерминированности для Hex. ^[59]

Доказательство с использованием теоремы Лефшеца о неподвижной точке

Теорема Лефшеца о неподвижной точке гласит, что если непрерывное отображение f из конечного симплициального комплекса B в себя имеет только изолированные неподвижные точки, то число неподвижных точек, подсчитанное с кратностями (которые могут быть отрицательными), равно числу Лефшеца

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n}(-1)^{n}\operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))}$

и в частности, если число Лефшеца не равно нулю, то f должно иметь неподвижную точку. Если B является шаром (или, в более общем случае, стягиваемым), то число Лефшеца равно единице, поскольку единственная ненулевая симплициальная группа гомологии — это: и f действует как тождество на этой группе, поэтому f имеет неподвижную точку. ^{[60] [61]} ${\displaystyle H_{0}(B)}$

Доказательство в слабой логической системе

В обратной математике теорему Брауэра можно доказать в системе WKL ₀ и наоборот в базовой системе RCA _{0 .} Теорема Брауэра для квадрата влечет слабую лемму Кёнига , так что это дает точное описание силы теоремы Брауэра.

Обобщения

Теорема Брауэра о неподвижной точке является отправной точкой ряда более общих теорем о неподвижной точке .

Прямое обобщение на бесконечные измерения, т. е. использование единичного шара произвольного гильбертова пространства вместо евклидова пространства, неверно. Основная проблема здесь в том, что единичные шары бесконечномерных гильбертовых пространств не являются компактными . Например, в гильбертовом пространстве ℓ 2 квадратично суммируемых действительных (или комплексных) последовательностей рассмотрим отображение f  : ℓ ² → ℓ ² , которое отправляет последовательность ( x _n ) из замкнутого единичного шара ℓ ² в последовательность ( y _n ), определяемую как

${\displaystyle y_{0}={\sqrt {1-\|x\|_{2}^{2}}}\quad {\text{ and}}\quad y_{n}=x_{n-1}{\text{ for }}n\geq 1.}$

Нетрудно проверить, что это отображение непрерывно, имеет свое изображение в единичной сфере ℓ ² , но не имеет неподвижной точки.

Обобщения теоремы Брауэра о неподвижной точке на бесконечномерные пространства, таким образом, включают предположение о компактности того или иного рода, а также часто предположение о выпуклости . См. теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах для обсуждения этих теорем.

Существует также конечномерное обобщение на более широкий класс пространств: если является произведением конечного числа цепных континуумов, то каждая непрерывная функция имеет неподвижную точку, ^[62] где цепной континуум является (обычно, но в этом случае не обязательно метрическим ) компактным хаусдорфовым пространством , каждое открытое покрытие которого имеет конечное открытое измельчение , такое, что тогда и только тогда, когда . Примерами цепных континуумов являются компактные связные линейно упорядоченные пространства и, в частности, замкнутые интервалы действительных чисел. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \{U_{1},\ldots ,U_{m}\}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle |i-j|\leq 1}$

Теорема Какутани о неподвижной точке обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке в другом направлении: она остается в R ⁿ , но рассматривает верхние полунепрерывные функции со значениями множества (функции, которые сопоставляют каждой точке множества подмножество множества). Она также требует компактности и выпуклости множества.

Теорема Лефшеца о неподвижной точке применима к (почти) произвольным компактным топологическим пространствам и дает условие в терминах сингулярной гомологии , которое гарантирует существование неподвижных точек; это условие тривиально выполняется для любого отображения в случае D ⁿ .

Эквивалентные результаты

Существует несколько теорем о неподвижной точке, которые существуют в трех эквивалентных вариантах: алгебраический топологический вариант, комбинаторный вариант и вариант покрытия множеств. Каждый вариант может быть доказан отдельно с использованием совершенно разных аргументов, но каждый вариант также может быть сведен к другим вариантам в его строке. Кроме того, каждый результат в верхней строке может быть выведен из результата под ним в том же столбце. ^[63]

Смотрите также

• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Вычисления с фиксированной точкой
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Равновесие Нэша
• Теорема Пуанкаре–Миранды – эквивалент теоремы Брауэра о неподвижной точке
• Топологическая комбинаторика

Примечания

1. Например, F & V Bayart Théorèmes du point fixe на [email protected]. Архивировано 26 декабря 2008 г., в Wayback Machine.
2. См. страницу 15 из: Д. Леборнь Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN  2-13-037495-6
3. Точнее, согласно Энциклопедии Universalis: Il en a démontré l'un des plus beaux theorèmes, le theorème du point fixe, dont les application et généralisations, de la theorie des jeux aux équations différentielles, se sont révélées Fondamentales. Луизен Брауэр, автор Дж. Саббах
4. Жак Адамар : Примечание к некоторым приложениям индекса Кронекера в Жюле Таннери : Введение в теорию функций переменной (Том 2), 2-е издание, A. Hermann & Fils, Париж, 1910, стр. 437– 477 (французский)
5. Brouwer, LEJ (1911). «Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten». Mathematische Annalen (на немецком языке). 71 : 97–115. дои : 10.1007/BF01456931. S2CID  177796823.
6. D. Violette Applications du lemme de Sperner pour les треугольников, Бюллетень AMQ, V. XLVI № 4, (2006), стр. 17. Архивировано 8 июня 2011 г., в Wayback Machine.
7. Страница 15 из: Д. Леборнь Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6 . 
8. Эта версия напрямую следует из предыдущей, поскольку каждое выпуклое компактное подмножество евклидова пространства гомеоморфно замкнутому шару той же размерности, что и подмножество; см. Florenzano, Monique (2003). General Equilibrium Analysis: Existence and Optimality Properties of Equilibria. Springer. стр. 7. ISBN 9781402075124. Получено 2016-03-08 .
9. В. и Ф. Баярт Point fixe и théorèmes du point fixe на Bibmath.net. Архивировано 26 декабря 2008 г. в Wayback Machine.
10. К. Минаццо К. Райдер Теоремы точек фиксации и приложения к дифференциальным уравнениям. Архивировано 4 апреля 2018 г. в Университете Wayback Machine в Ницце-Софии Антиполис.
11. Белк, Джим. «Почему выпуклость является требованием для неподвижных точек Брауэра?». Math StackExchange . Получено 22 мая 2015 г.
12. Интерес этого анекдота заключается в его интуитивном и дидактическом характере, но его точность сомнительна. Как показывает раздел истории, происхождение теоремы не является работой Брауэра. Более чем за 20 лет до этого Анри Пуанкаре доказал эквивалентный результат, а за 5 лет до Брауэра П. Боль доказал трехмерный случай.
13. Эта цитата взята из телевизионной передачи: Archimède , Arte , 21 сентября 1999 г.
14. Бол, П. (1904). «Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage». Дж. Рейн Анжью. Математика . 127 (3/4): 179–276.
15. Карамардян, Стефан (1977). Неподвижные точки: алгоритмы и приложения . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0-12-398050-2.
16. Истрацеску, Василе (1981). Теория фиксированной точки . Дордрехт-Бостон, Массачусетс: ISBN D. Reidel Publishing Co. 978-90-277-1224-0.
17. См. Ф. Брехенмахера «L'identité algébrique d'une pratique portée» в обсуждении вопроса о «помощи по лакелю» по определению неравенства вековых планет CNRS Fédération de Recherche Mathématique du Nord-Pas-de-Calais
18. Анри Пуанкаре выиграл математический конкурс короля Швеции в 1889 году за свою работу над связанной с этим задачей трех тел : Жак Титс Национальные торжества 2004 Сайт Министерства культуры и коммуникаций
19. Анри Пуанкаре Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste T Готье-Виллар, Том 3, стр. 389 (1892), новое издание Париж: Бланшар, 1987.
20. Цитата Анри Пуанкаре взята из: PA Miquel La catégorie de désordre. Архивировано 3 марта 2016 г. в Wayback Machine , на веб-сайте l'Association roumaine des chercheurs francophones en Sciences Humanes.
21. Этот вопрос изучался в: Пуанкаре, Х. (1886). «Sur les courbes définies par les équations différentielles». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 2 (4): 167–244.
22. Это следует из теоремы Пуанкаре–Бендиксона .
23. Умножение на ⁠1/2⁠ на ]0, 1[ ² не имеет неподвижной точки.
24. «Касательно неизменных свойств фигуры, связанных с деформацией маньера, продолжаются quelconque, sans déchirure (например, в случае деформации сферы, коррелирующие свойства объектов, следов на поверхности». Из C. Узель М. Пати Пуанкаре, Анри (1854–1912). Архивировано 8 октября 2010 г. в энциклопедии Wayback Machine Universalis Альбин Мишель, Париж, 1999, стр. 696–706.
25. Теорема Пуанкаре сформулирована в: VI Istratescu Fixed Point Theory an Introduction Kluwer Academic Publishers (издание 2001 г.) стр. 113 ISBN 1-4020-0301-3 
26. Войцеховский, М.И. (2001) [1994], "Теорема Брауэра", Энциклопедия математики , EMS Press , ISBN 1-4020-0609-8
27. Дьедонне, Жан (1989). История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900–1960. Бостон: Birkhäuser. С. 17–24. ISBN 978-0-8176-3388-2.
28. См., например: Эмиль Пикард Sur l'application des méthodes d'approximations Successive à l'étude de Определенные уравнения différentielles ordinaires. Архивировано 16 июля 2011 г. в Wayback Machine Journal de Mathématiques, стр. 217 (1893).
29. Джей Джей О'Коннор EF Робертсон Пирс Бол
30. Мыскис, А.Д.; Рабинович, И.М. (1955). «Первое доказательство теоремы о неподвижной точке для непрерывного отображения сферы в себя, данное латышским математиком П.Г.Болем» ]. Успехи математических наук . 10 (3): 188–192.
31. Джей Джей О'Коннор Э. Ф. Робертсон Луитцен Эгбертус Ян Брауэр
32. Фройденталь, Ганс (1975). «Колыбель современной топологии, согласно Inedita Брауэра». Historia Mathematica . 2 (4): 495–502 [стр. 495]. doi : 10.1016/0315-0860(75)90111-1 .
33. Фрейденталь, Ганс (1975). «Колыбель современной топологии, согласно inedita Брауэра». История Математики . 2 (4): 495–502 [с. 495]. дои : 10.1016/0315-0860(75)90111-1 . ... cette dernière propriété, bien que sous des histhèses plus Grossières, ait été démontré par H. Poincaré
34. Фройденталь, Ганс (1975). «Колыбель современной топологии, согласно Inedita Брауэра». Historia Mathematica . 2 (4): 495–502 [стр. 501]. doi : 10.1016/0315-0860(75)90111-1 .
35. Если открытое подмножество многообразия гомеоморфно открытому подмножеству евклидова пространства размерности n , и если p — положительное целое число, отличное от n , то открытое множество никогда не будет гомеоморфно открытому подмножеству евклидова пространства размерности p .
36. Джей Джей О'Коннор Э. Ф. Робертсон Луитцен Эгбертус Ян Брауэр .
37. Термин «алгебраическая топология» впервые появился в 1931 году под пером Дэвида ван Данцига: J. Miller Topological algebra на сайте Earlyest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (2007)
38. VI Istratescu Теория неподвижной точки. Введение Kluwer Academic Publishers (новое издание 2001 г.) ISBN 1-4020-0301-3 . 
39. "... Теорема Брауэра о неподвижной точке, возможно, самая важная теорема о неподвижной точке". стр. xiii VI Истратеску Теория неподвижной точки и введение Kluwer Academic Publishers (новое издание 2001 г.) ISBN 1-4020-0301-3 . 
40. Например: С. Гринвуд, теорема Дж. Као Брауэра о неподвижной точке и теорема о кривой Жордана, Оклендский университет, Новая Зеландия.
41. Шаудер, Дж. (1930). «Der Fixpunktsatz в функциональном центре». Студия Математика . 2 : 171–180. дои : 10.4064/см-2-1-171-180 .
42. Какутани, С. (1941). «Обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке». Duke Mathematical Journal . 8 (3): 457–459. doi :10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
43. Эти примеры взяты из: F. Boyer Théorèmes de point fixe et application CMI Université Paul Cézanne (2008–2009). Архивированная копия на WebCite (1 августа 2010 г.).
44. Контекст и ссылки см. в статье Hex (настольная игра) .
45. П. Бич Прекращение расширения расширения теории точки исправления Шаудера и других приложений в экономике. Архивировано 11 июня 2011 г. в Институте Wayback Machine Institut Анри Пуанкаре, Париж (2007).
46. Подробное объяснение см.: Dubucs, JP (1988). «LJE Brouwer: Топология и конструктивизм». Revue d'Histoire des Sciences . 41 (2): 133–155. дои : 10.3406/rhs.1988.4094.
47. Позже было показано, что формализм, с которым боролся Брауэр, может также служить для формализации интуиционизма, с некоторыми модификациями. Для получения более подробной информации см. конструктивную теорию множеств .
48. Милнор 1965, стр. 1–19.
49. Teschl, Gerald (2019). "10. Степень отображения Брауэра". Topics in Linear and Nonlinear Functional Analysis (PDF) . Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 1 февраля 2022 .
50. Милнор 1978
51. Мэдсен и Торнехаве, 1997, стр. 39–48.
52. Бутби 1971
53. Бутби 1986
54. Дьедонне 1982
55. Хирш 1988
56. Келлог, Ли и Йорк 1976.
57. Чоу, Маллет-Парет и Йорк 1978.
58. Кульпа 1989
59. Дэвид Гейл (1979). «Игра в гексагон и теорема Брауэра о неподвижной точке». The American Mathematical Monthly . 86 (10): 818–827. doi :10.2307/2320146. JSTOR  2320146.
60. Хилтон и Уайли 1960
61. Спаниер 1966
62. Элдон Дайер (1956). «Теорема о неподвижной точке». Труды Американского математического общества . 7 (4): 662–672. doi : 10.1090/S0002-9939-1956-0078693-4 .
63. Найман, Кэтрин Л.; Су, Фрэнсис Эдвард (2013), «Эквивалент Борсука–Улама, который напрямую подразумевает лемму Шпернера», The American Mathematical Monthly , 120 (4): 346–354, doi :10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, MR  3035127

Ссылки

• Бутби, Уильям М. (1971). «О двух классических теоремах алгебраической топологии». Amer. Math. Monthly . 78 (3): 237–249. doi :10.2307/2317520. JSTOR  2317520. MR  0283792.
• Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Чистая и прикладная математика. Т. 120 (Второе изд.). Academic Press. ISBN 0-12-116052-1. МР  0861409.
• Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 139. Springer-Verlag . ISBN 0-387-97926-3. МР  1224675.
• Chow, Shui Nee; Mallet-Paret, John; Yorke, James A. (1978). «Нахождение нулей отображений: методы гомотопии, конструктивные с вероятностью единица». Mathematics of Computation . 32 (143): 887–899. doi : 10.1090/S0025-5718-1978-0492046-9 . MR  0492046.
• Дьедонне, Жан (1982). «8. Теоремы Брауэра». Элементы анализа . Cahiers Scientifiques (на французском языке). Том. IX. Париж: Готье-Виллар. стр. 44–47. ISBN 2-04-011499-8. МР  0658305.
• Дьедонне, Жан (1989). История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900–1960 . Биркхойзер . С. 166–203. ISBN 0-8176-3388-X. МР  0995842.
• Гейл, Д. (1979). «Игра в гексагон и теорема Брауэра о неподвижной точке». The American Mathematical Monthly . 86 (10): 818–827. doi :10.2307/2320146. JSTOR  2320146.
• Хирш, Моррис В. (1988). Дифференциальная топология . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90148-0.(см. стр. 72–73 для доказательства Хирша, использующего несуществование дифференцируемой ретракции)
• Хилтон, Питер Дж.; Уайли, Шон (1960). Теория гомологии: Введение в алгебраическую топологию . Нью-Йорк: Cambridge University Press . ISBN 0521094224. МР  0115161.
• Истрэцеску, Василе И. (1981). Теория неподвижной точки . Математика и ее приложения. Том 7. Дордрехт–Бостон, Массачусетс: Д. Рейдель. ISBN 978-90-277-1224-0. МР  0620639.
• Карамардян, С., ред. (1977). Неподвижные точки: алгоритмы и приложения . Academic Press. ISBN 978-0-12-398050-2.
• Келлог, Р. Брюс; Ли, Тянь-Йен; Йорк, Джеймс А. (1976). «Конструктивное доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке и результаты вычислений». Журнал SIAM по численному анализу . 13 (4): 473–483. Bibcode : 1976SJNA...13..473K. doi : 10.1137/0713041. MR  0416010.
• Кульпа, Владислав (1989). «Интегральная теорема и ее приложения к теоремам совпадения». Acta Universitatis Carolinae. Математика и физика . 30 (2): 83–90.
• Леони, Джованни (2017). Первый курс по пространствам Соболева: Второе издание . Аспирантура по математике . 181. Американское математическое общество. стр. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8 
• Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen (1997). От исчисления к когомологиям: когомологии де Рама и характеристические классы . Cambridge University Press . ISBN 0-521-58059-5. МР  1454127.
• Милнор, Джон В. (1965). Топология с точки зрения дифференцируемости. Шарлоттсвилл: University Press of Virginia . MR  0226651.
• Милнор, Джон В. (1978). «Аналитические доказательства теоремы о «волосатом шаре» и теоремы Брауэра о неподвижной точке» (PDF) . Amer. Math. Monthly . 85 (7): 521–524. JSTOR  2320860. MR  0505523. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
• Соболев, Владимир И. (2001) [1994], "Теорема Брауэра", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Спаниер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . Нью-Йорк-Торонто-Лондон: McGraw-Hill.

Внешние ссылки

• Теорема Брауэра о неподвижной точке для треугольников в разрубании узла
• Теорема Брауэра. Архивировано 19 марта 2007 г. на Wayback Machine из PlanetMath с приложенным доказательством.
• Реконструкция Брауэра в MathPages
• Теорема Брауэра о неподвижной точке в Math Images.