Брауэр родился в семье голландских протестантов . [8] В начале своей карьеры Брауэр доказал ряд теорем в развивающейся области топологии. Наиболее важными были его теорема о неподвижной точке , топологическая инвариантность степени и топологическая инвариантность размерности . Среди математиков в целом наиболее известна первая из них, которую сейчас обычно называют теоремой Брауэра о неподвижной точке. Это следствие второго, наиболее известного среди алгебраических топологов, о топологической инвариантности степени. Третья теорема, пожалуй, самая трудная.
Брауэр основал интуиционизм , философию математики, которая бросила вызов преобладавшему в то время формализму Дэвида Гильберта и его сотрудников, среди которых были Пауль Бернейс , Вильгельм Акерманн и Джон фон Нейман (ср. Клини (1952), стр. 46–59). Разновидность конструктивной математики , интуиционизм — философия оснований математики . [13] Иногда (упрощенно) его характеризуют, говоря, что его приверженцы не признают закон исключенного третьего в качестве общей аксиомы в математических рассуждениях, хотя в некоторых особых случаях он может быть доказан как теорема.
Брауэр был членом Significs Group . Оно составляло часть ранней истории семиотики — изучения символов — вокруг Виктории, в частности леди Уэлби. Первоначальный смысл его интуиционизма, вероятно, не может быть полностью вырван из интеллектуальной среды этой группы.
В 1905 году, в возрасте 24 лет, Брауэр изложил свою философию жизни в кратком трактате « Жизнь, искусство и мистицизм» , который математик Мартин Дэвис описал как «пропитанный романтическим пессимизмом» (Дэвис (2002), стр. 94). ). Артур Шопенгауэр оказал формирующее влияние на Брауэра, не в последнюю очередь потому, что он настаивал на том, что все концепции в основе своей основаны на чувственной интуиции. [14] [15] [16] Брауэр затем «приступил к самодовольной кампании по реконструкции математической практики с нуля, чтобы удовлетворить свои философские убеждения»; действительно, его научный руководитель отказался принять его главу II «в ее нынешнем виде... вся она переплетена с каким-то пессимизмом и мистическим отношением к жизни, которая не является математикой и не имеет ничего общего с основами математики» (Дэвис, с. 94, цитирование ван Стигта, стр. 41). Тем не менее в 1908 году:
«...Брауэр в статье, озаглавленной «Ненадежность принципов логики», бросил вызов убеждению, что правила классической логики, дошедшие до нас по существу от Аристотеля (384-322 до н. э.), имеют абсолютную действительность, независимая от предмета, к которому они применяются» (Клин (1952), стр. 46).
«После завершения диссертации Брауэр принял сознательное решение временно держать в секрете свои спорные идеи и сконцентрироваться на демонстрации своего математического мастерства» (Дэвис (2000), стр. 95); к 1910 году он опубликовал ряд важных статей, в частности, «Теорему о неподвижной точке». Гильберт — формалист, с которым интуиционист Брауэр в конечном итоге провел годы в конфликте — восхищался молодым человеком и помог ему получить регулярное академическое назначение (1912 г.) в Амстердамском университете (Дэвис, стр. 96). Именно тогда «Брауэр почувствовал себя свободным вернуться к своему революционному проекту, который он теперь называл интуиционизмом » (там же).
В молодости он был воинственным. По словам Марка ван Аттена, эта воинственность отражала его сочетание независимости, блеска, высоких моральных стандартов и чрезвычайной чувствительности к вопросам правосудия. [4] В конце 1920-х годов он был вовлечен в очень публичный и, в конечном итоге, унизительный спор с Гильбертом по поводу редакционной политики Mathematische Annalen , ведущего научного журнала того времени . По словам Абрахама Френкеля , Брауэр поддерживал германскую арийность , и Гильберт исключил его из редакционной коллегии Mathematische Annalen после того, как Брауэр возражал против статей Остьюдена . [17] Брауэра обвинили в пособничестве нацистам, однако доказательств этому не имеется. Он нанял в 30-е годы своего помощника-еврея Ганса Фройденталя , отказался от просьбы нацистов убрать еврейских математиков из правления своего журнала Compositio Mathematica и во время войны прятал евреев у себя дома. Точно так же он взял Дэниела Кана , который пережил Берген-Бельзен , в качестве своего помощника в 1948 году. [18] Однако Брауэр призвал своих учеников подписать клятву верности нацистам в 1943 году. [19]
В последующие годы он стал относительно изолированным; Развитием интуиционизма у его истоков занялся его ученик Аренд Хейтинг . Голландский математик и историк математики Бартель Леендерт ван дер Варден посещал лекции, прочитанные Брауэром в последующие годы, и комментировал: «Хотя его наиболее важные исследовательские вклады были связаны с топологией, Брауэр никогда не читал курсов по топологии, а всегда — и только — казалось, что он уже не был убежден в своих результатах по топологии, поскольку они были неправильны с точки зрения интуиционизма, и он считал ложным все, что он делал раньше, свои величайшие достижения, ложными по своей философии. ." [20]
О своих последних годах Дэвис (2002) отмечает:
«...он чувствовал себя все более и более изолированным и провел свои последние годы под чарами «совершенно необоснованных финансовых забот и параноидального страха банкротства, преследований и болезней». Он был убит в 1966 году в возрасте 85 лет, сбит автомобилем, когда переходил улицу перед своим домом». (Дэвис, стр. 100, цитирует ван Стигта, стр. 110.)
Библиография
В английском переводе
Жан ван Хейеноорт , 1967 г., 3-е издание 1976 г. с исправлениями, Справочник по математической логике, 1879–1931 гг . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-674-32449-8 pbk. Оригинальные статьи предваряются ценными комментариями.
1923. Л. Дж. Брауэр: «О значении принципа исключенного третьего в математике, особенно в теории функций». С двумя дополнениями и исправлениями, 334–45. Брауэр дает краткое изложение своего убеждения в том, что закон исключенного третьего не может быть «применен безоговорочно даже в математике бесконечных систем», и приводит два примера неудач, иллюстрирующих свое утверждение.
1925. А. Н. Колмогоров : «О принципе исключенного третьего», стр. 414–437. Колмогоров поддерживает большинство результатов Брауэра, но некоторые оспаривает; он обсуждает последствия интуиционизма в отношении «трансфинитных суждений», например, трансфинитной индукции.
1927. Л. И. Брауэр: «Об областях определения функций». Интуиционистская трактовка континуума Брауэром с расширенным комментарием.
1927. Л. Дж. Брауэр: «Интуиционистские размышления о формализме», 490–92. Брауэр перечисляет четыре темы, по которым интуиционизм и формализм могли бы «вступить в диалог». Три темы связаны с законом исключенного третьего.
1927. Герман Вейль : «Комментарии ко второй лекции Гильберта об основах математики», 480–484. В 1920 году Вейль, лучший ученик Гильберта, встал на сторону Брауэра против Гильберта. Но в этом обращении Вейль, «защищая Брауэра от некоторых критических замечаний со стороны Гильберта... пытается выявить значение подхода Гильберта к проблемам оснований математики».
Эвальд, Уильям Б., изд., 1996. От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики , 2 тома. Оксфордский университет. Нажимать.
1928. «Математика, естествознание и язык», 1170–1185.
1928. «Структура континуума», 1186–1196.
1952. «Историческая справка, принципы и методы интуиционизма», 1197–1207.
Брауэр, Л.Э., Собрание сочинений, Vol. I , Амстердам: Северная Голландия, 1975. [21]
Брауэр, Л.Э., Собрание сочинений, Vol. II , Амстердам: Северная Голландия, 1976.
Брауэр, Л. Д., «Жизнь, искусство и мистика», Журнал формальной логики Нотр-Дам , том. 37 (1996), стр. 389–429. Перевод В. П. ван Стигта с предисловием переводчика, стр. 381–87. Дэвис цитирует эту работу, «короткую книгу... пропитанную романтическим пессимизмом» (стр. 94).
WP ван Стигт, 1990, Интуиционизм Брауэра , Амстердам: Северная Голландия, 1990.
^ Брауэр, LEJ (1912). О понятии «Класс» преобразований множественности. Учеб. 5-й стажер. Математика. Конгресс Кембридж, 2, 9–10.
^ "История участников APS" . search.amphilsoc.org . Проверено 12 апреля 2023 г.
^ Л. Дж. Брауэр (пер. Арнольда Дрездена) (1913). «Интуиционизм и формализм». Бык. амер. Математика. Соц . 20 (2): 81–96. дои : 10.1090/s0002-9904-1913-02440-6 . МР 1559427.
^ «...Брауэр и Шопенгауэр во многих отношениях похожи друг на друга». Теун Кётсер, «Математика и божественное» , глава 30, «Артур Шопенгауэр и Л. Дж. Брауэр: сравнение», с. 584.
↑ Брауэр писал, что «оригинальную интерпретацию континуума Канта и Шопенгауэра как чистой априорной интуиции, по сути, можно поддержать». (Цитируется по книге Владимира Тасича « Математика и корни постмодернистской мысли» , § 4.1, стр. 36)
^ «Долг Брауэра перед Шопенгауэром полностью очевиден. В обоих случаях воля предшествует интеллекту». из Висконсина-Ла-Кросс, Ла-Кросс, 1998.] (Марк ван Аттен и Роберт Трагессер, «Мистицизм и математика: Брауэр, Гёдель и общий основной тезис», опубликовано в книге В. Депперта и М. Ранфельда (ред.) , Klarheit in Religionsdingen, Лейпциг: Leipziger Universitätsverlag 2003, стр. 145–160)
^ "Верования Достоевского". ТЛС . Проверено 21 ноября 2023 г.
^ «Интервью с Б.Л. ван дер Варденом, перепечатано в AMS, март 1997 г.» (PDF) . Американское математическое общество . Проверено 13 ноября 2015 г.
^ Крейзель, Г. (1977). «Обзор: собрание сочинений Л. Дж. Брауэра, Том I, Философия и основы математики под ред. А. Хейтинга» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 83 : 86–93. дои : 10.1090/S0002-9904-1977-14185-2 .
дальнейшее чтение
Дирк ван Дален , мистик, геометр и интуиционист: жизнь Л. Дж. Брауэра. Оксфордский университет. Нажимать.
1999. Том 1: Рассветная революция .
2005. Том 2: Надежда и разочарование .
2013. ЛЭЙ Брауэр: тополог, интуиционист, философ. Как математика укоренена в жизни. Лондон: Springer (на основе предыдущей работы).
Мартин Дэвис , 2000. Логические машины , WW Norton, Лондон, ISBN 0-393-32229-7 pbk. См. Глава пятая: «Гильберт спешит на помощь», в которой Дэвис обсуждает Брауэра и его отношения с Гильбертом и Вейлем с краткой биографической информацией о Брауэре. Ссылки Дэвиса включают:
Стивен Клини, 1952 г., с исправлениями 1971 г., 10-е переиздание 1991 г., «Введение в метаматематику » , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нидерланды, ISBN 0-7204-2103-9 . См. в частности , Глава III: Критика математического рассуждения , §13 «Интуиционизм» и §14 «Формализм».
Кутсьер, Теун, редактор журнала « Математика и божественное: историческое исследование» , Амстердам: Elsevier Science and Technology, 2004, ISBN 0-444-50328-5 .
Памбучиан, Виктор, 2022, Интуиционизм Брауэра: математика в бытовом режиме существования , Опубликовано в: Шрираман, Б. (ред.) Справочник по истории и философии математической практики . Спрингер, Чам. дои : 10.1007/978-3-030-19071-2_103-1
Внешние ссылки
В Wikiquote есть цитаты, связанные с Л. Дж. Брауэром .
СМИ, связанные с Л. Дж. Брауэром (математиком), на Викискладе?