В геометрии теорема Брианшона — теорема, утверждающая, что при описании шестиугольника вокруг конического сечения его главные диагонали (соединяющие противоположные вершины) пересекаются в одной точке. Она названа в честь Шарля Жюльена Брианшона (1783–1864).
Пусть будет шестиугольник, образованный шестью касательными линиями конического сечения . Тогда линии (продолженные диагонали, каждая из которых соединяет противоположные вершины) пересекаются в одной точке , точке Брианшона . [1] : стр. 218 [2]
Полярная обратная и проективная двойственная теорема дают теорему Паскаля .
Что касается теоремы Паскаля, то существуют вырождения и для теоремы Брианшона: Пусть совпадают две соседние касательные. Их точка пересечения становится точкой коники. На диаграмме совпадают три пары соседних касательных. Эта процедура приводит к утверждению о вписанных эллипсах треугольников. С проективной точки зрения два треугольника и лежат в перспективе с центром . Это означает, что существует центральная коллинеация, которая отображает один треугольник на другой. Но только в особых случаях эта коллинеация является аффинным масштабированием. Например, для вписанного эллипса Штейнера, где точка Брианшона является центроидом.
Теорема Брианшона верна как в аффинной плоскости , так и в действительной проективной плоскости . Однако ее утверждение в аффинной плоскости в некотором смысле менее информативно и более сложно, чем в проективной плоскости . Рассмотрим, например, пять касательных прямых к параболе . Их можно считать сторонами шестиугольника, шестая сторона которого является прямой на бесконечности , но в аффинной плоскости нет прямой на бесконечности. В двух случаях прямая от (несуществующей) вершины до противоположной вершины будет прямой, параллельной одной из пяти касательных прямых. Поэтому теорема Брианшона, сформулированная только для аффинной плоскости, должна была бы быть сформулирована по-другому в такой ситуации.
Проективная двойственность теоремы Брианшона имеет исключения в аффинной плоскости, но не в проективной плоскости.
Теорему Брианшона можно доказать с помощью идеи радикальной оси или возвратно-поступательного движения. Чтобы доказать это, возьмем произвольную длину (MN) и перенесем ее на касательные, начинающиеся из точек контакта: PL = RJ = QH = MN и т. д. Нарисуем окружности a, b, c, касающиеся противоположных сторон шестиугольника в созданных точках (H,W), (J,V) и (L,Y) соответственно. Легко видеть, что сходящиеся прямые совпадают с радикальными осями ab, bc, ca соответственно трех окружностей, взятых попарно. Таким образом, O совпадает с радикальным центром этих трех окружностей.
Теорема принимает особые формы в случае описанных пятиугольников, например, когда R и Q стремятся совпасть с F, случай, когда AFE преобразуется в касательную в точке F. Затем, проводя дальнейшее аналогичное отождествление точек T, C и U, мы получаем соответствующую теорему для четырехугольников.
