Броуновский мост

Процесс в физике

Броуновское движение, закрепленное на обоих концах. Это представляет собой броуновский мост.

Броуновский мост — это непрерывный во времени гауссовский процесс B ( t ), распределение вероятностей которого является условным распределением вероятностей стандартного винеровского процесса W ( t ) (математической модели броуновского движения ) при соблюдении условия (при стандартизации), что W ( T ) = 0, так что процесс фиксируется на одном и том же значении как при t  = 0, так и при t  =  T . Точнее:

${\displaystyle B_{t}:=(W_{t}\mid W_{T}=0),\;t\in [0,T]}$

Ожидаемое значение моста в любой момент времени t в интервале [0, T ] равно нулю, с дисперсией , что означает, что наибольшая неопределенность находится в середине моста, с нулевой неопределенностью в узлах. Ковариация B ( s ) и B ( t ) равна , или s (T −  t )/T , если s  <  t . Приращения в броуновском мосту не являются независимыми. ${\displaystyle \textstyle {\frac {t(T-t)}{T}}}$ ${\displaystyle \min(s,t)-{\frac {s\,t}{T}}}$

Связь с другими стохастическими процессами

Если — стандартный винеровский процесс (т.е. для , нормально распределен с ожидаемым значением и дисперсией , а приращения стационарны и независимы ), то ${\textstyle W(t)}$ ${\textstyle t\geq 0}$ ${\textstyle W(t)}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle t}$

${\displaystyle B(t)=W(t)-{\frac {t}{T}}W(T)\,}$

является броуновским мостом для . Он не зависит от ^[1] ${\textstyle t\in [0,T]}$ ${\textstyle W(T)}$

Наоборот, если — броуновский мост и — стандартная нормальная случайная величина, независимая от , то процесс ${\textstyle B(t)}$ ${\textstyle Z}$ ${\textstyle B}$

${\displaystyle W(t)=B(t)+tZ\,}$

является процессом Винера для . В более общем смысле процесс Винера для можно разложить на ${\textstyle t\in [0,1]}$ ${\textstyle W(t)}$ ${\textstyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle W(t)={\sqrt {T}}B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z.}$

Другое представление броуновского моста, основанное на броуновском движении, таково: ${\textstyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle B(t)={\frac {T-t}{\sqrt {T}}}W\left({\frac {t}{T-t}}\right).}$

И наоборот, для ${\textstyle t\in [0,\infty ]}$

${\displaystyle W(t)={\frac {T+t}{T}}B\left({\frac {Tt}{T+t}}\right).}$

Броуновский мост можно также представить в виде ряда Фурье со стохастическими коэффициентами, как

${\displaystyle B_{t}=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2T}}\sin(k\pi t/T)}{k\pi }}}$

где — независимые одинаково распределенные стандартные нормальные случайные величины (см. теорему Карунена–Лоэва ). ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\ldots }$

Броуновский мост является результатом теоремы Донскера в области эмпирических процессов . Он также используется в тесте Колмогорова–Смирнова в области статистического вывода .

Пусть , тогда кумулятивная функция распределения имеет вид ^[2] ${\displaystyle K=\sup _{t\in [0,1]}|B(t)|}$ ${\textstyle K}$ $${\displaystyle \operatorname {Pr} (K\leq x)=1-2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}e^{-2k^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {2\pi }}{x}}\sum _{k=1}^{\infty }e^{-(2k-1)^{2}\pi ^{2}/(8x^{2})}.}$$

Интуитивные замечания

Стандартный процесс Винера удовлетворяет условию W (0) = 0 и, следовательно, «привязан» к началу координат, но другие точки не ограничены. С другой стороны, в процессе броуновского моста не только B (0) = 0, но мы также требуем, чтобы B ( T ) = 0, то есть процесс «привязан» также к t = T. Так же, как буквальный мост поддерживается опорами на обоих концах, броуновский мост должен удовлетворять условиям на обоих концах интервала [0, T ]. (В небольшом обобщении иногда требуется B ( t ₁ ) =  a и B ( t ₂ ) =  b, где t ₁ , t ₂ , a и b — известные константы.)

Предположим, что мы сгенерировали ряд точек W (0), W (1), W (2), W (3) и т. д. пути винеровского процесса с помощью компьютерного моделирования. Теперь требуется заполнить дополнительные точки в интервале [0, T ], то есть выполнить интерполяцию между уже сгенерированными точками W (0) и W ( T ). Решение состоит в использовании броуновского моста, который требуется для прохождения значений W (0) и W ( T ).

Общий случай

Для общего случая, когда W ( t ₁ ) = a и W ( t ₂ ) = b , распределение B в момент времени t  ∈ ( t ₁ ,  t ₂ ) является нормальным со средним

${\displaystyle a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a)}$

и дисперсия

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(t-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}},}$

и ковариация между B ( s ) и B ( t ), при s  <  t равна

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(s-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}.}$

Ссылки

1. Аспекты броуновского движения, Springer, 2008, Р. Мансуй, М. Йор стр. 2
2. Marsaglia G, Tsang WW, Wang J (2003). «Оценка распределения Колмогорова». Журнал статистического программного обеспечения . 8 (18): 1–4. doi : 10.18637/jss.v008.i18 .

• Glasserman, Paul (2004). Методы Монте-Карло в финансовом инжиниринге . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00451-3.
• Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57622-3.