Быстрый фильтр Калмана (FKF) , разработанный Антти Ланге (род. 1941), представляет собой расширение метода блокировки Гельмерта-Вольфа [1] (HWB) от геодезии до критически важных с точки зрения безопасности приложений фильтрации Калмана (KF) в реальном времени, таких как как GNSS- навигация с точностью до сантиметра и спутниковая съемка Земли, включая томографию атмосферы.
Фильтры Калмана — важный метод фильтрации для повышения отказоустойчивости широкого спектра систем, включая создание изображений в реальном времени. Обычный фильтр Калмана является оптимальным алгоритмом фильтрации линейных систем. Однако оптимальный фильтр Калмана не является стабильным (т.е. надежным), если условия наблюдаемости и управляемости Калмана не выполняются постоянно. [2] Эти условия очень сложно поддерживать в любой более крупной системе. Это означает, что даже оптимальные фильтры Калмана могут начать расходиться в сторону ложных решений. К счастью, стабильностью оптимального фильтра Калмана можно управлять, отслеживая его дисперсии ошибок, если только их можно надежно оценить (например, с помощью MINQUE ). Однако их точное вычисление требует гораздо больше усилий, чем сама оптимальная фильтрация Калмана. Метод вычислений FKF часто обеспечивает необходимое ускорение и в этом отношении.
Параметры калибровки являются типичным примером тех параметров состояния, которые могут создать серьезные проблемы с наблюдаемостью, если узкое окно данных (т.е. слишком мало измерений) постоянно используется фильтром Калмана. [3] Наблюдение за приборами на борту орбитальных спутников дает пример оптимальной фильтрации Калмана, когда их калибровка выполняется косвенно на земле. [4] Могут также существовать и другие параметры состояния, которые практически или вообще не наблюдаемы, если слишком маленькие выборки данных обрабатываются одновременно каким-либо фильтром Калмана.
Вычислительная нагрузка обратной задачи обычной [5] рекурсии Калмана примерно пропорциональна кубу числа одновременно обрабатываемых измерений. Это число всегда можно установить равным 1, обрабатывая каждое скалярное измерение независимо и (при необходимости) выполняя простой алгоритм предварительной фильтрации для декорреляции этих измерений. Однако для любой большой и сложной системы такая предварительная фильтрация может потребовать вычислений HWB. Любое дальнейшее использование слишком узкого окна входных данных ослабляет наблюдаемость параметров калибровки и, в долгосрочной перспективе, это может привести к серьезным проблемам с управляемостью, совершенно неприемлемыми в приложениях, критически важных для безопасности.
Даже когда одновременно обрабатывается множество измерений, нет ничего необычного в том, что линеаризованная система уравнений становится разреженной, поскольку некоторые измерения оказываются независимыми от некоторых параметров состояния или калибровки. В задачах спутниковой геодезии [6] вычислительная нагрузка метода HWB (и FKF) примерно пропорциональна квадрату общего числа только параметров состояния и калибровки, а не миллиардов измерений.
Надежная оперативная фильтрация Калмана требует непрерывного объединения данных в режиме реального времени. Его оптимальность существенно зависит от использования точных дисперсий и ковариаций между всеми измерениями и оцененным состоянием и параметрами калибровки. Эта ковариационная матрица с большой ошибкой получается путем обращения матрицы из соответствующей системы нормальных уравнений . [7] Его матрица коэффициентов обычно разрежена, и точное решение всех оцениваемых параметров может быть вычислено с использованием метода HWB (и FKF). [7] Оптимальное решение также может быть получено путем исключения Гаусса с использованием других методов разреженной матрицы или некоторых итерационных методов, основанных, например, на вариационном исчислении . Однако эти последние методы могут решить большую матрицу всех дисперсий и ковариаций ошибок только приблизительно, и объединение данных не будет выполняться строго оптимальным образом. Следовательно, долговременная стабильность фильтрации Калмана становится неопределенной, даже если условия наблюдаемости и управляемости Калмана постоянно удовлетворяются.
Фильтр быстрого Калмана применим только к системам с разреженными матрицами [8] , поскольку HWB является методом инверсии для решения разреженных линейных уравнений (Вольф, 1978).
Матрица разреженных коэффициентов, подлежащая инвертированию, часто может иметь либо блочную, либо полосочно-диагональную (BBD) структуру. Если он является полосочно-диагональным, его можно преобразовать в блочно-диагональную форму, например, с помощью обобщенного канонического корреляционного анализа (gCCA) .
Таким образом, такую большую матрицу можно наиболее эффективно инвертировать блочным способом, используя следующую аналитическую формулу обращения :
Фробениуса , где
Это метод FKF, который может позволить с помощью вычислений оценить гораздо большее количество параметров состояния и калибровки, чем это может сделать обычная рекурсия Калмана. Их рабочие точности также можно надежно оценить на основе теории квадратичной несмещенной оценки минимальной нормы ( MINQUE ) Ч.Р. Рао и использовать для контроля стабильности этой оптимальной быстрой фильтрации Калмана. [9]
Метод FKF расширяет очень высокую точность спутниковой геодезии до виртуальной базовой станции (VRS), кинематической съемки в реальном времени (RTK), мобильного позиционирования и сверхнадежной навигации. [10] Первыми важными приложениями станут оптимальная калибровка в режиме реального времени глобальных систем наблюдения в метеорологии, [11] геофизике, астрономии и т. д.
Например, система численного прогнозирования погоды (ЧПП) теперь может прогнозировать наблюдения с доверительными интервалами, и, таким образом, можно улучшить их эксплуатационный контроль качества. Внезапное увеличение неопределенности в прогнозировании наблюдений будет указывать на то, что важные наблюдения отсутствуют (проблема наблюдаемости) или происходит непредсказуемое изменение погоды (проблема управляемости). Дистанционное зондирование и получение изображений со спутников частично основано на прогнозируемой информации. Для контроля стабильности обратной связи между этими прогнозами и спутниковыми изображениями требуется быстрый и надежный метод объединения датчиков, который и реализует FKF.
Вычислительное преимущество FKF незначительно для приложений, использующих лишь небольшие объемы данных в режиме реального времени. Поэтому необходимо сначала разработать и внедрить в общественное пользование улучшенные встроенные инфраструктуры калибровки и передачи данных, прежде чем персональные гаджеты и межмашинные устройства смогут максимально эффективно использовать FKF.
