Классификация Бьянки

Классификация алгебры Ли

В математике классификация Бьянки дает список всех вещественных трехмерных алгебр Ли ( с точностью до изоморфизма ). Классификация содержит 11 классов, 9 из которых содержат одну алгебру Ли, а два из них содержат семейство алгебр Ли континуального размера. (Иногда две группы включаются в бесконечные семейства, что дает 9 классов вместо 11.) Классификация важна в геометрии и физике, поскольку ассоциированные группы Ли служат группами симметрии трехмерных римановых многообразий . Он назван в честь Луиджи Бьянки , который разработал его в 1898 году.

Термин «классификация Бьянки» также используется для аналогичных классификаций в других измерениях и для классификаций комплексных алгебр Ли .

Классификация по размерности менее 3

• Размерность 0: Единственная алгебра Ли — это абелева алгебра Ли R ⁰ .
• Размерность 1: Единственная алгебра Ли — это абелева алгебра Ли R ¹ с внешней группой автоморфизмов — мультипликативной группой ненулевых действительных чисел.
• Размерность 2: существует две алгебры Ли:
  • (1) Абелева алгебра Ли ^R2 с внешней группой _{автоморфизмов} GL2 ( R ) .
  • (2) Разрешимая алгебра Ли верхнетреугольных матриц размера 2 × 2 со следом 0. Она имеет тривиальный центр и тривиальную внешнюю группу автоморфизмов. Соответствующая односвязная группа Ли является аффинной группой прямой.

Классификация по размеру 3

Все трехмерные алгебры Ли, кроме типов VIII и IX, могут быть построены как полупрямое произведение R ² и R , при этом R действует на R ^{2 с помощью некоторой матрицы} M размером 2 на 2 . Разные типы соответствуют разным типам матриц M , как описано ниже.

• Тип I : Это абелева и унимодулярная алгебра ^Ли R3 . Односвязная группа имеет центр R ³ и внешнюю группу автоморфизмов GL ₃ ( R ). Это тот случай, когда М равно 0.
• Тип II : Алгебра Гейзенберга , нильпотентная и унимодулярная. Односвязная группа имеет центр R и внешнюю группу автоморфизмов GL ₂ ( R ). Это тот случай, когда M нильпотентен, но не равен 0 (все собственные значения равны 0).
• Тип III : Эта алгебра является продуктом R и двумерной неабелевой алгебры Ли. (Это предельный случай типа VI, когда одно собственное значение обращается в ноль.) Он разрешим и не унимодулярен. Односвязная группа имеет центр R и внешнюю группу автоморфизмов - группу ненулевых действительных чисел. Матрица M имеет одно нулевое и одно ненулевое собственное значение.
• Тип IV : Алгебра, порожденная [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = y + z . Она разрешима и не унимодулярна. Односвязная группа имеет тривиальный центр и внешнюю группу автоморфизмов, состоящую из произведения действительных чисел и группы порядка 2. Матрица M имеет два равных ненулевых собственных значения, но не является диагонализуемой .
• Тип V : [ y , z ] знак равно 0, [ x , y ] знак равно y , [ x , z ] = z . Разрешимая и не унимодулярная. (Предельный случай типа VI, когда оба собственных значения равны.) Односвязная группа имеет тривиальный центр и внешнюю группу автоморфизмов, состоящую из элементов GL ₂ ( R ) определителя +1 или −1. Матрица M имеет два равных собственных значения и диагонализуема.
• Тип VI : Бесконечное семейство: полупрямое произведение R ² на R , где матрица M имеет ненулевые различные действительные собственные значения с ненулевой суммой. Алгебры разрешимы и не унимодулярны. Односвязная группа имеет тривиальный центр и внешнюю группу автоморфизмов, являющуюся произведением ненулевых действительных чисел и группы порядка 2.
• Тип VI ₀ : Эта алгебра Ли является полупрямым произведением R ² на R с R , где матрица M имеет ненулевые различные действительные собственные значения с нулевой суммой. Она разрешима и унимодулярна. Это алгебра Ли двумерной группы Пуанкаре , группы изометрий двумерного пространства Минковского . Односвязная группа имеет тривиальный центр и внешнюю группу автоморфизмов, представляющую собой произведение положительных действительных чисел на группу диэдра восьмого порядка.
• Тип VII : Бесконечное семейство: полупрямое произведение ^R2 на R , где матрица M имеет недействительные и немнимые собственные значения. Разрешимая и не унимодулярная. Односвязная группа имеет тривиальный центр и внешнюю группу автоморфизмов - ненулевые числа.
• Тип VII ₀ : Полупрямое произведение R ² на R , где матрица M имеет ненулевые мнимые собственные значения. Разрешимая и унимодулярная. Это алгебра Ли группы изометрий плоскости. Односвязная группа имеет центр Z и внешнюю группу автоморфизмов, представляющую собой произведение ненулевых действительных чисел и группу порядка 2.
• Тип VIII : Алгебра Ли sl ₂ ( R ) бесследовых матриц размером 2 на 2, ассоциированная с группой SL ₂ (R) . Он простой и унимодульный. Односвязная группа не является матричной группой; он обозначается , имеет центр Z и его внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2. ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$
• Тип IX : Алгебра Ли ортогональной группы O ₃ ( R ). Он обозначается 𝖘𝖔(3) и является простым и унимодулярным. Соответствующая односвязная группа — это SU(2) ; он имеет центр порядка 2 и тривиальную внешнюю группу автоморфизмов и является спиновой группой .

Классификация трехмерных комплексных алгебр Ли аналогична, за исключением того, что типы VIII и IX становятся изоморфными, а типы VI и VII становятся частью одного семейства алгебр Ли.

Связные трехмерные группы Ли можно классифицировать следующим образом: они являются факторами соответствующей односвязной группы Ли по дискретной подгруппе центра, поэтому их можно прочитать из таблицы выше.

Группы связаны с 8 геометриями гипотезы геометризации Терстона . Точнее, семь из восьми геометрий могут быть реализованы как левоинвариантные метрики односвязной группы (иногда более чем одним способом). Геометрия Терстона типа S ² × R таким образом реализоваться не может.

Структурные константы

Каждое трехмерное пространство Бьянки допускает набор из трех векторных полей Киллинга , которые подчиняются следующему свойству: ${\displaystyle \xi _{i}^{(a)}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial \xi _{i}^{(c)}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \xi _{k}^{(c)}}{\partial x^{i}}}\right)\xi _{(a)}^{i}\xi _{(b)}^{k}=C_{\ ab}^{c}}$

где , «структурные константы» группы, образуют постоянный тензор третьего порядка, антисимметричный по двум нижним индексам. Для любого трехмерного пространства Бьянки определяется соотношением ${\displaystyle C_{\ ab}^{c}}$ ${\displaystyle C_{\ ab}^{c}}$

${\displaystyle C_{\ ab}^{c}=\varepsilon _{abd}n^{cd}-\delta _{a}^{c}a_{b}+\delta _{b}^{c}a_{a}}$

где – символ Леви-Чивита , – дельта Кронекера , а вектор и диагональный тензор описываются следующей таблицей, где дано i- е собственное значение ; ^[1] параметр a охватывает все положительные действительные числа : ${\displaystyle \varepsilon _{abd}}$ ${\displaystyle \delta _{a}^{c}}$ ${\displaystyle a_{a}=(a,0,0)}$ ${\displaystyle n^{cd}}$ ${\displaystyle n^{(i)}}$ ${\displaystyle n^{cd}}$

Рис. 1. Пространство параметров в виде 3-плоскости (класс A) и ортогональной полу3-плоскости (класс B) в R ⁴ с координатами ( n ⁽¹⁾ , n ^​​(2) , n ⁽³⁾ , a ), показаны канонические представители каждого типа Бьянки.

Стандартную классификацию Бьянки можно вывести из структурных констант за следующие шесть шагов:

1. Из-за антисимметрии существует девять независимых констант . Их можно эквивалентно представить девятью компонентами произвольной постоянной матрицы ^Cab : где ε _abd — полностью антисимметричный трехмерный символ Леви-Чивита (ε ₁₂₃ = 1). Подстановка этого выражения в тождество Якоби приводит к ${\displaystyle C_{ab}^{c}=-C_{ba}^{c}}$ ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$
   ${\displaystyle C_{ab}^{c}=\varepsilon _{abd}C^{dc},}$
   ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$
   ${\displaystyle \varepsilon _{abd}C^{bd}C^{ac}=0.}$
2. Структурные константы можно преобразовать как: Появление det A в этой формуле обусловлено тем, что символ ε _abd преобразуется как тензорная плотность: , где έ _mnd ≡ ε _mnd . Данным преобразованием всегда можно привести матрицу C ^ab к виду: После такого выбора остается свобода производить преобразования триады, но с ограничениями и
   ${\displaystyle C^{ab}=\left(\det {A}\right)^{-1}A_{m}^{a}A_{n}^{b}{\acute {C}}^{mn}.}$
   ${\displaystyle \varepsilon _{abc}=\left(\det {A}\right)D_{a}^{m}D_{b}^{n}D_{c}^{d}{\acute {\varepsilon }}_{mnd}}$
   ${\displaystyle C^{ab}={\begin{bmatrix}n_{1}&0&0\\0&C^{22}&C^{23}\\0&C^{32}&C^{33}\end{bmatrix}}.}$
   ${\displaystyle A_{2}^{1}=A_{3}^{1}=0}$ ${\displaystyle A_{1}^{2}=A_{1}^{3}=0.}$
3. Теперь тождества Якоби дают только одно ограничение:
   ${\displaystyle \left(C^{23}-C^{32}\right)n_{1}=0.}$
4. Если n ₁ ≠ 0, то C ²³ – C ³² = 0 и оставшимися преобразованиями с матрицу 2 × 2 в C ^ab можно сделать диагональной. Тогда Условие диагональности для C ^ab сохраняется при преобразованиях с диагональю . При этих преобразованиях три параметра n ₁ , n ₂ , n ₃ изменяются следующим образом: С помощью этих диагональных преобразований модуль любого n _a (если он не равен нулю) можно сделать равным единице. Учитывая, что одновременная смена знака всех n _a не дает ничего нового, приходим к следующим инвариантно различным наборам чисел n ₁ , n ₂ , n ₃ (инвариантно различным в том смысле, что невозможно перейти от одно в другое путем некоторого преобразования триады ), то есть к следующим различным типам однородных пространств с диагональной матрицей C ^ab : ${\displaystyle A_{\bar {b}}^{\bar {a}}\neq 0,\quad {\bar {a}},{\bar {b}}={\bar {2}},{\bar {3}}}$ ${\displaystyle C^{{\bar {a}}{\bar {b}}}}$
   ${\displaystyle C^{ab}={\begin{bmatrix}n_{1}&0&0\\0&n_{2}&0\\0&0&n_{3}\end{bmatrix}}.}$
   ${\displaystyle A_{b}^{a}}$
   ${\displaystyle n_{a}=\left(A_{1}^{1}A_{2}^{2}A_{3}^{3}\right)\left(A_{a}^{a}\right)^{2}{\acute {n}}_{a},{\text{no summation over}}\ a.}$
   ${\displaystyle e_{a}^{\bar {a}}=A_{\bar {b}}^{\bar {a}}e_{a}^{\bar {b}}}$
   ${\displaystyle {\begin{matrix}Bianchi\ IX&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,1),\\Bianchi\ VIII&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,-1),\\Bianchi\ VII_{0}&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,0),\\Bianchi\ VI_{0}&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,-1,0),\\Bianchi\ II&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,0,0).\end{matrix}}}$
5. Рассмотрим теперь случай n ₁ = 0. В этом случае может случиться и так, что C ²³ – C ³² = 0. Это возвращается к ситуации, уже проанализированной на предыдущем шаге, но с дополнительным условием n ₁ = 0. Теперь все по существу различными типами наборов n ₁ , n ₂ , n ₃ являются (0, 1, 1), (0, 1, -1), (0, 0, 1) и (0, 0, 0). Первые три повторяют типы VII ₀ , VI ₀ , II . Следовательно, возникает только один новый тип:
   ${\displaystyle Bianchi\ I\ :\ (n_{1},n_{2},n_{3})\ =\ (0,0,0).}$
6. Остался только случай n ₁ = 0 и C ²³ – C ³² ≠ 0. Теперь матрица 2 × 2 несимметрична и ее нельзя сделать диагональной преобразованиями с использованием . Однако ее симметричную часть можно диагонализовать, то есть матрицу C ^ab размера 3×3 привести к виду: где a – произвольное число. После того как это сделано, еще остается возможность выполнить преобразования с диагональю , при которых величины n ₂ , n ₃ и изменяются следующим образом: Эти формулы показывают, что при ненулевых n ₂ , n ₃ , a комбинация a ² ( n ₂ n ₃ ) ⁻¹ — инвариантная величина. Выбором можно наложить условие a > 0 и после этого выбор знака позволяет изменить оба знака n ₂ и n ₃ одновременно, то есть набор ( n ₂ , n ₃ ) эквивалентно множеству (− n ₂ , − n ₃ ). Отсюда следует, что существуют следующие четыре различных возможности: Для первых двух число a может быть преобразовано в единицу выбором параметров и . Для вторых двух возможностей оба этих параметра уже фиксированы, и а остается инвариантным и произвольным положительным числом. Исторически эти четыре типа однородных пространств были классифицированы как: Тип III - это всего лишь частный случай типа VI , соответствующий a = 1. Типы VII и VI содержат бесконечное количество инвариантно различных типов алгебр, соответствующих произвольности непрерывного параметра a. . Тип VII ₀ является частным случаем VII , соответствующим a = 0, тогда как тип VI ₀ является частным случаем VI , соответствующим также a = 0. ${\displaystyle C^{{\bar {a}}{\bar {b}}}({\bar {a}},{\bar {b}}=2,3)}$ ${\displaystyle A_{\bar {b}}^{\bar {a}}\neq 0}$
   ${\displaystyle C^{ab}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&n_{2}&a\\0&-a&n_{3}\end{bmatrix}},}$
   ${\displaystyle A_{\bar {b}}^{\bar {a}}}$
   ${\displaystyle n_{2}=\left(A_{1}^{1}A_{2}^{2}A_{3}^{3}\right)^{-1}\left(A_{2}^{2}\right)^{2}{\acute {n}}_{2},\quad n_{3}=\left(A_{1}^{1}A_{2}^{2}A_{3}^{3}\right)^{-1}\left(A_{3}^{3}\right)^{2}{\acute {n}}_{3},\quad a=\left(A_{1}^{1}\right)^{-1}{\acute {a}}.}$
   ${\displaystyle A_{1}^{1}}$ ${\displaystyle A_{3}^{3}\left(A_{2}^{2}\right)^{-1}}$
   ${\displaystyle (a,n_{2},n_{3})=(a,0,0),(a,0,1),(a,1,1),(a,1,-1).}$
   
   ${\displaystyle A_{1}^{1}}$ ${\displaystyle A_{3}^{3}\left(A_{2}^{2}\right)^{-1}}$
   ${\displaystyle {\begin{matrix}Bianchi\ V&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(1,0,0),\\Bianchi\ IV&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(1,0,1),\\Bianchi\ VII&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(a,1,1),\\Bianchi\ III&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(1,1,-1),\\Bianchi\ VI&:&n_{1}=0,\ (a,n_{2},n_{3})&=&(a,1,-1).\end{matrix}}}$
   

Кривизна пространств Бьянки.

Пространства Бьянки обладают тем свойством, что их тензоры Риччи можно разделить на произведение базисных векторов, связанных с пространством, и тензора, не зависящего от координат.

Для заданного показателя :

${\displaystyle ds^{2}=\gamma _{ab}\xi _{i}^{(a)}\xi _{k}^{(b)}dx^{i}dx^{k}}$

(где 　1 -формы ), тензор кривизны Риччи определяется выражением: ${\displaystyle \xi _{i}^{(a)}dx^{i}}$ ${\displaystyle R_{ik}}$

${\displaystyle R_{ik}=R_{(a)(b)}\xi _{i}^{(a)}\xi _{k}^{(b)}}$

${\displaystyle R_{(a)(b)}={\frac {1}{2}}\left[C_{\ \ b}^{cd}\left(C_{cda}+C_{dca}\right)+C_{\ cd}^{c}\left(C_{ab}^{\ \ d}+C_{ba}^{\ \ d}\right)-{\frac {1}{2}}C_{b}^{\ cd}C_{acd}\right]}$

где индексы структурных констант повышаются и понижаются, что не является функцией . ${\displaystyle \gamma _{ab}}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Космологическое применение

В космологии эта классификация используется для однородного пространства-времени размерности 3+1. Трехмерная группа Ли представляет собой группу симметрии трехмерного пространственноподобного среза, а метрика Лоренца, удовлетворяющая уравнению Эйнштейна, генерируется путем изменения компонентов метрики в зависимости от t. Метрики Фридмана –Леметра–Робертсона–Уокера изотропны и представляют собой частные случаи типов I, V и IX. Модели Бьянки типа I включают метрику Каснера как особый случай. Космологии Бьянки IX включают метрику Тауба . ^[2] Однако динамика вблизи сингулярности приближенно определяется серией последовательных периодов Каснера (Бьянки I). Сложная динамика, которая по сути представляет собой движение биллиарда в части гиперболического пространства, демонстрирует хаотическое поведение и называется Mixmaster ; его анализ называется анализом БКЛ по имени Белинского, Халатникова и Лифшица. ^{[3] [4]} Более поздние работы установили связь теорий (супер)гравитации вблизи пространственноподобной особенности (BKL-предела) с лоренцевыми алгебрами Каца–Муди , группами Вейля и гиперболическими группами Кокстера . ^{[5] [6] [7]} Другая более поздняя работа связана с дискретной природой отображения Каснера и непрерывным обобщением. ^{[8] [9] [10]} В однородном и изотропном пространстве метрика определяется полностью, оставляя свободным только знак кривизны. Предполагая только однородность пространства без дополнительной симметрии, такой как изотропия, оставляет значительно больше свободы в выборе метрики. Следующее относится к пространственной части метрики в данный момент времени t, предполагая синхронный кадр, так что t является одним и тем же синхронизированным временем для всего пространства. ${\displaystyle \scriptstyle {\text{VII}}_{h}}$

Однородность предполагает одинаковые метрические свойства во всех точках пространства. Точное определение этого понятия предполагает рассмотрение наборов преобразований координат, которые преобразуют пространство в себя, т.е. оставляют его метрику неизменной: если линейный элемент до преобразования

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }\left(x^{1},x^{2},x^{3}\right)dx^{\alpha }dx^{\beta },}$

то после преобразования тот же элемент строки будет

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }\left(x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3}\right)dx^{\prime \alpha }dx^{\prime \beta },}$

с той же функциональной зависимостью γαβ _от новых координат. (Более теоретическое и независимое от координат определение однородного пространства см. в разделе «Гомогенное пространство »). Пространство является однородным, если оно допускает набор преобразований ( группу движений ), приводящих любую данную точку в положение любой другой точки. Поскольку пространство трехмерно, различные преобразования группы помечены тремя независимыми параметрами.

Рис. 2. Триада e ^{( a )} ( e ⁽¹⁾ , e ⁽²⁾ , e ⁽³⁾ ) представляет собой аффинную систему координат (в том числе в частном случае декартову систему координат), координаты которой являются функциями криволинейных координат x _α (х ₁ , х ₂ , х ₃ ).

В евклидовом пространстве однородность пространства выражается инвариантностью метрики относительно параллельных смещений ( трансляций ) декартовой системы координат . Каждый перенос определяется тремя параметрами — компонентами вектора смещения начала координат. Все эти преобразования оставляют неизменными три независимых дифференциала ( dx , dy , dz ), из которых строится линейный элемент. В общем случае неевклидова однородного пространства преобразования его группы движений вновь оставляют инвариантными три независимые линейные дифференциальные формы , которые, однако, не сводятся к полным дифференциалам каких-либо координатных функций. Эти формы записываются так: где латинский индекс ( a ) обозначает три независимых вектора (координатные функции); эти векторы называются полем кадра или триадой. Греческие буквы обозначают три пространственно-подобные криволинейные координаты . Пространственный метрический инвариант строится относительно заданной группы движений с использованием приведенных выше форм: ${\displaystyle e_{\alpha }^{(a)}dx^{\alpha }}$

т.е. метрический тензор

где коэффициенты ηab _, симметричные по индексам a и b , являются функциями времени. Выбор базисных векторов продиктован свойствами симметрии пространства, и, вообще говоря, эти базисные векторы не ортогональны (так что матрица η _ab не диагональна).

Обратная тройка векторов вводится с помощью дельты Кронекера ${\displaystyle e_{(a)}^{\alpha }}$

В трехмерном случае связь между двумя векторными тройками можно записать явно

где объем v

${\displaystyle v=\left\vert e_{\alpha }^{(a)}\right\vert =\mathbf {e} ^{(1)}\cdot \mathbf {e} ^{(2)}\times \mathbf {e} ^{(3)},}$

где e _{( a )} и e ^{( a )} рассматриваются как декартовы векторы с компонентами и соответственно. Определитель метрического тензора ( ур. 6b есть γ = η v ² , где η — определитель матрицы η _ab . ${\displaystyle e_{(a)}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{\alpha }^{(a)}}$

Требуемые условия однородности пространства:

Константы называются структурными константами группы. ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$

Умножив на , уравнение. 6e можно переписать в виде ${\displaystyle e_{(c)}^{\gamma }}$

Уравнение 6e можно записать в векторной форме как

${\displaystyle \mathbf {e} _{(a)}\times \mathbf {e} _{(b)}{\text{curl }}\mathbf {e} ^{(c)}=-C_{ab}^{c},}$

где снова векторные операции выполняются так, как если бы координаты ^xα были декартовыми. Используя уравнение. 6d , получаем

и еще шесть уравнений, полученных циклической перестановкой индексов 1, 2, 3.

Структурные константы антисимметричны по своим нижним индексам, как видно из уравнения их определения. 6е : . Другое условие на структурные константы можно получить, заметив, что уравнение. 6f можно записать в виде коммутационных соотношений ${\displaystyle C_{ab}^{c}=-C_{ba}^{c}}$

для линейных дифференциальных операторов

В математической теории непрерывных групп ( групп Ли ) операторы Xa, удовлетворяющие условиям _уравн . 6h называются образующими группы . Теория групп Ли использует операторы, определяемые с помощью векторов Киллинга вместо триад . Поскольку в синхронной метрике ни одна из компонент γαβ не _{зависит} от времени, векторы Киллинга (триады) времениподобны. ${\displaystyle \xi _{(a)}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{(a)}^{\alpha }}$

Условия уравнения 6h следует из тождества Якоби

${\displaystyle [[X_{a},X_{b}],X_{c}]+[[X_{b},X_{c}],X_{a}]+[[X_{c},X_{a}],X_{b}]=0}$

и иметь форму

Определенным преимуществом является использование вместо трехиндексных констант набора двухиндексных величин, полученных двойственным преобразованием ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$

где e _abc = e ^abc — единичный антисимметричный символ (при e ₁₂₃ = +1). С этими константами коммутационные соотношения уравн. 6h записываются как

Свойство антисимметрии уже учтено в уравнении определения. 6к , в то время как экв . 6j принимает вид

Выбор трех векторов системы отсчета в дифференциальных формах (а вместе с ними и операторов X _a ) не является однозначным. Их можно подвергнуть любому линейному преобразованию с постоянными коэффициентами: ${\displaystyle e_{\alpha }^{(a)}dx^{\alpha }}$

Величины η _ab и C ^ab ведут себя как тензоры (инвариантны) относительно таких преобразований.

Условия уравнения 6m — единственные, которым должны удовлетворять структурные константы. Но среди констант, допустимых этими условиями, есть эквивалентные множества в том смысле, что их отличие связано с преобразованием типа ур. 6н . Вопрос классификации однородных пространств сводится к определению всех неэквивалентных наборов структурных констант. Это можно сделать, используя «тензорные» свойства величин C ^ab , следующим простым методом (К. Г. Бер, 1962).

Асимметричный тензор C ^ab можно разложить на симметричную и антисимметричную части. Первый обозначается n ^ab , а второй выражается через его двойственный вектор a _c :

Подстановка этого выражения в уравн. 6m приводит к условию

С помощью преобразований урав. 6n симметричный тензор n ^ab можно привести к диагональному виду с собственными значениями n ₁ , n ₂ , n ₃ . Уравнение 6p показывает, что вектор a _b (если он существует) лежит вдоль одного из главных направлений тензора n ^ab , соответствующего нулевому собственному значению. Поэтому без ограничения общности можно положить a _b = ( a , 0, 0). Тогда уравнение. 6p сводится к an ₁ = 0, т.е. одна из величин a или n ₁ должна быть равна нулю. Тождества Якоби принимают вид:

Единственными оставшимися свободами являются смена знаков операторов Xa и их умножение _на произвольные константы. Это позволяет одновременно изменить знак всех n _a , а также сделать величину положительной (если она отлична от нуля). Также все структурные константы можно приравнять к ±1, если хотя бы одна из величин a , n ₂ , n ₃ обращается в нуль. Но если все три эти величины отличны от нуля, масштабные преобразования оставляют неизменным соотношение h = a ² ( n ₂ n ₃ ) ⁻¹ .

Таким образом, приходим к классификации Бьянки, перечисляющей возможные типы однородных пространств, классифицируемых значениями a , n ₁ , n ₂ , n ₃ , которая графически представлена ​​на рис. 3. В случае класса A ( a = 0) тип IX ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1, n ⁽³⁾ =1) представлен октантом 2, тип VIII ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1, n ⁽³⁾ =–1) представлен октантом 6, тогда как тип VII ₀ ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1, n ⁽³⁾ =0) представлен первым квадрантом горизонтальной плоскости и тип VI ₀ ( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =–1, n ⁽³⁾ =0) представлена ​​четвертым квадрантом этой плоскости; тип II (( n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =0, n ⁽³⁾ =0) представлен интервалом [0,1] вдоль n ⁽¹⁾ и тип I ( n ⁽¹⁾ =0 , n ⁽²⁾ =0, n ⁽³⁾ =0) находится в начале координат. Аналогично в случае класса B (при n ⁽³⁾ = 0) тип Бьянки VI _h ( a = h , n ⁽¹⁾ = . 1, n ⁽²⁾ =–1) проецируется в четвёртый квадрант горизонтальной плоскости, а тип VII _h ( a = h , n ⁽¹⁾ =1, n ⁽²⁾ =1) проецируется в первый квадрант горизонтальной плоскости. плоскость этих последних двух типов представляет собой единый класс изоморфизма, соответствующий поверхности постоянного значения функции h = a ² ( n ⁽¹⁾ n ⁽²⁾ ) ⁻¹ . Типичная такая поверхность иллюстрируется одним октантом, углом θ; заданные формулой tan  θ = | h /2| ^1/2 ; значения в остальных октантах получаются вращением на кратные π /2, h;чередующиеся по знаку для данной величины | ч |. Тип III является подтипом VI _h с = 1. Тип V ( a =1, n ⁽¹⁾ =0, n ⁽²⁾ =0) — это интервал (0,1] по оси a и тип IV ( a =1, n ⁽¹⁾ =1, n ^{( 2)} =0) — вертикальная открытая грань между первым и четвертым квадрантами плоскости a = 0, причем последняя дает предел класса А каждого типа.

Уравнения Эйнштейна для Вселенной с однородным пространством можно с помощью поля отсчета свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей только функции времени. Для этого необходимо разрешить пространственные компоненты четырехвекторов и четырехтензоров по триаде базисных векторов пространства:

${\displaystyle R_{(a)(b)}=R_{\alpha \beta }e_{(a)}^{\alpha }e_{(b)}^{\beta },\quad R_{0(a)}=R_{0\alpha }e_{(a)}^{\alpha },\quad u^{(a)}=u^{\alpha }e_{\alpha }^{(a)},}$

где все эти величины теперь являются функциями только t ; скалярные величины — плотность энергии ε и давление вещества p — также являются функциями времени.

Уравнения Эйнштейна в вакууме в синхронной системе отсчета имеют вид ^{[11] [12] [примечание 1]}

где – 3-мерный тензор , а P _αβ – 3-мерный тензор Риччи , который выражается трехмерным метрическим тензором γ _αβ так же, как R _ik выражается через g _ik ; P _αβ содержит только пространственные (но не временные) производные от γ _αβ . Используя триады, для ур. 11 просто есть ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }}$ ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {\partial \gamma _{\alpha }^{\beta }}{\partial t}}}$

${\displaystyle \varkappa _{(a)(b)}={\frac {\partial \eta _{ab}}{\partial t}},\quad \varkappa _{(a)}^{(b)}={\frac {\partial \eta _{ac}}{\partial t}}\eta ^{cb}.}$

Компоненты P _{( a )( b )} можно выразить через величины η _ab и структурные константы группы, используя тетрадное представление тензора Риччи через величины ^[13] ${\displaystyle \lambda _{abc}=\left(e_{(a)i,k}-e_{(a)k,i}\right)e_{(b)}^{i}e_{(c)}^{k}}$

${\displaystyle R_{(a)(b)}=-{\frac {1}{2}}\left(\lambda _{ab,c}^{c}+\lambda _{ba,c}^{c}+\lambda _{ca,b}^{c}+\lambda _{cb,a}^{c}+\lambda _{b}^{cd}\lambda _{cda}+\lambda _{b}^{cd}\lambda _{dca}-{\frac {1}{2}}\lambda _{b}^{cd}\lambda _{acd}+\lambda _{cd}^{c}\lambda _{ab}^{d}+\lambda _{cd}^{c}\lambda _{ba}^{d}\right).}$

После замены трехиндексных символов на двухиндексные C ^ab и преобразований: ${\displaystyle \lambda _{bc}^{a}=C_{bc}^{a}}$

${\displaystyle \eta _{ad}\eta _{bc}\eta _{cf}e^{def}=\eta e_{abc},\quad e_{abf}e^{cdf}=\delta _{a}^{c}\delta _{b}^{d}-\delta _{a}^{d}\delta _{b}^{c}}$

получается «однородный» тензор Риччи, выраженный в структурных константах:

${\displaystyle P_{(a)}^{(b)}={\frac {1}{2\eta }}\left\{2C^{bd}C_{ad}+C^{db}C_{ad}+C^{bd}C_{da}-C_{d}^{d}\left(C_{a}^{b}+C_{a}^{b}\right)+\delta _{a}^{b}\left[\left(C_{d}^{d}\right)^{2}-2C^{df}C_{df}\right]\right\}.}$

Здесь все индексы поднимаются и опускаются с помощью локального метрического тензора η _ab

${\displaystyle C_{a}^{b}=\eta _{ac}C^{cb},\quad C_{ab}=\eta _{ac}\eta _{bd}C^{cd}.}$

Тождества Бьянки для трехмерного тензора P _αβ в однородном пространстве принимают вид

${\displaystyle P_{b}^{c}C_{ca}^{b}+P_{a}^{c}C_{cb}^{b}=0.}$

С учетом преобразований ковариантных производных для произвольных четырехвекторов A _i и четырехтензоров A _ik

${\displaystyle A_{i;k}e_{(a)}^{i}e_{(b)}^{k}=A_{(a)(b)}-A^{(d)}\gamma _{dab},}$

${\displaystyle A_{ik;l}e_{(a)}^{i}e_{(b)}^{k}e_{(c)}^{l}=A_{(a)(b)(c)}-A_{(b)}^{(d)}\gamma _{dac}+A_{(a)}^{(d)}\gamma _{dbc},}$

окончательные выражения для компонентов триады четырехтензора Риччи:

Таким образом, при построении уравнений Эйнштейна нет необходимости использовать явные выражения для базисных векторов как функций координат.

Смотрите также

• Физический портал

• Таблица групп Ли
• Список простых групп Ли
• БКЛ сингулярность

Примечания

1. Соглашение, используемое BKL, такое же, как и в книге Ландау и Лифшица (1988). Латинские индексы принимают значения 0, 1, 2, 3; Греческие индексы пробегают пространственные значения 1, 2, 3. Метрика g _ik имеет сигнатуру (+ − − −); γ _αβ = − g _αβ — метрический тензор трехмерного пространства. БКЛ используют систему единиц, в которой скорость света и гравитационная постоянная Эйнштейна равны 1.

Рекомендации

1. Ландау и Лифшиц 1988.
2. Уолд 1984.
3. Белинский, Халатников и Лифшиц 1971.
4. Белинский, Халатников и Лифшиц 1972.
5. Хенно, Перссон и Шпиндель 2008.
6. Хенно, Перссон и Уэсли 2008.
7. Хенно 2009.
8. Корниш и Левин 1997a.
9. Корниш и Левин 1997b.
10. Корниш и Левин 1997c.
11. Лифшиц и Халатников, 1963 г.
12. Ландау и Лифшиц 1988, гл. 97
13. Ландау и Лифшиц 1988, экв. (98,14).

Библиография

• Белинский Владимир Александрович ; Халатников И.М. ; Лифшиц, Э.М. (1971). «Колебательный режим приближения к сингулярности в однородных космологических моделях с вращающимися осями». ЖЭТФ . 60 (6): 1969–1979.
• Белинский Владимир Александрович ; Халатников И.М. ; Лифшиц, Э.М. (1972). «Построение общего космологического решения уравнения Эйнштейна с особенностью времени». ЖЭТФ . 62 (5): 1606–1613.
• Л. Бьянки, «Сугли представляют собой три измерения, которые составляют группу непрерывного движения». (О трехмерных пространствах, допускающих непрерывную группу движений.) Соц. Итал. наук. Память ди Мат. 11, 267 (1898) английский перевод. Архивировано 18 февраля 2020 г. в Wayback Machine.
• Корниш, Нью-Джерси; Левин, Джей-Джей (1997a). «Вселенная Mixmaster однозначно хаотична». В Пиране Цви; Руффини, Ремо (ред.). О последних разработках в области теоретической и экспериментальной общей теории относительности, гравитации и релятивистской теории поля. Материалы восьмой встречи Марселя Гроссмана. Еврейский университет в Иерусалиме: World Scientific. стр. 616–618. ISBN 978-9810237936. ОЛ  13168102М.
• Корниш, Нил Дж.; Левин, Жанна Дж. (1997b). «Вселенная Mixmaster хаотична». Письма о физических отзывах . 78 (6): 998–1001. arXiv : gr-qc/9605029 . Бибкод : 1997PhRvL..78..998C. doi : 10.1103/physrevlett.78.998. ISSN  0031-9007. S2CID  119476182.
• Корниш, Нил Дж.; Левин, Жанна Дж. (1997c). «Вселенная Mixmaster: Хаотичная сказка Фей». Физический обзор D . 55 (12). Американское физическое общество (APS): 7489–7510. arXiv : gr-qc/9612066 . Бибкод : 1997PhRvD..55.7489C. doi : 10.1103/physrevd.55.7489. ISSN  0556-2821. S2CID  17085583.
• Феррандо, Джей-Джей; Саез, JA (2020). «Однородные трехмерные римановы пространства». Классическая и квантовая гравитация . 37 (18): 185011. arXiv : 2004.01877 . Бибкод : 2020CQGra..37r5011F. дои : 10.1088/1361-6382/ab9880. S2CID  214802205.
• Гвидо Фубини Сугли spazi a quattro Dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti , (О пространствах четырех измерений, допускающих непрерывную группу движений.) Ann. Мат. чистое приложение. (3) 9, 33–90 (1904); перепечатано в Opere Scelte , a cura dell'Unione matematica italiana e col contributo del Consiglio nazionale delle richerche, Roma Edizioni Cremonese, 1957–62.
• МакКаллум, О классификации реальных четырехмерных алгебр Ли , в «На пути Эйнштейна: эссе в честь Энгельберта Шукинга» под редакцией А. Л. Харви, Springer ISBN 0-387-98564-6 
• Энно, Марк ; Перссон, Дэниел; Шпиндель, Филипп (2008). «Пространственноподобные особенности и скрытые симметрии гравитации». Живые обзоры в теории относительности . 11 (1): 1. arXiv : 0710.1818 . Бибкод : 2008LRR....11....1H. дои : 10.12942/lrr-2008-1. ПМК  5255974 . ПМИД  28179821.
• Энно, Марк ; Перссон, Дэниел; Уэсли, Дэниел (2008). «Групповая структура Кокстера космологического биллиарда на компактных пространственных многообразиях». Журнал физики высоких энергий . 2008 (9): 052. arXiv : 0805.3793 . Бибкод : 2008JHEP...09..052H. дои : 10.1088/1126-6708/2008/09/052. ISSN  1029-8479. S2CID  14135098.
• Энно, Марк (2009). «Алгебры Каца-Муди и структура космологических особенностей: новый взгляд на анализ Белинского-Халатникова-Лифшица». Квантовая механика фундаментальных систем: поиск красоты и простоты : 1–11. arXiv : 0806.4670 . дои : 10.1007/978-0-387-87499-9_11. ISBN 978-0-387-87498-2. S2CID  18809715.
• Роберт Т. Янцен, Классификация 3-геометрий Бьянки: оригинальные статьи в переводе
• Янцен, Роберт Т. (2001). «Пространственно однородная динамика: единая картина». Учеб. Межд. СЧ. Физ. Курс «Э. Ферми» . LXXXVI . arXiv : gr-qc/0102035 .
• Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1988). Классическая теория полей (7-е изд.). Москва: Наука . ISBN 978-5-02-014420-0.Том. 2 курса теоретической физики
• Лифшиц Евгений Михайлович ; Халатников, Исаак М. (1963). «Проблемы релятивистской космологии». Успехи физических наук . 80 (7): 391–438. дои : 10.3367/УФНр.0080.196307д.0391 .; английский перевод в Лифшице, Э.М.; Халатников, И. М. (1963). «Проблемы релятивистской космологии». Достижения физики . 12 (46): 185. Бибкод : 1963AdPhy..12..185L. дои : 10.1080/00018736300101283.
• Райан, Майкл П.; Шепли, Лоуренс К. (1975). Однородные релятивистские космологии. Принстонская серия по физике. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691645209.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (второе изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46136-8.
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-87033-2.