Ведический квадрат

Таблица умножения в индийской математике

В индийской математике ведический квадрат представляет собой вариацию типичной таблицы умножения 9 × 9 , где запись в каждой ячейке является цифровым корнем произведения заголовков столбцов и строк, т.е. остатком , когда произведение заголовков строк и столбцов делится на 9 (с остатком 0, представленным числом 9). В ведическом квадрате можно наблюдать многочисленные геометрические узоры и симметрии , некоторые из которых можно найти в традиционном исламском искусстве .

Выделение определенных чисел в ведическом квадрате выявляет отдельные фигуры, каждая из которых обладает определенной формой зеркальной симметрии .

Алгебраические свойства

Ведический квадрат можно рассматривать как таблицу умножения моноида , где — множество положительных целых чисел, разделенных на классы остатков по модулю девять. (оператор относится к абстрактному «умножению» между элементами этого моноида). ${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \circ }$

Если являются элементами, то можно определить как , где элемент 9 представляет собой класс остатков 0, а не традиционный выбор 0. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$ ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle (a\times b)\mod {9}}$

Это не образует группу , поскольку не каждый ненулевой элемент имеет соответствующий обратный элемент ; например , но не существует такого, что . ${\displaystyle 6\circ 3=9}$ ${\displaystyle a\in \{1,\cdots ,9\}}$ ${\displaystyle 9\circ a=6.}$

Свойства подмножеств

Подмножество образует циклическую группу с 2 в качестве одного выбора генератора - это группа мультипликативных единиц в кольце . Каждый столбец и строка включают все шесть чисел - поэтому это подмножество образует латинский квадрат . ${\displaystyle \{1,2,4,5,7,8\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$

От двух измерений к трем измерениям

Срезы ведического куба (верхние рисунки) и триметрические проекции ячеек заданного цифрового корня d (нижние рисунки) ^[1]

Ведический куб определяется как расположение каждого цифрового корня в трехмерной таблице умножения . ^[2]

Ведические квадраты в высшем основании

Ведический квадрат с основанием 100 (слева) и 1000 (справа)

Ведические квадраты с более высоким основанием (или основанием числа) могут быть рассчитаны для анализа симметричных узоров, которые возникают. Используя расчет выше, . Изображения в этом разделе имеют цветовую кодировку, так что цифровой корень 1 темный, а цифровой корень (основание-1) светлый. ${\displaystyle (a\times b)\mod {({\textrm {base}}-1)}}$

Смотрите также

• Латинский квадрат
• Модульная арифметика
• Моноид

Ссылки

1. Лин, Чиа-Ю (2016). «Цифровые корневые шаблоны трехмерного пространства». Журнал занимательной математики . 3 (5): 9–31. doi : 10.1515/rmm-2016-0002 .
2. Линь, Чиа-Ю. "Цифровые корневые модели трехмерного пространства". rmm.ludus-opuscula.org . Получено 25.05.2016 .

• Дескинс, У. Э. (1996), Абстрактная алгебра , Нью-Йорк: Довер, стр. 162–167, ISBN 0-486-68888-7
• Притчард, Крис (2003), Изменение формы геометрии: празднование столетия геометрии и преподавания геометрии , Великобритания: Cambridge University Press, стр. 119–122, ISBN 0-521-53162-4
• Ганнам, Талал (2012), Тайна чисел: раскрытая через их цифровой корень , CreateSpace Publications, стр. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1
• Текномо, Кади (2005), Цифровой корень: Ведический квадрат
• Чиа-Ю, Линь (2016), Цифровые корневые модели трехмерного пространства, Журнал занимательной математики, стр. 9–31, ISSN  2182-1976