Ведьма Агнеси

Кубическая плоская кривая

Выбранные кривые Агнеси (зеленые) и окружности, из которых они построены (синие), с параметрами радиуса , , , и . ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle a=4}$ ${\displaystyle a=8}$

В математике ведьма Аньези ( итальянское произношение: [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi] ) — кубическая плоская кривая, определяемая двумя диаметрально противоположными точками окружности.

Кривая была изучена еще в 1653 году Пьером де Ферма , в 1703 году Гвидо Гранди и Исааком Ньютоном . Свое название она получила от итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези , которая опубликовала ее в 1748 году. Итальянское название la versiera di Agnesi основано на латинском versoria ( лист парусных судов) и синус против . Это было прочитано Джоном Колсоном как l'avversiera di Agnesi , где avversiera переводится как «женщина, которая против Бога» и интерпретируется как «ведьма». ^{[1] [2] [3] [4]}

График производной функции арктангенса является примером ведьмы Агнеси. Как функция плотности вероятности распределения Коши , ведьма Агнеси имеет приложения в теории вероятностей . Она также приводит к явлению Рунге при аппроксимации функций полиномами , использовалась для аппроксимации распределения энергии спектральных линий и моделирует форму холмов.

Ведьма касается своей определяющей окружности в одной из двух определяющих точек и асимптотически относится к касательной к окружности в другой точке. Она имеет единственную вершину (точку крайней кривизны) в точке касания с ее определяющей окружностью, которая также является ее соприкасающейся окружностью в этой точке. Она также имеет две конечные точки перегиба и одну бесконечную точку перегиба. Площадь между ведьмой и ее асимптотической прямой в четыре раза больше площади определяющей окружности, а объем вращения кривой вокруг ее определяющей линии в два раза больше объема тора вращения ее определяющей окружности.

Строительство

Ведьма Аньези (кривая MP ) с отмеченными точками

Анимация, демонстрирующая создание ведьмы Агнеси

Чтобы построить эту кривую, начните с любых двух точек O и M и нарисуйте окружность с OM в качестве диаметра. Для любой другой точки A на окружности пусть N будет точкой пересечения секущей линии OA и касательной линии в точке M. Пусть P будет точкой пересечения линии, перпендикулярной OM через A , и линии, параллельной OM через N. Тогда P лежит на ведьме Аньези. Ведьма состоит из всех точек P , которые могут быть построены таким образом из того же выбора O и M. ^[5] Она включает в себя , как предельный случай, саму точку M.

Уравнения

Предположим, что точка O находится в начале координат , а точка M лежит на положительной оси -, и что окружность с диаметром OM имеет радиус . Тогда построенная по O и M окружность имеет декартово уравнение ^{[6] [7]} Это уравнение можно упростить, выбрав , к виду или , что эквивалентно, очистив знаменатели , как кубическое алгебраическое уравнение В упрощенном виде эта кривая является графиком производной функции арктангенса . ^[8] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}.}$$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$$ $${\displaystyle (x^{2}+1)y=1.}$$

Ведьму Агнеси можно также описать параметрическими уравнениями , параметром которых является угол между OM и OA , измеренный по часовой стрелке: ^{[6] [7]} $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=2a\tan \theta ,\\y&=2a\cos ^{2}\theta .\end{aligned}}}$$

Характеристики

Основные свойства этой кривой можно вывести из интегрального исчисления . Площадь между ведьмой и ее асимптотической линией в четыре раза больше площади фиксированного круга, . ^{[6] [7] [9]} Объем вращения ведьмы Аньези вокруг ее асимптоты равен . ^[6] Это в два раза больше объема тора, образованного вращением определяющего круга ведьмы вокруг той же линии. ^[9] ${\displaystyle 4\pi a^{2}}$ ${\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}$

Кривая имеет уникальную вершину в точке касания с ее определяющей окружностью. То есть, эта точка является единственной точкой, где кривизна достигает локального минимума или локального максимума. ^[10] Определяющая окружность ведьмы также является ее соприкасающейся окружностью в вершине, ^[11] уникальной окружностью, которая «целует» кривую в этой точке, разделяя ту же ориентацию и кривизну. ^[12] Поскольку это соприкасающаяся окружность в вершине кривой, она имеет контакт третьего порядка с кривой. ^[13]

Кривая имеет две точки перегиба , в точках, соответствующих углам . [ ^{6] [7]} При рассмотрении в качестве кривой в проективной плоскости есть также третья бесконечная точка перегиба, в точке, где линия на бесконечности пересекается асимптотической линией. Поскольку одна из ее точек перегиба бесконечна, она имеет минимально возможное число конечных действительных точек перегиба любой невырожденной кубической кривой. ^[14] $${\displaystyle \left(\pm {\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)}$$ ${\displaystyle \theta =\pm \pi /6}$

Наибольшая площадь прямоугольника , который может быть вписан между чертой и ее асимптотой , равна , ${\displaystyle 4a^{2}}$ для прямоугольника, высота которого равна радиусу определяющей окружности, а ширина в два раза больше диаметра окружности . ^[9]

История

Ранние исследования

Иллюстрация кривой и ее построения, сделанная Аньези в 1748 году ^[15]

Кривая была изучена Пьером де Ферма в его трактате 1659 года о квадратуре . В нем Ферма вычисляет площадь под кривой и (без подробностей) утверждает, что тот же метод распространяется также на циссоиду Диокла . Ферма пишет, что кривая была предложена ему " ab erudito geometra " [ученым геометром]. ^[16] Парадис, Пла и Виадер (2008) предполагают, что геометром, который предложил эту кривую Ферма, мог быть Антуан де Лалубер . ^[17]

Конструкция, данная выше для этой кривой, была найдена Гранди (1718); та же конструкция была найдена ранее Исааком Ньютоном , но опубликована только посмертно позже, в 1779 году. ^[18] Гранди (1718) также предложил название versiera (на итальянском) или versoria (на латыни) для кривой. ^[19] Латинский термин также используется для листа , веревки, которая поворачивает парус, но Гранди, возможно, вместо этого намеревался просто сослаться на функцию версина , которая появилась в его конструкции. ^{[9] [18] [20] [21]}

В 1748 году Мария Гаэтана Аньези опубликовала Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , ранний учебник по исчислению . ^[15] В нем, после того, как она сначала рассмотрела две другие кривые, она включает исследование этой кривой. Она определяет кривую геометрически как геометрическое место точек, удовлетворяющих определенной пропорции, определяет ее алгебраическое уравнение и находит ее вершину, асимптотическую линию и точки перегиба. ^[22]

Этимология

Мария Гаэтана Аньези назвала кривую, согласно Гранди, versiera . ^{[20] [22]} По совпадению, в то время в Италии было принято говорить о Дьяволе через другие слова, такие как aversiero или versiero , происходящие от латинского adversarius , «противник» Бога. Versiera , в частности, использовалось для обозначения жены дьявола или «ведьмы». ^[23] Из-за этого профессор Кембриджа Джон Колсон неправильно перевел название кривой как «ведьма». ^[24] Различные современные работы об Аньези и о кривой предлагают несколько разные предположения, как именно произошел этот неправильный перевод. ^{[25] [26]} Струик упоминает, что: ^[22]

Слово [ versiera ] происходит от латинского vertere , поворачивать, но также является сокращением от итальянского avversiera , дьяволица. Какой-то остроумец в Англии однажды перевел его как «ведьма», и этот глупый каламбур до сих пор любовно сохраняется в большинстве наших учебников на английском языке. ... Кривая уже появлялась в трудах Ферма ( Oeuvres , I, 279–280; III, 233–234) и других; название versiera взято из работы Гвидо Гранди ( Quadratura circuli et hyperbolae , Пиза, 1703). Кривая относится к типу 63 по классификации Ньютона . ... Первым, кто использовал термин «ведьма» в этом смысле, возможно, был Б. Уильямсон, Integral calculus , 7 (1875), 173; ^[27] см. Oxford English Dictionary .

С другой стороны, Стивен Стиглер предполагает, что сам Гранди «возможно, предавался игре слов», двойной игре слов, связывающей дьявола с версином, а функцию синуса — с формой женской груди (оба эти слова можно записать как «seno» на итальянском языке) ^{[18] .}

Приложения

Масштабированная версия кривой — это функция плотности вероятности распределения Коши . Это распределение вероятности случайной величины, определяемое следующим случайным экспериментом : для фиксированной точки выше оси , равномерно выбираем случайным образом линию через , и пусть будет координатой точки, где эта случайная линия пересекает ось. Распределение Коши имеет пиковое распределение, визуально напоминающее нормальное распределение , но его тяжелые хвосты не позволяют ему иметь ожидаемое значение по обычным определениям, несмотря на его симметрию. С точки зрения самой ведьмы это означает, что координата центра тяжести области между кривой и ее асимптотической линией не является четко определенной, несмотря на симметрию этой области и конечную площадь. ^{[18] [28]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

В численном анализе при аппроксимации функций с использованием полиномиальной интерполяции с равноотстоящими точками интерполяции может быть так, что для некоторых функций использование большего количества точек приводит к худшему приближению, так что интерполяция расходится с функцией, которую она пытается аппроксимировать, а не сходится к ней. Это парадоксальное поведение называется явлением Рунге . Впервые оно было обнаружено Карлом Давидом Толме Рунге для функции Рунге , другой масштабированной версии ведьмы Аньези, при интерполяции этой функции по интервалу . То же самое явление происходит и для самой ведьмы по более широкому интервалу . ^[29] ${\displaystyle y=1/(1+25x^{2})}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle y=1/(1+x^{2})}$ ${\displaystyle [-5,5]}$

Ведьма Агнеси аппроксимирует спектральное распределение энергии спектральных линий , в частности рентгеновских линий. ^[30]

Поперечное сечение гладкого холма имеет форму, похожую на форму ведьмы. ^[31] Кривые с такой формой использовались в качестве общего топографического препятствия в потоке в математическом моделировании. ^{[32] [33]} Одиночные волны в глубокой воде также могут принимать эту форму. ^{[34] [35]}

Версия этой кривой была использована Готфридом Вильгельмом Лейбницем для вывода формулы Лейбница для π . Эта формула, бесконечный ряд, может быть получена путем приравнивания площади под кривой к интегралу функции , используя разложение этой функции в ряд Тейлора как бесконечного геометрического ряда и интегрируя почленно. ^[7] $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots ,}$$ ${\displaystyle 1/(1+x^{2})}$ ${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots }$

В популярной культуре

Ведьма Агнеси — название романа Роберта Шпиллера. В нем есть сцена, в которой учительница дает версию истории термина. ^[36]

Witch of Agnesi — также название музыкального альбома джазового квартета Radius. На обложке альбома изображено сооружение ведьмы. ^[37]

Ссылки

1. Wolfram MathWorld, Ведьма Агнеси
2. Линн М. Осен: Женщины в математике. MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1975, ISBN 0-262-15014-X, С. 45.
3. Саймон Сингх : Загадка Ферма. Поиски решения величайшей математической проблемы мира. Walker Books, Нью-Йорк 1997, ISBN 0-471-27047-4, С. 100.
4. Дэвид Дж. Дарлинг: Универсальная книга математики. От абракадабры до парадоксов Зенона. Wiley International, Hoboken NJ 2004, ISBN 0-8027-1331-9, S. 8.
5. Иглз, Томас Генри (1885), «Ведьма из Агнеси», Конструктивная геометрия плоских кривых: с многочисленными примерами , Macmillan and Company, стр. 313–314
6. Лоуренс, Дж. Деннис (2013), "4.3 Ведьма Аньези (Ферма, 1666; Аньези, 1748)", Каталог специальных плоских кривых , Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, стр. 90–93, ISBN 9780486167664
7. Йейтс, Роберт С. (1954), «Ведьма Агнеси», Кривые и их свойства (PDF) , Классика математического образования, т. 4, Национальный совет преподавателей математики, стр. 237–238
8. Коэн, Дэвид В.; Хенле, Джеймс М. (2005), Исчисление: язык изменений, Jones & Bartlett Learning, стр. 351, ISBN 9780763729479
9. Ларсен, Гарольд Д. (январь 1946), «Ведьма Агнеси», School Science and Mathematics , 46 (1): 57–62, doi :10.1111/j.1949-8594.1946.tb04418.x
10. Гибсон, К. Г. (2001), Элементарная геометрия дифференцируемых кривых: введение в бакалавриат , Кембридж: Cambridge University Press, упражнение 9.1.9, стр. 131, doi : 10.1017/CBO9781139173377, ISBN 0-521-80453-1, г-н  1855907
11. Haftendorn, Dörte (2017), «4.1 Versiera, die Hexencurve», Kurven erkunden und verstehen (на немецком языке), Springer, стр. 79–91, doi : 10.1007/978-3-658-14749-5, ISBN 978-3-658-14748-8. О соприкасающемся круге см., в частности, с. 81: «Der erzeugende Kreis ist der Krümmungskreis der weiten Versiera in ihrem Scheitel».
12. Липсман, Рональд Л.; Розенберг, Джонатан М. (2017), Многомерное исчисление с MATLAB®: с приложениями к геометрии и физике, Springer, стр. 42, ISBN 9783319650708Окружность «целует» кривую с точностью до второго порядка, поэтому она называется соприкасающейся окружностью (от латинского слова «целующаяся»).
13. Фукс, Дмитрий ; Табачников, Сергей (2007), Математический омнибус: Тридцать лекций по классической математике, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 142, doi : 10.1090/mbk/046, ISBN 978-0-8218-4316-1, г-н  2350979
14. Арнольд, VI (2005), «Принцип топологической экономии в алгебраической геометрии», Обзоры современной математики , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 321, Кембридж: Cambridge University Press, стр. 13–23, doi : 10.1017/CBO9780511614156.003, ISBN 978-0-521-54793-2, г-н  2166922. См. в частности стр. 15–16.
15. Аньези, Мария Гаэтана (1748), Аналитические институты для использования в ИталииСм. в частности задачу 3, стр. 380–382 и рис. 135.
16. де Ферма, Пьер (1891), Oevres (на латыни), том. 1, Готье-Виллар и др., стр. 280–285.
17. Паради, Жауме; Пла, Хосеп; Виадер, Пелегри (2008), «Метод квадратуры Ферма», Revue d'Histoire des Mathématiques , 14 (1): 5–51, MR  2493381, заархивировано из оригинала 8 августа 2019 г. , получено 18 мая 2018 г.
18. Стиглер, Стивен М. (август 1974 г.), «Исследования по истории вероятности и статистики. XXXIII. Коши и ведьма из Аньези: историческая заметка о распределении Коши», Biometrika , 61 (2): 375–380, doi :10.1093/biomet/61.2.375, JSTOR  2334368, MR  0370838
19. В своих примечаниях к «Trattato del moto naturalmente Accelerato» Галилея Гранди упомянул «quella curva che io descrivo nel mio libro delle Quadture [1703], alla prop. IV, nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi Versiera». , на латиноамериканском языке, Però Versoria ». См. Галилей, Опера , 3: 393. Новый термин можно найти у Лоренцо Лоренцини, Exercitatio geometraa , xxxi: «сидеть pro exemplo curva illa, quam Doctissimus magnusque geometra Guido Grandus versoria nominat».
20. Truesdell, C. (1991), «Исправления и дополнения к «Марии Гаэтане Аньези»", Архив истории точных наук , 43 (4): 385–386, doi : 10.1007/BF00374764 , […] nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi la Versiera в латинском языке, Però Versoria […]
21. Гранди, Г. (1718), «Note al trattato del Galileo del moto naturale Accellerato», Opera Di Galileo Galilei (на итальянском языке), том. III, Флоренция, с. 393. Как цитирует Стиглер (1974).
22. Перевод работы Агнеси по этой кривой можно найти в: Struik, Dirk J. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200–1800, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, стр. 178–180
23. Пьетро Фанфани , Vocabolario dell'uso toscano , с. 334
24. Малкрон, ТФ (1957), «Имена кривой Агнеси», American Mathematical Monthly , 64 (5): 359–361, doi :10.2307/2309605, JSTOR  2309605, MR  0085163
25. Сингх, Саймон (1997), Загадка Ферма: Эпический поиск решения величайшей математической проблемы мира , Нью-Йорк: Walker and Company, стр. 100, ISBN 0-8027-1331-9, г-н  1491363
26. Дарлинг, Дэвид (2004), Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона , Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, стр. 8, ISBN 0-471-27047-4, МР  2078978
27. Оксфордский словарь английского языка, Oxford University Press, 2018, witch, n.2 , 4(e) , получено 3 июля 2018 г. , 1875 г. Б. Уильямсон Элемент. Краткая информация. Интегральное исчисление vii. 173 Найдите площадь между ведьмой Агнеси и ее асимптотой. ${\displaystyle xy^{2}=4a^{2}(2a-x)}$
28. Александр, Дж. Маккензи (2012), «Теория принятия решений встречает Ведьму Агнеси», Журнал философии , 109 (12): 712–727, doi :10.5840/jphil20121091233
29. Купиллари, Антонелла ; ДеТомас, Элизабет (весна 2007 г.), «Разоблачение колдовского поведения функции Рунге», Математика и компьютерное образование , 41 (2): 143–156, ProQuest  235858817
30. Спенсер, Рой К. (сентябрь 1940 г.), «Свойства ведьмы Агнеси — применение для подгонки форм спектральных линий», Журнал оптического общества Америки , 30 (9): 415, Bibcode : 1940JOSA...30..415S, doi : 10.1364/josa.30.000415
31. Коппин, PA; Брэдли, EF; Финниган, JJ (апрель 1994 г.), "Измерения потока над удлиненным хребтом и его зависимость от тепловой устойчивости: среднее поле", Boundary-Layer Meteorology , 69 (1–2): 173–199, Bibcode : 1994BoLMe..69..173C, doi : 10.1007/bf00713302, S2CID  119956741, Полезной общей формой для формы холма является так называемый профиль "Ведьмы Агнеси"
32. Снайдер, Уильям Х.; Томпсон, Роджер С.; Эскридж, Роберт Э.; Лоусон, Роберт Э.; Кастро, Ян П.; Ли, Дж. Т.; Хант, Джулиан К. Р.; Огава, Ясуши (март 1985 г.), «Структура сильно стратифицированного потока над холмами: концепция разделяющей линии тока», Журнал механики жидкости , 152 (–1): 249, Bibcode : 1985JFM...152..249S, doi : 10.1017/s0022112085000684, S2CID  123563729
33. Лэмб, Кевин Г. (февраль 1994 г.), «Численное моделирование стратифицированного невязкого течения над гладким препятствием» (PDF) , Журнал механики жидкости , 260 (–1): 1, Bibcode : 1994JFM...260....1L, doi : 10.1017/s0022112094003411, S2CID  49355530, архивировано из оригинала (PDF) 6 января 2014 г.
34. Бенджамин, Т. Брук (сентябрь 1967 г.), «Внутренние волны постоянной формы в жидкостях большой глубины», Журнал механики жидкости , 29 (3): 559, Bibcode : 1967JFM....29..559B, doi : 10.1017/s002211206700103x, S2CID  123065419
35. Нунан, Джули А.; Смит, Роджер К. (сентябрь 1985 г.), «Линейные и слабонелинейные внутренние волновые теории, применяемые к волнам «утренней славы»», Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics , 33 (1–4): 123–143, Bibcode : 1985GApFD..33..123N, doi : 10.1080/03091928508245426
36. Филлипс, Дэйв (12 сентября 2006 г.), «Местный учитель, автор воплощает математику в книгах», The Gazette
37. Radius – Witch Of Agnesi (Plutonium Records, 2002), Discogs , получено 28 мая 2018 г.

Внешние ссылки

• «Ведьма из Агнеси» в индексе знаменитых кривых MacTutor
• Вайсштейн, Эрик В. , «Ведьма Агнеси», MathWorld
• «Ведьма из Агнеси» Криса Буше, основанная на работе Эрика В. Вайсштейна « Проект демонстраций Вольфрама» .
• «Ведьма Агнеси» на «mathcurve»
• Лэмб, Эвелин (28 мая 2018 г.), «Несколько моих любимых мест: Ведьма Агнеси», Roots of Unity , Scientific American