Спаривание Вейля

Бинарная функция, невырожденная, определенная между точкой поворота абелева многообразия

В математике спаривание Вейля — это спаривание ( билинейная форма , хотя и с мультипликативной записью ) на точках порядка, делящих n эллиптической кривой E , принимающих значения в корнях n- й степени из единицы . В более общем случае существует похожее спаривание Вейля между точками порядка n абелева многообразия и его двойственного. Оно было введено Андре Вейлем (1940) для якобианов кривых, который дал абстрактное алгебраическое определение; соответствующие результаты для эллиптических функций были известны и могут быть выражены просто с помощью сигма-функции Вейерштрасса .

Формулировка

Выберем эллиптическую кривую E, определенную над полем K , и целое число n  > 0 (мы требуем, чтобы n было взаимно простым с char( K ), если char( K ) > 0), такое, что K содержит примитивный корень n-й степени из единицы . Тогда n -кручение на известно, что является декартовым произведением двух циклических групп порядка n . Спаривание Вейля дает корень n -й степени из единицы ${\displaystyle E({\overline {K}})}$

${\displaystyle w(P,Q)\in \mu _{n}}$

с помощью теории Куммера для любых двух точек , где и . ${\displaystyle P,Q\in E(K)[n]}$ ${\displaystyle E(K)[n]=\{T\in E(K)\mid n\cdot T=O\}}$ ${\displaystyle \mu _{n}=\{x\in K\mid x^{n}=1\}}$

Простая конструкция спаривания Вейля выглядит следующим образом. Выберем функцию F в функциональном поле E над алгебраическим замыканием K с делителем

${\displaystyle \mathrm {div} (F)=\sum _{0\leq k<n}[P+k\cdot Q]-\sum _{0\leq k<n}[k\cdot Q].}$

Итак, F имеет простой ноль в каждой точке P + kQ и простой полюс в каждой точке kQ, если все эти точки различны. Тогда F хорошо определена с точностью до умножения на константу. Если G — это перенос F на Q , то по построению G имеет тот же делитель, поэтому функция G/F является константой.

Поэтому, если мы определим

${\displaystyle w(P,Q):={\frac {G}{F}}}$

мы будем иметь корень n-й степени из единицы (поскольку перевод n раз должен давать 1), отличный от 1. Используя это определение, можно показать, что w является знакопеременным и билинейным, ^[1] что приводит к невырожденному спариванию на n -кручении.

Спаривание Вейля не распространяется на спаривание во всех точках кручения (прямой предел n -точек кручения), поскольку спаривания для разных n не одинаковы. Однако они подходят друг другу, чтобы дать спаривание T _ℓ ( E ) × T _ℓ ( E ) → T _ℓ (μ) на модуле Тейта T _ℓ ( E ) эллиптической кривой E (обратный предел ℓ ⁿ -точек кручения) к модулю Тейта T _ℓ (μ) мультипликативной группы (обратный предел ℓ ⁿ корней из единицы).

Обобщение на абелевы многообразия

Для абелевых многообразий над алгебраически замкнутым полем K спаривание Вейля является невырожденным спариванием

${\displaystyle A[n]\times A^{\vee }[n]\longrightarrow \mu _{n}}$

для всех n, простых по отношению к характеристике K . ^[2] Здесь обозначает двойственное абелево многообразие A . Это так называемое спаривание Вейля для более высоких размерностей. Если A снабжено поляризацией ${\displaystyle A^{\vee }}$

${\displaystyle \lambda :A\longrightarrow A^{\vee }}$,

тогда композиция дает (возможно вырожденное) спаривание

${\displaystyle A[n]\times A[n]\longrightarrow \mu _{n}.}$

Если C — проективная неособая кривая рода ≥ 0 над k , а J — ее якобиан , то тета-дивизор J индуцирует главную поляризацию J , которая в этом конкретном случае оказывается изоморфизмом (см. автодуальность якобианов ). Следовательно, составление спаривания Вейля для J с поляризацией дает невырожденное спаривание

${\displaystyle J[n]\times J[n]\longrightarrow \mu _{n}}$

для всех n, простых с характеристикой k .

Как и в случае эллиптических кривых, явные формулы для этого спаривания могут быть даны в терминах делителей C.

Приложения

Такое спаривание используется в теории чисел и алгебраической геометрии , а также применяется в криптографии на основе эллиптических кривых и шифровании на основе идентификации .

Смотрите также

• Сочетание Тейт
• Криптография на основе парного шифрования
• Схема Боне-Франклина
• Гомоморфные сигнатуры для сетевого кодирования

Ссылки

1. Сильверман, Джозеф (1986). Арифметика эллиптических кривых . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4.
2. Джеймс Милн , Абелевы многообразия , доступно на www.jmilne.org/math/

• Вейль, Андре (1940), «Sur les fonctions algébriques à corps de Constantes Fini», Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 210 : 592–594, MR  0002863

Внешние ссылки

• Спаривание Вейля на эллиптических кривых над C (PDF)