Векторы разума [1] — книга американского психолога Луиса Леона Терстоуна , опубликованная в 1935 году, в которой обобщена методология Терстоуна для многофакторного анализа. [2]
Векторы разума представляют методы Терстоуна для проведения факторного анализа на наборе переменных, которые допускают более одного фактора, важное расширение метода унифактора Спирмена. Наличие нескольких факторов добавляет существенные сложности, и большая часть книги сосредоточена на проблеме вращения. Она пытается решить эту проблему, предоставляя объективную основу для факторов вращения, называемую простой структурой, и выступает за использование косых (коррелированных) факторов для достижения простой структуры. Книга использует его центроидный метод извлечения факторов, который сделал возможным выполнение трудоемких вычислений, необходимых для факторного анализа, в то время, когда быстрые электронные компьютеры даже не были воображаемы. Это преимущественно техническая книга, которая в значительной степени опирается на математические представления и приводит множество числовых примеров. Однако первые главы углубляются в философские вопросы природы науки и представляют понимание Терстоуном теории измерений.
Предисловие. Эта книга расширяет и представляет более формально выводы из статьи автора « Множественный факторный анализ» 1931 года. Автор отмечает, что он только недавно изучил теорию матриц и предполагает, что другие психологи имели схожие ограничения в своей подготовке. Он считает существующие учебники по этой теме неадекватными, и книга начинается с представления теории матриц, написанной для тех, кто имеет высшее образование по аналитической геометрии и исчислению действительных чисел. Автор выражает признательность различным профессорам математического факультета Чикагского университета за помощь в развитии его идей. Он также выражает признательность своему компьютеру (человеку, Леоне Чезире), который также написал приложение о вычислениях, используемых в методе центроида. Он предвидит светлое будущее использования факторного анализа и ожидает увидеть упрощение вычислительных методов. Он ожидает, что факторный анализ станет важным методом на ранних этапах развития науки. Например, законы классической механики могли быть выявлены с помощью факторного анализа, путем анализа большого количества атрибутов объектов, которые падают или бросаются с возвышенной точки, с фактором времени падения, не коррелирующим с фактором веса. Работа Сьюэлла Райта по коэффициентам пути и Трумэна Л. Келли по множественным факторам отличается от факторного анализа, который Терстоун рассматривает как расширение работы профессора Спирмена.
Математическое введение. Краткое представление матриц, определителей, умножения матриц, диагональных матриц, обратных матриц, характеристического уравнения, записи суммирования, линейной зависимости, геометрических интерпретаций, ортогональных преобразований и косоугольных преобразований.
Глава I. Проблема факторов. Природные явления постижимы только через конструкции, которые являются изобретениями человека. Научный закон не является частью природы; это всего лишь способ понимания природы человеком. Приводятся примеры таких искусственных конструкций из физики. Он отвечает на скептицизм практиков «строгой науки» относительно того, что человеческое поведение может быть когда-либо введено в лоно такой науки, указывая на то, что в физических событиях существует значительная индивидуальность, даже если они описываются строгими научными законами, такими как тот факт, что каждый взрыв уникален. Человеческие способности являются причиной индивидуальных различий в «выполнении задачи». Наука психология сведет большое количество психологических способностей к первичным референтным чертам. Приводятся формальные определения для понятий черта, способность, тест, оценка, линейная независимость, статистическая независимость, экспериментальная независимость, референтные способности, первичные способности и унитарная способность. Эти концепции составляют теорию измерения, которая определяет факторы, общие для всех тестов в батарее — общность тестовой батареи, специфический фактор, уникальный для одного теста — специфичность теста, и дисперсию ошибки. Факторный анализ может определить общность теста, но не может разделить уникальность на специфический фактор и факторы ошибки. Коэффициент надежности — это сумма общности и специфичности теста.
Глава II. Теорема о фундаментальном факторе. Факторная матрица, умноженная на транспонированную, дает редуцированную корреляционную матрицу: это фундаментальная факторная теорема. Задача факторного анализа — найти факторную матрицу наименьшего возможного ранга (наименьшего числа факторов), которая может воспроизвести недиагональные члены наблюдаемой корреляционной матрицы настолько близко, насколько это можно ожидать, учитывая вариацию выборки. Основная часть главы рассматривает математические вопросы, включая ранг матрицы и методы оценки общностей корреляционной матрицы (диагональные элементы).
Глава III: Метод центроида. Разработан метод вычисления для факторизации корреляционной матрицы, которая является симметричной матрицей действительных элементов. После концептуального представления метода приведены некоторые рабочие примеры, включая один с восемью переменными и другой с пятнадцатью переменными, которые разлагаются на четыре фактора. Механика вычислений приведена в Приложении I, в котором приведены конкретные шаги для выполнения вычисления (алгоритм).
Глава IV: Главные оси. Представлен метод определения желаемого поворота ортогональных факторов, называемых главными осями. Приведены математические основы, а также примеры работы. Этот подход отличается от метода Хотеллинга, который, по мнению автора, имеет ограниченную полезность для факторного анализа. Неповернутые решения для 15 психологических тестов, приведенных в главе III, повернуты к их главным осям.
Глава V: Особый случай ранга один. Спирмен представил факторный анализ с одним фактором (матрица с рангом один) тридцать лет назад, но недавние достижения сделали возможным распространение факторного анализа на несколько факторов. Подробно описаны недостатки метода тетрадных различий Спирмена, и текущий подход признан более точным. Приведен числовой пример.
Глава VI: Первичные черты . Вращение не влияет на результаты теоремы о фундаментальном факторе. Все вращения приводят к одной и той же сокращенной корреляционной матрице, поэтому для определения наилучшего вращения необходимо использовать другие критерии. Критерии относятся к «простой структуре»: в книге представлены очень подробные критерии для простой структуры, но в более общем плане она состоит из минимизации количества нагрузок для каждой переменной и широкой дисперсии для нагрузок каждого фактора. Реализация простой структуры может потребовать использования косых (коррелированных) факторов. Приведены три дополнительных критерия, которые определяют, когда простая структура уникальна. Разработаны графические и математические методы для понимания и определения структуры, которая выявляет первичные черты — научная цель факторного анализа. Предыдущий отработанный пример пятнадцати психологических черт вращается до косой простой структуры, чтобы выявить три взаимосвязанных первичных черты.
Главы VII - X: В остальных главах рассматриваются более конкретные детали и проблемы, которые могут возникнуть. В главе VII рассматриваются несколько методов выделения первичных черт с приведением числовых примеров. В главе VIII рассматриваются методологические проблемы, которые могут возникнуть, когда корреляционная матрица имеет отрицательные корреляции. Хотя большинство научных исследований первичных способностей влекут за собой косые факторы, существуют ситуации, когда факторы, скорее всего, будут ортогональными. В главе IX рассматриваются методы достижения ортогональных вращений. Результаты факторного анализа можно использовать для оценки баллов каждого человека по первичным способностям на основе баллов человека по тестам. В главе X представлен метод получения весов регрессии для оценки первичных способностей из баллов субъекта, а также для оценки баллов субъекта по первичным чертам (для оценки компонентов дисперсии баллов субъекта).
Приложения. I: Схема вычислений для метода центроида с неизвестными диагоналями. II: Метод нахождения корней многочлена. III: Метод определения квадратного корня на счетной машине.
В 1904 году Чарльз Спирмен опубликовал статью, которая в значительной степени заложила основу области психометрии и включала грубую форму факторного анализа, которая пыталась определить, является ли однофакторная модель подходящей. [3] Последующая работа по факторному анализу была ограничена, пока Терстоун не опубликовал статью в 1931 году под названием « Множественный факторный анализ» , [4] которая расширила однофакторный анализ Спирмена, включив в него более одного фактора. В 1932 году Хотеллинг представил более точный метод извлечения факторов, который он назвал анализом главных компонентов . [5] Терстоун отверг подход Хотеллинга, поскольку он установил общности на уровне 1,0, и Терстоун понял, что это приведет к искажениям в факторных нагрузках, когда переменные включают уникальные компоненты. Метод Хотеллинга также был ограничен тем фактом, что он требовал слишком много вычислений, чтобы его можно было использовать с более чем десятью переменными. [6] Через год после статьи Хотеллинга Терстоун представил более эффективный способ извлечения факторов, называемый методом центроида, [7], который позволял проводить факторный анализ гораздо большего числа переменных. Позже в том же году он выступил с президентским обращением к Американской психологической ассоциации , в котором представил результаты нескольких факторных анализов, включая факторный анализ 60 прилагательных, описывающих черты личности, показав, как их можно свести к пяти чертам личности. Он также представил анализы 37 симптомов психического здоровья, отношения к 12 спорным социальным проблемам и 9 тестов IQ. [8] В этих анализах Терстоун использовал тетрахорические коэффициенты корреляции, метод оценки непрерывных корреляций переменных из дихотомических переменных. Тетрахорические требуют обширных вычислений, но в начале 1933 года он и двое его коллег из Чикагского университета опубликовали набор вычислительных диаграмм, которые значительно сокращают вычисления, необходимые для этих коэффициентов, [9] еще один аспект того, как сделать его метод факторного анализа практичным с большим количеством переменных. Его президентское обращение 1933 года было опубликовано в начале 1934 года под названием Векторы разума . В нем отсутствовали методологические и математические детали его техники, которая затем стала предметом этой книги. На конференции 2004 года под названием «Факторный анализ на 100-м году» была выпущена книга с двумя главами, в которых документируется историческая важность вклада Терстоуна в факторный анализ. [10] [11]Подход Терстоуна к факторному анализу остается важным методом в психологических исследованиях, и с тех пор он использовался во многих других областях изучения. [12] В настоящее время он считается частью семейства методов анализа ковариационной структуры переменных, которое включает анализ главных компонентов, исследовательский факторный анализ , подтверждающий факторный анализ и моделирование структурных уравнений . [13]