Доказательство без слов

Математическое доказательство, выраженное визуально

Доказательство без слов теоремы Никомаха (Галли (2010)) о том, что сумма первых n кубов равна квадрату n - го треугольного числа

В математике доказательство без слов (или визуальное доказательство ) — это иллюстрация тождества или математического утверждения, которое может быть продемонстрировано как самоочевидное с помощью диаграммы без какого-либо сопровождающего пояснительного текста. Такие доказательства можно считать более элегантными, чем формальные или математически строгие доказательства, из-за их самоочевидной природы. ^[1] Когда диаграмма демонстрирует частный случай общего утверждения, чтобы быть доказательством, она должна быть обобщаемой. ^[2]

Доказательство без слов не то же самое, что математическое доказательство , потому что оно опускает детали логического аргумента, который оно иллюстрирует. Однако оно может предоставить зрителю ценные интуиции, которые могут помочь ему сформулировать или лучше понять истинное доказательство.

Примеры

Сумма нечетных чисел

Доказательство без слов для теоремы о сумме нечетных чисел

Утверждение о том, что сумма всех положительных нечетных чисел до 2 n  − 1 является полным квадратом — точнее, полным квадратом n ² — можно продемонстрировать с помощью доказательства без слов. ^[3]

В одном углу сетки один блок представляет 1, первый квадрат. Его можно обернуть с двух сторон полосой из трех блоков (следующее нечетное число), чтобы получился блок 2 × 2: 4, второй квадрат. Добавление еще пяти блоков дает блок 3 × 3: 9, третий квадрат. Этот процесс можно продолжать бесконечно.

Теорема Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора перестановкой. Непокрытая площадь серого пространства остается постоянной до и после перестановки треугольников: слева она показана равной c² , а справа a²+b² .

Теорема Пифагора , которую можно доказать без слов. ^[4] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Один из методов сделать это — визуализировать больший квадрат со сторонами , с четырьмя прямоугольными треугольниками со сторонами , и в его углах, так что пространство в середине представляет собой диагональный квадрат с площадью . Четыре треугольника можно переставить внутри большего квадрата, чтобы разделить его неиспользуемое пространство на два квадрата и . ^[5] ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}}$

Неравенство Йенсена

Графическое доказательство неравенства Йенсена

Неравенство Йенсена также можно доказать графически. Пунктирная кривая вдоль оси X — это гипотетическое распределение X , тогда как пунктирная кривая вдоль оси Y — это соответствующее распределение значений Y. Выпуклое отображение Y ( X ) все больше «растягивает» распределение для возрастающих значений X . ^[6]

Использование

Mathematics Magazine и College Mathematics Journal регулярно публикуют статью под названием «Доказательство без слов», содержащую, как следует из названия, доказательства без слов. ^[3] На веб-сайтах The Art of Problem Solving и USAMTS размещены Java-апплеты, иллюстрирующие доказательства без слов. ^{[7] [8]}

По сравнению с формальными доказательствами

Для того чтобы доказательство было принято математическим сообществом, оно должно логически показать, как утверждение, которое оно стремится доказать, полностью и неизбежно следует из набора предположений . ^[9] Доказательство без слов может подразумевать такой аргумент, но оно не делает его напрямую, поэтому оно не может заменить формальное доказательство там, где оно требуется. ^{[10] [11]} Скорее, математики используют доказательства без слов в качестве иллюстраций и учебных пособий для идей, которые уже были доказаны формально. ^{[12] [13]}

Смотрите также

• Теорема о пицце  – Равенство площадей разрезанного диска
• Философия математики
• Теория доказательств  – Раздел математической логики
• Визуальное исчисление  – Наглядные математические доказательства

Примечания

1. Данхэм 1994, стр. 120
2. Вайсштейн, Эрик В. «Доказательство без слов». MathWorld .Получено 2008-6-20
3. Dunham 1994, стр. 121
4. Нельсен 1997, стр. 3
5. Бенсон, Дональд. Момент доказательства: математические озарения , стр. 172–173 (Oxford University Press, 1999).
6. МакШейн, Э. Дж. (1937), «Неравенство Дженсена», Бюллетень Американского математического общества , т. 43, № 8, Американское математическое общество, стр. 527, doi : 10.1090/S0002-9904-1937-06588-8
7. Галерея доказательств, Искусство решения проблем , получено 28.05.2015
8. Галерея доказательств, USA Mathematical Talent Search , получено 28.05.2015
9. Ланг, Серж (1971). Основы математики . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company. стр. 94. Мы всегда стараемся ясно представлять себе, что мы предполагаем и что мы доказываем. Под «доказательством» мы подразумеваем последовательность утверждений, каждое из которых либо предполагается, либо следует из предыдущих утверждений по правилу дедукции, которое само предполагается.
10. Бенсон, Стив; Эддингтон, Сьюзен; Аршавски, Нина; Куоко; Эл; Голденберг, Э. Пол; Карновски, Эрик (6 октября 2004 г.). Руководство для модераторов по способам размышления о математике (иллюстрированное издание). Corwin Press. стр. 78. ISBN 9781412905206. Доказательства без слов, строго говоря, не являются доказательствами , поскольку в них обычно отсутствуют детали.
11. Спивак, Майкл (2008). Calculus (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc. стр. 138. ISBN 978-0-914098-91-1. Однако аргументация, основанная на геометрической картине, не является доказательством...
12. Бенсон, Стив; Эддингтон, Сьюзен; Аршавски, Нина; Куоко; Эл; Голденберг, Э. Пол; Карновски, Эрик (6 октября 2004 г.). Руководство для модераторов по способам размышления о математике (иллюстрированное издание). Corwin Press. стр. 78. ISBN 9781412905206. Однако, поскольку большинство доказательств без слов носят визуальный характер, они часто служат напоминанием или намеком на то, чего не хватает.
13. Шульте, Том (12 января 2011 г.). «Доказательства без слов: упражнения по визуальному мышлению (обзор)». Обзоры MAA . Математическая ассоциация Америки . Получено 26 октября 2022 г. Эта тонкая коллекция разнообразных визуальных «доказательств» (термин, как можно утверждать, здесь применяется вольно) развлекает и просвещает. Я лично нахожу такие представления увлекательными и стимулирующими, помогающими в тот момент «ага!», когда символический аргумент, кажется, не проясняет.

Ссылки

• Данэм, Уильям (1994), Математическая вселенная , John Wiley and Sons, ISBN 0-471-53656-3
• Нельсен, Роджер Б. (1997), Доказательства без слов: упражнения по визуальному мышлению , Математическая ассоциация Америки, стр. 160, ISBN 978-0-88385-700-7
• Нельсен, Роджер Б. (2000), Доказательства без слов II: Дополнительные упражнения по визуальному мышлению, Математическая ассоциация Америки, стр. 142, ISBN 0-88385-721-9
• Галли, Нед (4 марта 2010 г.), Шур, Лорен (ред.), Теорема Никомаха, Matlab Central.