Википедия:Оценка того, насколько интересны математические свойства целого числа

Ярлык

• ВП:1729

Советы, которые недавно были подтверждены членами WikiProject, см. в WikiProject Numbers/Guidelines .

Почти каждый, кто хотя бы поверхностно знаком с теорией чисел, знает анекдот о том, как математики Харди и Рамануджан говорили о кажущейся неинтересности числа 1729 .

В контексте Википедии, Wikipedia:WikiProject Numbers просит собрать три интересных свойства числа, прежде чем даже рассматривать возможность создания статьи об этом числе.

Иногда есть согласие, что данное математическое свойство интересно (например, что 1729 является суммой двух кубов двумя разными способами), так что нет никаких проблем. В других случаях есть разногласия, и необходим какой-то способ измерения интересности свойства по отношению к данному числу.

Надеюсь, следующая анкета окажется полезной в таких ситуациях, помогая оценить, насколько интересным является математическое свойство целого числа . Обратите внимание, что цель этой анкеты — помочь определить, является ли математическое свойство достаточно интересным, чтобы создать статью о данном числе. Для статьи о числе может быть приемлемо упомянуть свойства, которые изначально не считались достаточно интересными, чтобы оправдать статью, при условии, что будут упомянуты и свойства, которые были достаточно интересны.

Анкета

Число N обладает математическим свойством, заключающимся в том, что булева функция f ( N ) = True.

1. Сколько n < 10 ⁷ НЕ имеют этого свойства, общего с числом N ? Если вычисление требует слишком больших вычислительных затрат, приемлема эвристическая оценка или даже грубая догадка. Эта сумма — начальное количество баллов, присвоенных математическому свойству целого числа.

2. Написал ли профессиональный математик рецензируемую статью или книгу об этом свойстве, в которой конкретно упоминается число N ?

ДА . Каково число Эрдёша Ő математика? (Если это сам Эрдёш, пусть Ő = 1, чтобы избежать деления на 0 на этом этапе). Разделите баллы из вопроса 1 на Ő и округлите при необходимости. В качестве альтернативы, поскольку у более ранних математиков (например, Леонарда Эйлера ) нет чисел Эрдёша, назначьте математику статью с высшим приоритетом Ő = 1, высоким приоритетом Ő = 3, средним приоритетом Ő = 5 и низким/неоцененным приоритетом Ő = 10. Если математик достаточно известен для включения в Википедию, но не имеет известного числа Эрдёша, предположите Ő = 10.

НЕТ . Вычтите 10 ⁷ баллов.

3. В списке чисел со свойством, отсортированном по возрастанию, на какой позиции k находится число N ? Вычтите ( k  − 1) из баллов вопроса 2.

4. Может ли f ( N ) = Ложь в другой системе счисления b ?

НЕТ . Перейдите к вопросу 5.

ДА . Для оснований 1 < b < 17 вычислите f ( N ). За каждое True присудите b очков. За каждое False вычтите bN очков.

5. Содержит ли последовательность чисел с f ( N ) = True в OEIS Слоуна конкретно число N в поле «Последовательность» или «Подписано»?

ДА . Присудите номер А последовательности в качестве очков.

НЕТ . Перейдите к вопросу 7.

6. Какие ключевые слова есть в поле «Ключевые слова» последовательности?

core . Вычтите A-номер последовательности из A-номера последней добавленной последовательности. Присудите эту разницу в виде очков.

Хорошо . Присудите A-номер последовательности в качестве очков.

Снова присудите A-номер последовательности в качестве очков.

Еще раз присудите номер А последовательности в качестве очков.

база . Убедитесь, что вы не пропустили вопрос 4.

меньше . Вычтите число А последовательности в виде очков.

Любые другие . Дайте каждому очко.

7. Сколько всего точек?

баллов > 0. Интересно свойство по отношению к числу.

баллы = 0. Это ваш выбор.

баллов < 0. Свойство по отношению к числу НЕ интересно.

Примеры

1729

Для примера предположим, что статьи о числе 1729 нет. Салли записала несколько свойств этого числа, а именно:

• 1729 год — странный.
  • 1. Начиная с 5 × 10 ⁶ баллов.
    2. Математики, конечно, писали статьи о четности, но Салли не хочет искать ту, в которой конкретно упоминается 1729. Поэтому вычитается 10 ^{7 баллов, и остается -5 × 10 6} баллов.
    3. В списке нечетных чисел число 1729 находится на позиции 865, так что теперь имеется -5000864 очков.
    4. Число 1729 является нечетным независимо от основания, поэтому вопрос пропускается.
    5. Наибольшее нечетное целое число в поле последовательности Слоана (последовательность A005408 в OEIS ) равно 131.
    6. Вопрос пропущен.
    7. Всего точек -5000864, ​​а это значит, что неинтересно , что 1729 — нечетное число.

• 1729 — это число Кармайкла .
  • 1. 512461 — 33-е число Кармайкла, поэтому Салли предполагает, что существует около 65 чисел Кармайкла ниже 10 ^7. Таким образом, Салли начинает с 9999935 точек.
    2. Вацлав Серпинский написал статью под названием «Выбор задач по теории чисел». Индекс сообщает Салли, что статья посвящена числам Кармайкла на странице 51. У Серпинского число Эрдёша равно 2, поэтому умножаем начальные точки на 1/2, и теперь получается 4999968 точек.
    3. В списке чисел Кармайкла на третьем месте стоит 1729. Теперь их 4999966.
    4. Вопрос пропущен.
    5. 1729 действительно появляется в OEIS Слоана : A002997 . Начислите 2997 очков, доведя общее количество до 5002963.
    6. A002997 имеет ключевое слово nice, поэтому присуждаем еще 2997 очков. Также имеет ключевые слова nonn и easy, поэтому присуждаем 2 очка.
    7. Всего точек 5005962, поэтому интересно , что 1729 — это число Кармайкла.
       
• 1729 — это число Харшад .
  • 1. Существует 11872 числа Харшад ниже 10 ⁵ , поэтому Салли предполагает, что существует 1187200 чисел ниже 10 ⁷ . Итак, начнем с 8812800 точек.
    2. Салли предполагает, что хотя математики и написали статьи о числах Харшад и о 1729, вероятно, никто не написал статью о том, что 1729 — это число Харшад. Так что у нас осталось -1187200 очков.
    3. 1729 — 364-е число Харшада, что позволяет нам снизить число до -1187563 пунктов.
    4. 1729 также является числом Харшад в системах счисления с основаниями 4, 5, 7, 8, 13 и 16. Это приводит нас к -1187510. Но это не Харшад в системах счисления с основаниями 2, 3, 6, 9, 11, 12, 14 или 15, что снижает количество очков до -1291250.
    5. Наибольшее число Харшад в поле последовательности OEIS Слоана : A005349 — 204.
    6. Вопрос пропущен.
    7. Всего точек -1291250, а это значит, что неинтересно , что 1729 — это число Харшад.

• 1729 — это номер такси , его можно выразить как сумму двух кубов двумя различными способами.
  • 1. ^{Таких чисел меньше 10 5} существует десять , поэтому Салли предполагает, что их меньше 10 ⁷ — 1000. Итак, начнем с 9999000 точек.
    2. GH Hardy писал об этом свойстве в 1729 году в своей книге о лекциях Рамануджана. У Харди число Эрдёша Ő = 2. Теперь у нас 4999500 точек.
    3. 1729 — это самое первое число с таким свойством, так что это даже не влияет на количество очков.
    4. Вопрос пропущен.
    5. В OEIS Слоана : A001235 в поле «Последовательность» указано значение 1729, что доводит количество очков до 5000735.
    6. В поле «Ключевое слово» указано ключевое слово «nice», поэтому начислите еще 1235 баллов плюс 1 балл за ключевое слово «nonn».
    7. Всего имеется 5001971 точек, поэтому интересно , что 1729 можно выразить в виде суммы двух кубов двумя различными способами.

• 1729 — это число Цейзеля.
  • 1. Существует 24 числа Цейзеля, меньших миллиона, поэтому Салли предполагает, что существует 240 чисел, меньших десяти миллионов. Итак, начнем с 9999760 точек.
    2. Единственная печатная ссылка, которую Салли смогла найти, находится в CRC Concise Encyclopedia of Mathematics Эрика В. Вайсстейна . Салли не знает число Эрдёша Вайсстейна, но 10, вероятно, слишком много. Таким образом, разделив баллы на 10, получим 999976 баллов.
    3. 1729 — третье число Цейзеля, то есть теперь имеется 999974 точек.
    4. Вопрос пропущен.
    5. OEIS Слоана : A051015 имеет 1729 в ​​поле последовательности, что доводит количество очков до 1050989.
    6. Единственное ключевое слово — «nonn».
    7. Всего точек 1050990, поэтому интересно , что 1729 — это число Цейзеля.

Таким образом, Салли собрала три интересных свойства 1729 года. Возможно, она готова создать статью о 1729 году, хотя она читает WP:NUM для получения дополнительных советов.

170141183460469231731687303715884105727

Дик хочет написать статью в Википедии о двойном простом числе Мерсенна 170141183460469231731687303715884105727.

• 170141183460469231731687303715884105727 — двойное простое число Мерсенна.
  • 1. ^{Среди первых 107} целых чисел только 2 , поэтому Дик начинает с 9999998 очков.
    2. Померанс и Крэндалл специально упоминают это число в своей книге «Простые числа: вычислительная перспектива» . У Померанса число Эрдёша равно 1, поэтому точек по-прежнему 9999998.
    3. 170141183460469231731687303715884105727 — четвертое двойное простое число Мерсенна, поэтому у нас осталось 9999995 точек.
    4. Поскольку мы рассматриваем числа в форме , а не двоичные репьюниты, этот вопрос не применим. ${\displaystyle 2^{2^{p}-1}-1}$
    5. Это число появляется в OEIS Слоана : A077586 . 10077581 очков.
    6. Единственное ключевое слово для OEIS Слоана : A077586 — nonn. 10077582 баллов.
    7. Всего точек 10077582, поэтому интересно , что число 170141183460469231731687303715884105727 является двойным простым числом Мерсенна.

Итак, у числа 170141183460469231731687303715884105727 есть одно интересное свойство. Но Дику нужно еще два, прежде чем он сможет оправдать написание статьи в Википедии об этом числе.

Гипотетическое второе нечетное совершенное число

Предположим, Том обнаруживает два нечетных совершенных числа OP ₁ и OP ₂ . Нет сомнений, что первое нечетное совершенное число заслуживает своей собственной статьи. Но заслуживает ли второе?

• OP ₂ — нечетное совершенное число.
  • 1. ОП ₂ должен быть не менее 10 ³⁰⁰ , поэтому можно смело начинать с 10 ⁷ очков.
    2. Математики имели некоторое представление, что OP ₂ имеет столько же факторов, сколько и он, но они не могли знать точно, иначе это обнаружили бы они, а не Том. Поэтому вычитается 10 ^{7 очков, не оставляя ни одного.}
    3. Поскольку OP ₂ — второе нечетное совершенное число, у нас осталось всего -1 балл.
    4. Вопрос пропущен.
    5. OP ₂ вообще не появляется в OEIS Слоана.
    6. Вопрос пропущен.
    7. Есть -1 балл, что означает, что неинтересно , что OP ₂ является нечетным совершенным числом.

Однако это не конец истории. Если бы предпосылка была в том, что ОП ₂ странный, опросник бы закончился с как минимум -10 ³⁰⁰ баллами. Поэтому ответ в -1 балл не столь убедителен, как ответ в -10 ³⁰⁰ баллов.

Поскольку OP ₂ станет крупным открытием, математики неизбежно начнут изучать это число, даже если многие из них быстро отбросят Тома как любителя. Они даже могут найти другие интересные свойства OP _2, помимо того, что это нечетное совершенное число.

Но если у ОП ₂ нет других интересных свойств, то нет смысла посвящать ему отдельную статью.

1023458967

Гарри хочет создать статью о панцифровом числе 1023458967. Единственное свойство числа, о котором он знает, это то, что это панцифровое число .

• 1023458967 — панцифровое число.
  • 1. Начните с 10 ⁷ баллов.
    2. Гарри находит запись о панцифровых числах в «Краткой энциклопедии математики CRC» Эрика В. Вайсштейна . Он игнорирует тот факт, что 1023458967 не упоминается явно, и продолжает спрашивать Салли, чему равно число Эрдёша Вайсштейна. Она говорит, что предположила 10. Это снижает количество очков до 10 ⁶ .
    3. 1023458967 — 17-е панцифровое число, так что теперь у нас осталось 999984 балла.
    4. Число 1023458967 является панцифровым по основаниям 2, 3, 4, 5, 6 и, конечно, 10, что увеличивает количество очков до 1000014. Но оно не является панцифровым по основаниям 7, 8, 9 и от 11 до 16, что уменьшает количество очков до -107462191521.
    5. OEIS Слоана : A050278 имеет 1023458967 в поле последовательности. Это увеличивает количество очков до -107462141243.
    6. Поле «Ключевые слова» читается как «nonn, base, fini». 2 балла за «nonn» и «fini» вместе. Гарри дважды проверяет, что он прошел Вопрос 4, и хотя в анкете ничего не говорится о присуждении баллов за ключевое слово «base», Гарри решает в любом случае присудить квадрат числа A последовательности в качестве баллов.
    7. Но даже этого недостаточно, чтобы вывести баллы из отрицательного диапазона, а при -104934263957 баллах неизбежно следует вывод, что не так уж и интересно, что 1023458967 является панцифровым числом.

103

Это не значит, что зависящие от основания математические свойства всегда неинтересны. Предположим, Гарри хочет написать статью о 103 и решает сосредоточиться на том факте, что 103 не является палиндромным числом .

• 103 не является палиндромом.
  • 1. Существует 10999 палиндромных чисел меньше десяти миллионов.
    2. Гарри использует статью о палиндромных числах в энциклопедии Вайсштейна , хотя на самом деле там не упоминается число 103. 1100 очков.
    3. 103 — 84-е непалиндромное число. Сейчас 1017 очков.
    4. Как оказалось, 103 не является палиндромом ни в одной из систем счисления от 2 до 16. (На самом деле, оно не является палиндромом до системы счисления 102). Это доводит количество очков до 1152.
    5. OEIS Слоана : A029742 имеет 103 в поле последовательности. Это увеличивает количество очков до 30894.
    6. Поле «Ключевые слова» содержит «nonn, base, easy, nice».
    7. Всего точек 60638, поэтому интересно , что число 103 не является палиндромом.

Гарри невольно наткнулся на то, что 103 — это строго непалиндромное число .

Смотрите также

• Википедия:Известность (числа)
• Интересный числовой парадокс