петля Уилсона

Оператор петли калибровочного поля

В квантовой теории поля петли Вильсона являются калибровочно-инвариантными операторами, возникающими из параллельного переноса калибровочных переменных вокруг замкнутых петель . Они кодируют всю калибровочную информацию теории, позволяя строить представления петель , которые полностью описывают калибровочные теории в терминах этих петель. В чистой калибровочной теории они играют роль операторов порядка для ограничения , где они удовлетворяют тому, что известно как закон площади. Первоначально сформулированные Кеннетом Г. Вильсоном в 1974 году, они использовались для построения связей и плакеток, которые являются фундаментальными параметрами в решеточной калибровочной теории . ^[1] Петли Вильсона попадают в более широкий класс петлевых операторов , некоторыми другими примечательными примерами являются петли 'т Хоофта , которые являются магнитными дуалами петель Вильсона, и петли Полякова , которые являются тепловой версией петель Вильсона.

Определение

Связь на главном расслоении с пространством-временем разделяет касательное пространство в каждой точке вдоль волокна на вертикальное подпространство и горизонтальное подпространство . Кривые на пространстве-времени поднимаются до кривых в главном расслоении, касательные векторы которых лежат в горизонтальном подпространстве. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle V_{p}}$ ${\displaystyle H_{p}}$

Чтобы правильно определить петли Вильсона в калибровочной теории, необходимо рассмотреть формулировку расслоения волокон калибровочных теорий. ^[2] Здесь для каждой точки в -мерном пространстве-времени есть копия калибровочной группы, образующая то, что известно как волокно расслоения волокон . Эти расслоения волокон называются главными расслоениями . Локально результирующее пространство выглядит как , хотя глобально оно может иметь некоторую скрученную структуру в зависимости от того, как склеены различные волокна. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\times G}$

Проблема, которую решают линии Уилсона, заключается в том, как сравнивать точки на волокнах в двух различных точках пространства-времени. Это аналогично параллельному переносу в общей теории относительности , который сравнивает касательные векторы , которые живут в касательных пространствах в разных точках. Для главных расслоений существует естественный способ сравнения различных точек волокон посредством введения связи , что эквивалентно введению калибровочного поля. Это связано с тем, что связь — это способ разделить касательное пространство главного расслоения на два подпространства, известные как вертикальное и горизонтальное подпространства. ^[3] Первое состоит из всех векторов, указывающих вдоль волокна , в то время как последнее состоит из векторов, которые перпендикулярны волокну. Это позволяет сравнивать значения волокон в различных точках пространства-времени, соединяя их с кривыми в главном расслоении, касательные векторы которых всегда живут в горизонтальном подпространстве, поэтому кривая всегда перпендикулярна любому данному волокну. ${\displaystyle G}$

Если начальное волокно находится в координате с начальной точкой тождества , то для того, чтобы увидеть, как это изменится при переходе к другой пространственно-временной координате , нужно рассмотреть некоторую пространственно-временную кривую между и . Соответствующая кривая в главном расслоении, известная как горизонтальный подъем , является кривой такой, что и что ее касательные векторы всегда лежат в горизонтальном подпространстве. Формулировка калибровочной теории в расслоении волокон показывает, что калибровочное поле со значениями алгебры Ли эквивалентно связи, которая определяет горизонтальное подпространство, поэтому это приводит к дифференциальному уравнению для горизонтального подъема ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}=e}$ ${\displaystyle x_{f}}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{f}}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=g_{i}}$ ${\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}$

${\displaystyle i{\frac {dg(t)}{dt}}=A_{\mu }(x){\frac {dx^{\mu }}{dt}}g(t).}$

Это имеет единственное формальное решение, называемое линией Вильсона между двумя точками.

${\displaystyle g_{f}(t_{f})=W[x_{i},x_{f}]={\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\int _{x_{i}}^{x_{f}}A_{\mu }\,dx^{\mu }{\bigg )},}$

где — оператор упорядочения путей , который не нужен для абелевых теорий. Горизонтальный подъем, начинающийся в некоторой начальной точке волокна, отличной от тождества, требует просто умножения на начальный элемент исходного горизонтального подъема. В более общем смысле, он имеет место, если , то для всех . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(0)={\tilde {\gamma }}(0)g}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)={\tilde {\gamma }}(t)g}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

При локальном калибровочном преобразовании линия Вильсона преобразуется как ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle W[x_{i},x_{f}]\rightarrow g(x_{f})W[x_{i},x_{f}]g^{-1}(x_{i}).}$

Это свойство калибровочного преобразования часто используется для непосредственного введения линии Вильсона в присутствии полей материи, преобразующихся в фундаментальном представлении калибровочной группы, где линия Вильсона является оператором, который делает комбинацию калибровочной инвариантности. ^[4] Это позволяет сравнивать поле материи в разных точках калибровочно-инвариантным способом. В качестве альтернативы линии Вильсона также могут быть введены путем добавления бесконечно тяжелой пробной частицы, заряженной в соответствии с калибровочной группой. Ее заряд образует квантованное внутреннее гильбертово пространство , которое можно интегрировать, получая линию Вильсона как мировую линию пробной частицы. ^[5] Это работает в квантовой теории поля независимо от того, есть ли на самом деле какое-либо содержание материи в теории. Однако гипотеза болота, известная как гипотеза полноты, утверждает, что в последовательной теории квантовой гравитации каждая линия Вильсона и линия 'т Хоофта определенного заряда, согласующаяся с условием квантования Дирака, должна иметь соответствующую частицу этого заряда, присутствующую в теории. ^[6] Разделение этих частиц путем принятия предела бесконечной массы больше не работает, поскольку это привело бы к образованию черных дыр . ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x_{i})^{\dagger }W[x_{i},x_{f}]\phi (x_{f})}$

След замкнутых линий Вильсона — это калибровочно-инвариантная величина, известная как петля Вильсона.

${\displaystyle W[\gamma ]={\text{tr}}{\bigg [}{\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\oint _{\gamma }A_{\mu }\,dx^{\mu }{\bigg )}{\bigg ]}.}$

Математически термин внутри следа известен как голономия , которая описывает отображение волокна в себя при горизонтальном подъеме вдоль замкнутой петли. Множество всех голономий само по себе образует группу , которая для главных расслоений должна быть подгруппой калибровочной группы. Петли Вильсона удовлетворяют свойству реконструкции, при котором знание набора петель Вильсона для всех возможных петель позволяет реконструировать всю калибровочно-инвариантную информацию о калибровочной связи. ^[7] Формально множество всех петель Вильсона образует сверхполный базис решений ограничения закона Гаусса.

Набор всех линий Вильсона находится во взаимно-однозначном соответствии с представлениями калибровочной группы. Это можно переформулировать в терминах языка алгебры Ли, используя весовую решетку калибровочной группы . В этом случае типы петель Вильсона находятся во взаимно-однозначном соответствии с , где — группа Вейля . ^[8] ${\displaystyle \Lambda _{w}}$ ${\displaystyle \Lambda _{w}/W}$ ${\displaystyle W}$

Операторы пространства Гильберта

Альтернативный взгляд на петли Вильсона заключается в том, чтобы рассматривать их как операторы, действующие в гильбертовом пространстве состояний в сигнатуре Минковского . ^[5] Поскольку гильбертово пространство живет на одном временном срезе, единственные петли Вильсона, которые могут действовать как операторы в этом пространстве, — это петли, образованные с использованием пространственноподобных петель. Такие операторы создают замкнутую петлю электрического потока , что можно увидеть, заметив, что оператор электрического поля отличен от нуля в петле, но он исчезает во всех остальных местах. Используя теорему Стокса , следует, что пространственная петля измеряет магнитный поток через петлю. ^[9] ${\displaystyle W[\gamma ]}$ ${\displaystyle E^{i}}$ ${\displaystyle E^{i}W[\gamma ]|0\rangle \neq 0}$

Оператор заказа

Поскольку временные линии Вильсона соответствуют конфигурации, созданной бесконечно тяжелыми неподвижными кварками, петля Вильсона, связанная с прямоугольной петлей с двумя временными компонентами длины и двумя пространственными компонентами длины , может быть интерпретирована как пара кварк -антикварк на фиксированном расстоянии. На больших временах вакуумное ожидание петли Вильсона проецирует состояние с минимальной энергией , которая является потенциалом между кварками. ^[10] Возбужденные состояния с энергией экспоненциально подавляются со временем, и поэтому ожидание идет как ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V(r)}$ ${\displaystyle V(r)+\Delta E}$

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-TV(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-T\Delta E})),}$

делая петлю Вильсона полезной для вычисления потенциала между парами кварков. Этот потенциал обязательно должен быть монотонно возрастающей и вогнутой функцией разделения кварков. ^{[11] [12]} Поскольку пространственноподобные петли Вильсона принципиально не отличаются от временных, кварковый потенциал действительно напрямую связан со структурой чистой теории Янга–Миллса и является явлением, независимым от содержания материи. ^[13]

Теорема Элицура гарантирует, что локальные некалибровочно-инвариантные операторы не могут иметь ненулевые значения ожидания. Вместо этого необходимо использовать нелокальные калибровочно-инвариантные операторы в качестве параметров порядка для ограничения. Петля Вильсона является именно таким параметром порядка в чистой теории Янга–Миллса , где в фазе ограничения ее ожидание следует закону площади ^[14]

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-aA[\gamma ]}}$

для петли, которая охватывает область . Это мотивируется потенциалом между бесконечно тяжелыми тестовыми кварками, который в фазе удержания, как ожидается, будет расти линейно, где известно как натяжение струны. Между тем, в фазе Хиггса ожидаемое значение следует закону периметра ${\displaystyle A[\gamma ]}$ ${\displaystyle V(r)\sim \sigma r}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-bL[\gamma ]},}$

где — длина периметра петли, а — некоторая константа. Закон площади петель Вильсона может быть использован для прямой демонстрации ограничения в некоторых низкоразмерных теориях, например, для модели Швингера , ограничение которой осуществляется инстантонами . ^[15] ${\displaystyle L[\gamma ]}$ ${\displaystyle b}$

Формулировка решетки

В решеточной теории поля линии и петли Вильсона играют фундаментальную роль в формулировке калибровочных полей на решетке . Наименьшие линии Вильсона на решетке, те, что между двумя соседними точками решетки, известны как связи, при этом одна связь начинается с точки решетки и идет в направлении, обозначенном . Четыре связи вокруг одного квадрата известны как плакетки, а их следы образуют наименьшую петлю Вильсона. ^[16] Именно эти плакетки используются для построения калибровочного действия решетки, известного как действие Вильсона . Более крупные петли Вильсона выражаются как произведения переменных связей вдоль некоторой петли , обозначенной ^[17] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U_{\mu }(n)}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L[U]={\text{tr}}{\bigg [}\prod _{n\in \gamma }U_{\mu }(n){\bigg ]}.}$

Эти петли Вильсона используются для численного изучения потенциала ограничения и кварков . Линейные комбинации петель Вильсона также используются в качестве интерполирующих операторов, которые приводят к состояниям глюбола . ^[18] Массы глюбола затем могут быть извлечены из корреляционной функции между этими интерполяторами. ^[19]

Решетчатая формулировка петель Вильсона также позволяет аналитически продемонстрировать ограничение в сильно связанной фазе, предполагая приближение закалки , в котором кварковые петли игнорируются. ^[20] Это делается путем разложения действия Вильсона в степенной ряд следов плакетов, где первый неисчезающий член в ожидаемом значении петли Вильсона в калибровочной теории приводит к закону площади с натяжением струны вида ^{[21] [22]} ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$

${\displaystyle \sigma =-{\frac {1}{a^{2}}}\ln {\bigg (}{\frac {\beta }{18}}{\bigg )}(1+{\mathcal {O}}(\beta )),}$

где — обратная константа связи, а — шаг решетки. Хотя этот аргумент справедлив как для абелева, так и для неабелева случая, компактная электродинамика демонстрирует ограничение только при сильной связи, при этом происходит фазовый переход в кулоновскую фазу при , оставляя теорию деконфайнментированной при слабой связи. ^{[23] [24]} Считается, что такой фазовый переход не существует для калибровочных теорий при нулевой температуре , вместо этого они демонстрируют ограничение при всех значениях константы связи. ${\displaystyle \beta =6/g^{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \beta \sim 1.01}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

Характеристики

Уравнение петли Макеенко–Мигдала

Аналогично функциональной производной , которая действует на функции функций , функции циклов допускают два типа производных, называемых производной площади и производной периметра. Чтобы определить первую, рассмотрим контур и другой контур , который является тем же контуром, но с дополнительной малой петлей в - плоскости с площадью . Тогда производная площади функционала цикла определяется с помощью той же идеи, что и обычная производная, как нормализованная разность между функционалом двух циклов ^[25] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \delta \sigma _{\mu \nu }=dx_{\mu }\wedge dx_{\nu }}$ ${\displaystyle F[\gamma ]}$

${\displaystyle {\frac {\delta F[\gamma ]}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}={\frac {1}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}[F[\gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}]-F[\gamma ]].}$

Производная периметра определяется аналогично, при этом теперь есть небольшая деформация контура , который в позиции имеет небольшую выдавливающую петлю длины в направлении и нулевой площади. Производная периметра функционала петли тогда определяется как ${\displaystyle \gamma _{\delta x_{\mu }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta x_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}F[\gamma ]={\frac {1}{\delta x_{\mu }}}[F[\gamma _{\delta x_{\mu }}]-F[\gamma ]].}$

В большом N-пределе вакуумное ожидание петли Вильсона удовлетворяет замкнутому функциональному уравнению, называемому уравнением Макеенко–Мигдала ^[26]

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}{\frac {\delta }{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}\langle W[\gamma ]\rangle =g^{2}N\oint _{\gamma }dy_{\nu }\delta ^{(D)}(x-y)\langle W[\gamma _{yx}]\rangle \langle W[\gamma _{xy}]\rangle .}$

Здесь с является линией, которая не замыкается от до , с двумя точками, однако, близкими друг к другу. Уравнение также может быть записано для конечного , но в этом случае оно не факторизуется и вместо этого приводит к ожидаемым значениям произведений петель Вильсона, а не к произведению их ожидаемых значений. ^[27] Это приводит к бесконечной цепочке связанных уравнений для различных ожидаемых значений петель Вильсона, аналогично уравнениям Швингера–Дайсона . Уравнение Макеенко–Мигдала было решено точно в двумерной теории. ^[28] ${\displaystyle \gamma =\gamma _{xy}\cup \gamma _{yx}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\text{U}}(\infty )}$

тождества Мандельштама

Калибровочные группы, допускающие фундаментальные представления в терминах матриц, имеют петли Вильсона, которые удовлетворяют набору тождеств, называемых тождествами Мандельстама, причем эти тождества отражают особые свойства базовой калибровочной группы. ^[29] Тождества применяются к петлям, образованным из двух или более подпетлей, причем петля образована первым обходом , а затем обходом . ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{2}\circ \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

Тождество Мандельстама первого рода утверждает, что , причем это справедливо для любой калибровочной группы в любой размерности. Тождества Мандельстама второго рода приобретаются, если заметить, что в размерностях любой объект с полностью антисимметричными индексами исчезает, что означает, что . В фундаментальном представлении голономии, используемые для формирования петель Вильсона, являются матричными представлениями калибровочных групп. Свертывание голономий с дельта-функциями дает набор тождеств между петлями Вильсона. Их можно записать в терминах объектов, определенных итеративно, так что и ${\displaystyle W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]=W[\gamma _{2}\circ \gamma _{1}]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \delta _{[b_{1}}^{a_{1}}\delta _{b_{2}}^{a_{2}}\cdots \delta _{b_{N+1}]}^{a_{N+1}}=0}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle M_{1}[\gamma ]=W[\gamma ]}$

${\displaystyle (K+1)M_{K+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K+1}]=W[\gamma _{K+1}]M_{K}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K}]-M_{K}[\gamma _{1}\circ \gamma _{K+1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}]-\cdots -M_{K}[\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}\circ \gamma _{K+1}].}$

В этой записи тождества Мандельштама второго рода имеют вид ^[30]

${\displaystyle M_{N+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{N+1}]=0.}$

Например, для калибровочной группы это дает . ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]}$

Если фундаментальное представление — матрицы единичного определителя , то также справедливо, что . Например, применение этого тождества к дает ${\displaystyle M_{N}(\gamma ,\dots ,\gamma )=1}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$

${\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}^{-1}]+W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}].}$

Фундаментальные представления, состоящие из унитарных матриц, удовлетворяют . Более того, в то время как равенство выполняется для всех калибровочных групп в фундаментальных представлениях, для унитарных групп выполняется, кроме того, что . ${\displaystyle W[\gamma ]=W^{*}[\gamma ^{-1}]}$ ${\displaystyle W[I]=N}$ ${\displaystyle |W[\gamma ]|\leq N}$

Перенормировка

Поскольку петли Вильсона являются операторами калибровочных полей, регуляризация и перенормировка базовых полей и связей теории Янга–Миллса не препятствует петлям Вильсона требовать дополнительных поправок перенормировки. В перенормированной теории Янга–Миллса конкретный способ, которым петли Вильсона перенормируются, зависит от геометрии рассматриваемой петли. Основные особенности ^{[31] [32] [33] [34]}

• Гладкая непересекающаяся кривая: может иметь только линейные расхождения, пропорциональные контуру, которые можно устранить с помощью мультипликативной перенормировки.
• Непересекающаяся кривая с выступами : каждый выступ приводит к дополнительному локальному мультипликативному фактору перенормировки , который зависит от угла выступа . ${\displaystyle Z[\phi ]}$ ${\displaystyle \phi }$
• Самопересечения: это приводит к смешиванию операторов между циклами Уилсона, связанными с полным циклом и подциклами.
• Светоподобные сегменты: они приводят к дополнительным логарифмическим расхождениям.

Дополнительные приложения

Амплитуды рассеяния

Петли Вильсона играют роль в теории амплитуд рассеяния , где был найден набор дуальностей между ними и специальными типами амплитуд рассеяния. ^[35] Они впервые были предложены при сильной связи с использованием соответствия AdS/CFT . ^[36] Например, в суперсимметричной теории Янга–Миллса амплитуды максимального нарушения спиральности факторизуются в компонент уровня дерева и поправку уровня петли. ^[37] Эта поправка уровня петли не зависит от спиральностей частиц, но было обнаружено, что она дуальна определенным полигональным петлям Вильсона в большом пределе, вплоть до конечных членов. Хотя эта дуальность изначально была предложена только в случае максимального нарушения спиральности, есть аргументы в пользу того, что ее можно распространить на все конфигурации спиральности, определив соответствующие суперсимметричные обобщения петли Вильсона. ^[38] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ ${\displaystyle N}$

Компактификации теории струн

В компактифицированных теориях нулевые модовые состояния калибровочного поля, которые локально являются чистыми калибровочными конфигурациями, но глобально неэквивалентны вакууму, параметризуются замкнутыми линиями Вильсона в компактном направлении. Наличие их в компактифицированной теории открытых струн эквивалентно в рамках T-дуальности теории с несовпадающими D-бранами , разделения которых определяются линиями Вильсона. ^[39] Линии Вильсона также играют роль в орбифолдных компактификациях, где их присутствие приводит к большему контролю над нарушением калибровочной симметрии, давая лучшее управление конечной ненарушенной калибровочной группой, а также предоставляя механизм для управления числом мультиплетов материи, оставшихся после компактификации. ^[40] Эти свойства делают линии Вильсона важными в компактификациях теорий суперструн. ^{[41] [42]}

Топологическая теория поля

В топологической теории поля математическое ожидание петель Вильсона не меняется при гладких деформациях петли, поскольку теория поля не зависит от метрики . [ ^43] По этой причине петли Вильсона являются ключевыми наблюдаемыми в этих теориях и используются для вычисления глобальных свойств многообразия . В размерностях они тесно связаны с теорией узлов , причем математическое ожидание произведения петель зависит только от структуры многообразия и от того, как петли связаны друг с другом. Это привело к знаменитой связи, установленной Эдвардом Виттеном , где он использовал петли Вильсона в теории Черна–Саймонса, чтобы связать их функцию распределения с полиномами Джонса теории узлов. ^[44] ${\displaystyle 2+1}$

Смотрите также

• Номер обмотки

Ссылки

1. Уилсон, КГ (1974). «Удержание кварков». Phys. Rev. D. 10 ( 8): 2445–2459. Bibcode : 1974PhRvD..10.2445W. doi : 10.1103/PhysRevD.10.2445.
2. Накахара, М. (2003). "10". Геометрия, топология и физика (2-е изд.). CRC Press. стр. 374–418. ISBN 978-0750306065.
3. Эшриг, Х. (2011). "7". Топология и геометрия для физики . Конспект лекций по физике. Springer. С. 220–222. ISBN 978-3-642-14699-2.
4. Шварц, MD (2014). "25". Квантовая теория поля и стандартная модель . Cambridge University Press. стр. 488–493. ISBN 9781107034730.
5. Tong, D. (2018), "2", Заметки лекций по теории калибровок
6. Banks, T. ; Seiberg, N. (2011). «Симметрии и струны в теории поля и гравитации». Phys. Rev. D . 83 : 084019. arXiv : 1011.5120 . doi :10.1103/PhysRevD.83.084019.
7. Джайлс, Р. (1981). «Реконструкция калибровочных потенциалов из петель Вильсона». Phys. Rev. D. 24 ( 8): 2160–2168. Bibcode : 1981PhRvD..24.2160G. doi : 10.1103/PhysRevD.24.2160.
8. Ofer, A.; Seiberg, N .; Tachikawa, Yuji (2013). «Чтение между строк четырехмерных калибровочных теорий». JHEP . 2013 (8): 115. arXiv : 1305.0318 . Bibcode : 2013JHEP...08..115A. doi : 10.1007/JHEP08(2013)115. S2CID  118572353.
9. Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). "15". Введение в квантовую теорию поля . Westview Press. стр. 492. ISBN 9780201503975.
10. Rothe, HJ (2005). "7". Теории калибровочных решеток: Введение. World Scientific Lecture Notes in Physics: Volume 43. Vol. 82. World Scientific Publishing. pp. 95–108. doi :10.1142/8229. ISBN 978-9814365857.
11. Seiler, E. (1978). «Верхняя граница потенциала, ограничивающего цвет». Phys. Rev. D. 18 ( 2): 482–483. Bibcode : 1978PhRvD..18..482S. doi : 10.1103/PhysRevD.18.482.
12. Bachas, C. (1986). «Вогнутость потенциала кваркония». Phys. Rev. D. 33 ( 9): 2723–2725. Bibcode : 1986PhRvD..33.2723B. doi : 10.1103/PhysRevD.33.2723. PMID  9956963.
13. Гринсайт, Дж. (2020). "4". Введение в проблему ограничения (2-е изд.). Springer. стр. 37–40. ISBN 978-3030515621.
14. Макеенко, Ю. (2002). "6". Методы современной калибровочной теории . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Cambridge University Press. стр. 117–118. doi :10.1017/CBO9780511535147. ISBN 978-0521809115.
15. Паранджапе, М. (2017). "9". Теория и применение инстантонных вычислений . Cambridge University Press. стр. 168. ISBN 978-1107155473.
16. Baulieu, L.; Iliopoulos, J .; Sénéor, R. [на французском] (2017). "25". От классических к квантовым полям . Oxford University Press. стр. 720. ISBN 978-0198788409.
17. Монтвей, И.; Манстер, Г. (1994). "43". Квантовые поля на решетке . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 105. doi :10.1017/CBO9780511470783. ISBN 9780511470783. S2CID  118339104.
18. DeGrand, T.; DeTar, C. (2006). "11". Решеточные методы для квантовой хромодинамики . World Scientific Publishing. стр. 232–233. Bibcode :2006lmqc.book.....D. doi :10.1142/6065. ISBN 978-9812567277.
19. Чен, И.; и др. (2006). "Спектр глюбола и матричные элементы на анизотропных решетках". Phys. Rev. D. 73 ( 1): 014516. arXiv : hep-lat/0510074 . Bibcode : 2006PhRvD..73a4516C. doi : 10.1103/PhysRevD.73.014516. S2CID  15741174.
20. Yndurain, FJ (2006). "9". Теория кварковых и глюонных взаимодействий (4-е изд.). Springer. стр. 383. ISBN 978-3540332091.
21. Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "3". Квантовая хромодинамика на решетке: Вводная презентация . Lecture Notes in Physics 788. Springer. стр. 58–62. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
22. Drouffe, JM; Zuber, JB (1983). «Сильная связь и методы среднего поля в решеточных калибровочных теориях». Physics Reports . 102 (1): 1–119. Bibcode : 1983PhR...102....1D. doi : 10.1016/0370-1573(83)90034-0.
23. Лаутруп, Б. Э .; Науенберг, М. (1980). «Фазовый переход в четырехмерной компактной квантовой электродинамике». Phys. Lett. B. 95 ( 1): 63–66. Bibcode : 1980PhLB...95...63L. doi : 10.1016/0370-2693(80)90400-1.
24. Гут, AH (1980). «Доказательство существования неограничивающей фазы в четырехмерной калибровочной теории решетки U(1)». Phys. Rev. D. 21 ( 8): 2291–2307. Bibcode :1980PhRvD..21.2291G. doi :10.1103/PhysRevD.21.2291.
25. Мигдал, АА (1983). «Уравнения контуров и расширение 1/N». Phys. Rep . 102 (4): 199–290. doi :10.1016/0370-1573(83)90076-5.
26. Макеенко, YM; Мигдал, AA (1979). «Точное уравнение для петлевого среднего в многоцветной КХД». Phys. Lett. B. 88 ( 1–2): 135–137. Bibcode :1979PhLB...88..135M. doi :10.1016/0370-2693(79)90131-X.
27. Нэстасе, Х. (2019). "50". Введение в квантовую теорию поля . Cambridge University Press. стр. 469–472. ISBN 978-1108493994.
28. Казаков, ВА; Костов, ИК (1980). "Нелинейные струны в двумерной калибровочной теории U(∞)". Nuclear Physics B . 176 (1): 199–215. Bibcode :1980NuPhB.176..199K. doi :10.1016/0550-3213(80)90072-3.
29. Мандельстам, С. (1968). «Правила Фейнмана для электромагнитных полей и полей Янга–Миллса из калибровочно-независимого теоретико-полевого формализма». Phys. Rev. 175 ( 5): 1580–1603. Bibcode : 1968PhRv..175.1580M. doi : 10.1103/PhysRev.175.1580.
30. Гамбини, Р. (2008). "3". Петли, узлы, калибровочные теории . стр. 63–67. ISBN 978-0521654753.
31. Корчемская, ИА; Корчемский, ГП (1992). «О светоподобных петлях Вильсона». Physics Letters B. 287 ( 1): 169–175. Bibcode :1992PhLB..287..169K. doi :10.1016/0370-2693(92)91895-G.
32. Поляков, AM (1980). «Калибровочные поля как кольца клея». Nuclear Physics B. 164 : 171–188. Bibcode : 1980NuPhB.164..171P. doi : 10.1016/0550-3213(80)90507-6.
33. Брандт, РА; Нери, Ф.; Сато, М. (1981). «Перенормировка петлевых функций для всех петель». Phys. Rev. D. 24 ( 4): 879–902. Bibcode :1981PhRvD..24..879B. doi :10.1103/PhysRevD.24.879.
34. Корчемский, ГП; Радюшкин, А.В. (1987). «Перенормировка петель Вильсона за пределами ведущего порядка». Nuclear Physics B. 283 : 342–364. Bibcode : 1987NuPhB.283..342K. doi : 10.1016/0550-3213(87)90277-X.
35. Alday, LF ; Radu, R. (2008). «Амплитуды рассеяния, петли Вильсона и соответствие теории струн и калибровочной теории». Phys. Rep . 468 (5): 153–211. arXiv : 0807.1889 . Bibcode :2008PhR...468..153A. doi :10.1016/j.physrep.2008.08.002. S2CID  119220578.
36. Alday, LF ; Maldacena, JM (2007). "Амплитуды рассеяния глюонов при сильной связи". JHEP . 6 (6): 64. arXiv : 0705.0303 . Bibcode :2007JHEP...06..064A. doi :10.1088/1126-6708/2007/06/064. S2CID  10711473.
37. Хенн, Дж. М. [на немецком языке] (2014). "4". Амплитуды рассеяния в калибровочных теориях . Springer. стр. 153–158. ISBN 978-3642540219.
38. Caron-Huot, S. [на немецком языке] (2011). "Заметки о амплитудах рассеяния/дуальности петли Вильсона". JHEP . 2011 (7): 58. arXiv : 1010.1167 . Bibcode :2011JHEP...07..058C. doi :10.1007/JHEP07(2011)058. S2CID  118676335.
39. Полчински, Дж. (1998). "8". Теория струн Том I: Введение в бозонную струну . Cambridge University Press. С. 263–268. ISBN 978-0143113799.
40. Ибаньес, LE; Ниллес, HP; Кеведо, Ф. (1986). «Орбифолды и линии Вильсона». Phys. Lett. B . 187 (1–2): 25–32. doi :10.1016/0370-2693(87)90066-9.
41. Полчински, Дж. (1998). "16". Теория струн, том II: Теория суперструн и далее . Cambridge University Press. стр. 288–290. ISBN 978-1551439761.
42. Чой, КС; Ким, ДЖЕ (2020). Кварки и лептоны из орбифолдированной суперструны (2-е изд.). ISBN 978-3030540043.
43. Фрадкин, Э. (2021). "22". Квантовая теория поля: комплексный подход . Princeton University Press. стр. 697. ISBN 978-0691149080.
44. Witten, E. (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Commun. Math. Phys . 121 (3): 351–399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. S2CID  14951363.