Алгебра Вирасоро

В математике алгебра Вирасоро (названная в честь физика Мигеля Анхеля Вирасоро ) ^[1] представляет собой комплексную алгебру Ли и уникальное центральное расширение алгебры Витта . Он широко используется в двумерной конформной теории поля и в теории струн .

Определение

Алгебра Вирасоро натянута на генераторы L $n$ для $n$ $\in$ $ℤ$ и центрального заряда $c$ . Эти генераторы удовлетворяют и $[c,L_{n}]=0$

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}.$

Фактор – это всего лишь вопрос соглашения. Для вывода алгебры как единственного центрального расширения алгебры Витта см . вывод алгебры Вирасоро . $1/12$

Алгебра Вирасоро имеет представление в терминах двух образующих (например, _L3 $и$ L $-$ ₂ ) и шести отношений. ^[2]^[3]

Теория представлений

Представления с наибольшим весом

Представление алгебры Вирасоро с наивысшим весом — это представление, порожденное первичным состоянием: вектором, таким что $v$

L_{n>0}v=0,\quad L_{0}v=hv,

где число $h$ называется конформной размерностью или конформным весом . ^[4] $v$

Представление с наивысшим весом охватывается собственными состояниями . Собственные значения принимают форму , где целое число называется уровнем соответствующего собственного состояния. $L_{0}$ $h+N$ $N\geq 0$

Точнее, представление с наивысшим весом натянуто -собственными состояниями типа с и , уровни которых равны . Любое состояние, уровень которого не равен нулю, называется состоянием-потомком . $L_{0}$ $L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}v$ $0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots n_{k}$ $k\geq 0$ $N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}$ $v$

Для любой пары комплексных чисел $h$ и $c$ модуль Верма является максимально возможным представлением с наивысшим весом. (Одна и та же буква $c$ используется как для элемента $c$ алгебры Вирасоро, так и для его собственного значения в представлении.) ${\mathcal {V}}_{c,h}$

Состояния с и составляют основу модуля Верма. Модуль Вермы неразложим, а для общих значений $h$ и $c$ он также неприводим. Когда оно приводимо, существуют другие представления старшего веса с этими значениями $h$ и $c$ , называемые вырожденными представлениями, которые являются смежными классами модуля Верма. В частности, единственное неприводимое представление со старшим весом с этими значениями $h$ и $c$ является фактором модуля Вермы по его максимальному подмодулю. $L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}v$ $0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots n_{k}$ $k\geq 0$

Модуль Верма неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет сингулярных векторов.

Сингулярные векторы

Сингулярный вектор или нулевой вектор представления с наивысшим весом — это состояние, которое является одновременно потомком и первичным.

Достаточным условием того, что модуль Верма имеет сингулярный вектор на уровне, являются некоторые положительные целые числа такие, что , при этом ${\mathcal {V}}_{c,h}$ $N$ $h=h_{r,s}(c)$ $r,s$ $N=rs$

h_{r,s}(c)={\frac {1}{4}}{\Big (}(b+b^{-1})^{2}-(br+b^{-1}s)^{2}{\Big )}\ ,\quad {\text{where}}\quad c=1+6(b+b^{-1})^{2}\ .

В частности, , и приводимый модуль Верма имеет сингулярный вектор на уровне . Тогда и соответствующий приводимый модуль Верма имеет сингулярный вектор на уровне . $h_{1,1}(c)=0$ ${\mathcal {V}}_{c,0}$ $L_{-1}v$ $N=1$ $h_{2,1}(c)=-{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}}b^{2}$ $(L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2})v$ $N=2$

Это условие существования сингулярного вектора на уровне не является необходимым. В частности, имеется сингулярный вектор на уровне if с и . Этот сингулярный вектор теперь является потомком другого сингулярного вектора на уровне . Однако этот тип сингулярных векторов может существовать только в том случае, если центральный заряд имеет тип $N$ $N$ $N=rs+r's'$ $h=h_{r,s}(c)$ $h+rs=h_{r',s'}(c)$ $rs$

c=1-6{\frac {(p-q)^{2}}{pq}}\quad {\text{with}}\quad p,q\in \mathbb {Z}

(Для взаимно простых — это центральные заряды минимальных моделей .) ^[4] $p>q\geq 2$

Эрмитова форма и унитарность

Представление с наивысшим весом с действительным значением имеет уникальную эрмитову форму, такую, что эрмитово сопряженное is и норма первичного состояния равны единице. Представление называется унитарным , если эта эрмитова форма положительно определена. Поскольку любой сингулярный вектор имеет нулевую норму, все унитарные представления со старшим весом неприводимы. $c$ $L_{n}$ $L_{n}^{\dagger }=L_{-n}$

Определитель Грама базиса уровня задается формулой определителя Каца $N$

A_{N}\prod _{1\leq r,s\leq N}{\big (}h-h_{r,s}(c){\big )}^{p(N-rs)},

где функция p ( N ) является статистической суммой и является положительной константой, не зависящей от или . Формула определителя Каца была сформулирована В. Кацем (1978), а ее первое опубликованное доказательство было дано Фейгиным и Фуксом (1984). $A_{N}$ $h$ $c$

Неприводимое представление со старшим весом со значениями $h$ и $c$ унитарно тогда и только тогда, когда либо $c$ ≥ 1 и $h$ ≥ 0, либо

c\in \left\{1-{\frac {6}{m(m+1)}}\right\}_{m=2,3,4,\ldots }=\left\{0,{\frac {1}{2}},{\frac {7}{10}},{\frac {4}{5}},{\frac {6}{7}},{\frac {25}{28}},\ldots \right\}

и h - одно из значений

h=h_{r,s}(c)={\frac {{\big (}(m+1)r-ms{\big )}^{2}-1}{4m(m+1)}}

для r = 1, 2, 3, ..., m - 1 и s = 1, 2, 3, ..., r .

Дэниел Фридан , Зонган Цю и Стивен Шенкер (1984) показали, что эти условия необходимы, а Питер Годдард , Адриан Кент и Дэвид Олив (1986) использовали конструкцию смежного класса или конструкцию GKO (идентифицируя унитарные представления алгебры Вирасоро внутри тензорных произведений унитарных представлений аффинных алгебр Каца–Муди ), чтобы показать, что они достаточны.

Персонажи

Характером представления алгебры Вирасоро является функция ${\mathcal {R}}$

\chi _{\mathcal {R}}(q)=\operatorname {Tr} _{\mathcal {R}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}.

Характер модуля Verma ${\mathcal {V}}_{c,h}$

\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h}}(q)={\frac {q^{h-{\frac {c}{24}}}}{\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}}={\frac {q^{h-{\frac {c-1}{24}}}}{\eta (q)}}=q^{h-{\frac {c}{24}}}\left(1+q+2q^{2}+3q^{3}+5q^{4}+\cdots \right),

где – эта- функция Дедекинда . $\eta$

При любых и при модуль Верма приводим в силу существования сингулярного вектора на уровне . Этот сингулярный вектор порождает подмодуль, изоморфный модулю Вермы . Фактор по этому подмодулю неприводим, если не имеет других сингулярных векторов и имеет характер $c\in \mathbb {C}$ $r,s\in \mathbb {N} ^{*}$ ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}$ $rs$ ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}$ ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}$ ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}$

\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}=\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}=(1-q^{rs})\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}.

Пусть с и взаимно простые, и и . (Тогда находится в таблице Каца соответствующей минимальной модели ). Модуль Верма имеет бесконечное число сингулярных векторов и поэтому приводим к бесконечному числу подмодулей. Этот модуль Верма имеет неприводимое частное по наибольшему нетривиальному подмодулю. (Спектры минимальных моделей строятся на основе таких неприводимых представлений.) Неприводимый фактор имеет следующий характер: $c=c_{p,p'}$ $2\leq p<p'$ $p,p'$ $1\leq r\leq p-1$ $1\leq s\leq p'-1$ $(r,s)$ ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}$

{\begin{aligned}&\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/({\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}+{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)})}\\&=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r-ps+2kpp')^{2}-(p-p')^{2}\right)}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r+ps+2kpp')^{2}-(p-p')^{2}\right)}}\right).\end{aligned}}

Это выражение представляет собой бесконечную сумму, поскольку подмодули и имеют нетривиальное пересечение, которое само по себе является сложным подмодулем. ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}$ ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)}$

Приложения

Конформная теория поля

В двух измерениях алгебра локальных конформных преобразований состоит из двух копий алгебры Витта . Отсюда следует, что алгеброй симметрий двумерной конформной теории поля является алгебра Вирасоро. Технически, конформный бутстрап- подход к двумерной CFT опирается на конформные блоки Вирасоро , специальные функции, которые включают и обобщают характеры представлений алгебры Вирасоро.

Струнная теория

Поскольку алгебра Вирасоро включает в себя генераторы конформной группы мирового листа , тензор напряжений в теории струн подчиняется коммутационным соотношениям (двух копий) алгебры Вирасоро. Это связано с тем, что конформная группа распадается на отдельные диффеоморфизмы переднего и заднего световых конусов. Из диффеоморфной инвариантности мирового листа дополнительно следует, что тензор напряжений обращается в нуль. Это известно как ограничение Вирасоро , и в квантовой теории его нельзя применять ко всем состояниям теории, а только к физическим состояниям (сравните формализм Гупты-Блейлера ).

Обобщения

Супералгебры Вирасоро

Существует два суперсимметричных расширения N = 1 алгебры Вирасоро, называемых алгеброй Невё – Шварца и алгеброй Рамона . Их теория аналогична теории алгебры Вирасоро, в которой теперь используются числа Грассмана . Существуют дальнейшие расширения этих алгебр с большей суперсимметрией, такие как суперконформная алгебра N = 2 .

W-алгебры

W-алгебры — это ассоциативные алгебры, содержащие алгебру Вирасоро и играющие важную роль в двумерной конформной теории поля . Среди W-алгебр алгебра Вирасоро имеет особенность быть алгеброй Ли.

Аффинные алгебры Ли

Алгебра Вирасоро — это подалгебра универсальной обертывающей алгебры любой аффинной алгебры Ли, как показывает конструкция Сугавары . В этом смысле аффинные алгебры Ли являются расширениями алгебры Вирасоро.

Мероморфные векторные поля на римановых поверхностях.

Алгебра Вирасоро — центральное расширение алгебры Ли мероморфных векторных полей с двумя полюсами на римановой поверхности рода 0 . На компактной римановой поверхности высшего рода алгебра Ли мероморфных векторных полей с двумя полюсами также имеет центральное расширение, которое является обобщением алгебры Вирасоро. ^[5] Это можно далее обобщить на супермногообразия. ^[6]

Вертексные алгебры и конформные алгебры

Алгебра Вирасоро также имеет вершинные алгебраические и конформно-алгебраические аналоги, которые в основном возникают в результате объединения всех базисных элементов в генерирующие ряды и работы с отдельными объектами.

История

Алгебра Витта (алгебра Вирасоро без центрального расширения) была открыта Э. Картан (1909). Ее аналоги над конечными полями изучал Э. Витт примерно в 1930-е годы. Центральное расширение алгебры Витта, дающее алгебру Вирасоро, было впервые найдено (в характеристике p > 0) Р.Э. Блоком (1966, стр. 381) и независимо переоткрыто (в характеристике 0) И.М. Гельфандом и Дмитрием Фуксом (1968). Вирасоро (1970) записал некоторые операторы, порождающие алгебру Вирасоро (позже известные как операторы Вирасоро ), изучая модели двойного резонанса , но не нашел центрального расширения. Центральное расширение, дающее алгебру Вирасоро, было вновь открыто в физике вскоре после этого Дж. Вейсом, согласно Брауэру и Торну (1971, сноска на стр. 167).

Смотрите также

Примечания

^ М. А. Вирасоро (1970). «Дополнительные условия и призраки в моделях двойного резонанса». Физический обзор D . 1 (10): 2933–2936. Бибкод : 1970PhRvD...1.2933V. doi : 10.1103/PhysRevD.1.2933.
^ Фэрли, Д.Б.; Нуйц, Дж.; Захос, СК (1988). «Презентация алгебр Вирасоро и супер-Вирасоро». Связь в математической физике . 117 (4): 595. Бибкод : 1988CMaPh.117..595F. дои : 10.1007/BF01218387. S2CID 119811901.
^ Урецкий, Дж. Л. (1989). «Избыточность условий алгебры Вирасоро». Связь в математической физике . 122 (1): 171–173. Бибкод : 1989CMaPh.122..171U. дои : 10.1007/BF01221412. S2CID 119887710.
^ ab П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , 1997, ISBN 0-387-94785-X .
^ Кричевер, И.М.; Новиков, СП (1987). «Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и структуры теории солитонов». Функц. Анальный. Приложение . 21 (2): 46–63. дои : 10.1007/BF01078026. S2CID 55989582.
^ Рабин, Дж. М. (1995). «Суперэллиптические кривые». Журнал геометрии и физики . 15 (3): 252–280. arXiv : hep-th/9302105 . Бибкод : 1995JGP....15..252R. дои : 10.1016/0393-0440(94)00012-С. S2CID 10921054.