Регулярная мера

В математике регулярная мера на топологическом пространстве — это мера , для которой каждое измеримое множество может быть аппроксимировано сверху открытыми измеримыми множествами, а снизу — компактными измеримыми множествами.

Определение

Пусть ( X ,  T ) — топологическое пространство, а Σ — σ-алгебра на X. Пусть μ — мера на ( X , Σ). Измеримое подмножество A из X называется внутренним регулярным, если

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (F)\mid F\subseteq A,F{\text{ compact and measurable}}\}}$

Это свойство иногда называют словами «аппроксимация изнутри компактными множествами». Некоторые авторы ^{[1] [2]} используют термин tight как синоним внутреннего регулярного. Такое использование термина тесно связано с плотностью семейства мер , поскольку конечная мера μ является внутренней регулярной тогда и только тогда , когда для всех ε > 0 существует некоторое компактное подмножество K из X такое, что μ ( X \ K ) <  ε . Это как раз и есть условие того, что синглетонный набор мер { μ } является плотным.

Говорят, что он внешне регулярен, если

${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)\mid G\supseteq A,G{\text{ open and measurable}}\}}$

• Мера называется внутренней регулярной, если каждое измеримое множество является внутренним регулярным. Некоторые авторы используют другое определение: мера называется внутренней регулярной, если каждое открытое измеримое множество является внутренним регулярным.
• Мера называется внешне регулярной, если каждое измеримое множество является внешне регулярным.
• Мера называется регулярной, если она является внешне регулярной и внутренне регулярной.

Примеры

Регулярные меры

• Мера Лебега на действительной прямой является регулярной мерой: см. теорему о регулярности для меры Лебега .
• Любая вероятностная мера Бэра на любом локально компактном σ-компактном хаусдорфовом пространстве является регулярной мерой.
• Любая борелевская вероятностная мера на локально компактном хаусдорфовом пространстве со счетной базой его топологии, или компактном метрическом пространстве, или пространстве Радона , является регулярной.

Внутренние регулярные меры, которые не являются внешними регулярными

• Примером меры на вещественной прямой с ее обычной топологией, которая не является внешне регулярной, является мера, где , , и для любого другого множества . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$ ${\displaystyle \mu \left(\{1\}\right)=0\,\,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty \,\,}$ ${\displaystyle A}$
• Мера Бореля на плоскости, которая присваивает любому множеству Бореля сумму (1-мерных) мер его горизонтальных сечений, является внутренней регулярной, но не внешней регулярной, поскольку каждое непустое открытое множество имеет бесконечную меру. Разновидностью этого примера является несвязное объединение несчетного числа копий действительной прямой с мерой Лебега.
• Пример меры Бореля на локально компактном хаусдорфовом пространстве, которая является внутренней регулярной, σ-конечной и локально конечной, но не внешней регулярной, приводится Бурбаки (2004, Глава IV, Упражнение 5 раздела 1) следующим образом. Топологическое пространство имеет в качестве базового множества подмножество действительной плоскости, заданное осью y вместе с точками (1/ n , m / n ² ) с m , n положительными целыми числами. Топология задается следующим образом. Отдельные точки (1/ n , m / n ² ) являются открытыми множествами. База окрестностей точки (0, y ) задается клиньями, состоящими из всех точек в X вида ( u , v ) с | v  −  y | ≤ | u | ≤ 1/ n для положительного целого числа n . Это пространство X локально компактно. Мера μ задается, если позволить оси y иметь меру 0, а точке (1/ n , m / n ² ) иметь меру 1/ n ^3. Эта мера является внутренней регулярной и локально конечной, но не является внешней регулярной, поскольку любое открытое множество, содержащее ось y , имеет меру бесконечности. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} }$

Внешние регулярные меры, которые не являются внутренними регулярными

• Если μ — внутренняя регулярная мера в предыдущем примере, а M — мера, заданная формулой M ( S ) = inf _{U ⊇ S}  μ ( U ), где inf берется по всем открытым множествам, содержащим борелевское множество S , то M — внешняя регулярная локально конечная борелевская мера на локально компактном хаусдорфовом пространстве, которая не является внутренней регулярной в сильном смысле, хотя все открытые множества являются внутренними регулярными, поэтому она является внутренней регулярной в слабом смысле. Меры M и μ совпадают на всех открытых множествах, всех компактных множествах и всех множествах, на которых M имеет конечную меру. Ось y имеет бесконечную M -меру, хотя все ее компактные подмножества имеют меру 0.
• Измеримый кардинал с дискретной топологией имеет вероятностную меру Бореля, такую, что каждое компактное подмножество имеет меру 0, поэтому эта мера является внешней регулярной, но не внутренней регулярной. Существование измеримых кардиналов не может быть доказано в теории множеств ZF, но (по состоянию на 2013 год) считается согласующимся с ней.

Меры, которые не являются ни внутренними, ни внешними регулярными

• Пространство всех ординалов, не превышающее первого несчетного ординала Ω, с топологией, порожденной открытыми интервалами, является компактным хаусдорфовым пространством. Мера, которая присваивает меру 1 борелевским множествам, содержащим неограниченное замкнутое подмножество счетных ординалов, и присваивает 0 другим борелевским множествам, является борелевской вероятностной мерой, которая не является ни внутренней регулярной, ни внешней регулярной.

Смотрите также

• Борелевская регулярная мера
• Радоновая мера
• Теорема регулярности для меры Лебега

Ссылки

1. Амброзио, Л., Джильи, Н. и Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер . Базель: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
2. Parthasarathy, KR (2005). Вероятностные меры на метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. МР 2169627

Библиография

• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Бурбаки, Николя (2004). Интеграция И. Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-41129-1.
• Parthasarathy, KR (2005). Вероятностные меры на метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. стр. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627 (см. главу 2)
• Дадли, Р. М. (1989). Действительный анализ и вероятность . Чепмен и Холл.