Внутриклассовая корреляция

Описательная статистика

Точечный график , показывающий набор данных с высокой внутриклассовой корреляцией. Ценности из одной и той же группы, как правило, схожи.

Точечный график , показывающий набор данных с низкой внутриклассовой корреляцией. Тенденция к сходству ценностей одной и той же группы очень незначительна.

В статистике внутриклассовая корреляция или коэффициент внутриклассовой корреляции ( ICC ) ^[1] представляет собой описательную статистику , которую можно использовать, когда количественные измерения проводятся на единицах, которые организованы в группы. Он описывает, насколько сильно единицы в одной группе похожи друг на друга. Хотя он рассматривается как тип корреляции , в отличие от большинства других показателей корреляции, он работает с данными, структурированными как группы, а не с данными, структурированными как парные наблюдения.

Внутриклассовая корреляция обычно используется для количественной оценки степени, в которой люди с фиксированной степенью родства (например, полные братья и сестры) похожи друг на друга с точки зрения количественного признака (см. Наследственность ). Еще одним известным применением является оценка последовательности или воспроизводимости количественных измерений, выполненных разными наблюдателями, измеряющими одну и ту же величину.

Раннее определение ICC: беспристрастная, но сложная формула

Самая ранняя работа по внутриклассовым корреляциям была сосредоточена на случае парных измерений, и первой предложенной статистикой внутриклассовой корреляции (ICC) были модификации межклассовой корреляции (корреляция Пирсона).

Рассмотрим набор данных, состоящий из N парных значений данных ( x _{n ,1} ,  x _{n ,2} ) для n  = 1, ..., N . Внутриклассовая корреляция r , первоначально предложенная ^[2] Рональдом Фишером ^[3] :

${\displaystyle r={\frac {1}{Ns^{2}}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,2}-{\bar {x}}),}$

где

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}+x_{n,2}),}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{2N}}\left\{\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,2}-{\bar {x}})^{2}\right\}.}$

Более поздние версии этой статистики ^[3] использовали степени свободы 2 N  −1 в знаменателе для вычисления s ² и N  −1 в знаменателе для вычисления r , так что s ² становится несмещённым, а r становится несмещённым, если s известно. .

Ключевое различие между этой ICC и межклассовой корреляцией (Пирсона) заключается в том, что данные объединяются для оценки среднего значения и дисперсии. Причина этого в том, что в ситуации, когда желательна внутриклассовая корреляция, пары считаются неупорядоченными. Например, если мы изучаем сходство близнецов, обычно не существует значимого способа упорядочить значения для двух людей в паре близнецов. Как и межклассовая корреляция, внутриклассовая корреляция для парных данных будет ограничена интервалом [  -1, +1].

Внутриклассовая корреляция также определяется для наборов данных с группами, имеющими более двух значений. Для групп, состоящих из трех значений, оно определяется как ^[3]

${\displaystyle r={\frac {1}{3Ns^{2}}}\sum _{n=1}^{N}\left\{(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,2}-{\bar {x}})+(x_{n,1}-{\bar {x}})(x_{n,3}-{\bar {x}})+(x_{n,2}-{\bar {x}})(x_{n,3}-{\bar {x}})\right\},}$

где

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{3N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}+x_{n,2}+x_{n,3}),}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{3N}}\left\{\sum _{n=1}^{N}(x_{n,1}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,2}-{\bar {x}})^{2}+\sum _{n=1}^{N}(x_{n,3}-{\bar {x}})^{2}\right\}.}$

По мере роста количества элементов в группе растет и количество членов перекрестного произведения в этом выражении. Проще вычислить следующую эквивалентную форму:

${\displaystyle r={\frac {K}{K-1}}\cdot {\frac {N^{-1}\sum _{n=1}^{N}({\bar {x}}_{n}-{\bar {x}})^{2}}{s^{2}}}-{\frac {1}{K-1}},}$

где K — количество значений данных на группу, а — выборочное среднее n- ^й группы. ^[3] Эту форму обычно приписывают Харрису . ^[4] Левый член неотрицательен; следовательно, внутриклассовая корреляция должна удовлетворять ${\displaystyle {\bar {x}}_{n}}$

${\displaystyle r\geq {\frac {-1}{K-1}}.}$

Для больших K этот ICC почти равен

${\displaystyle {\frac {N^{-1}\sum _{n=1}^{N}({\bar {x}}_{n}-{\bar {x}})^{2}}{s^{2}}},}$

которую можно интерпретировать как долю общей дисперсии, обусловленную различиями между группами. Рональд Фишер в своей классической книге «Статистические методы для научных работников» посвятил целую главу внутриклассовой корреляции . ^[3]

Для данных из популяции, которая полностью зашумлена, формула Фишера дает значения ICC, которые распределены около 0, т.е. иногда являются отрицательными. Это связано с тем, что Фишер разработал формулу как несмещенную, и поэтому ее оценки иногда завышаются, а иногда занижаются. Для небольших или нулевых базовых значений в генеральной совокупности ICC, рассчитанный на основе выборки, может быть отрицательным.

Современные определения ICC: более простая формула, но положительная предвзятость

Начиная с Рональда Фишера, внутриклассовая корреляция рассматривалась в рамках дисперсионного анализа (ANOVA), а в последнее время – в рамках моделей случайных эффектов . Был предложен ряд оценок ICC. Большинство оценок можно определить в терминах модели случайных эффектов.

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\alpha _{j}+\varepsilon _{ij},}$

где Y _ij — i ^- е наблюдение в j ^-й группе, μ — ненаблюдаемое общее среднее значение , α _j — ненаблюдаемый случайный эффект, общий для всех значений в группе j , а ε _ij — ненаблюдаемый шумовой член. ^[5] Для идентификации модели предполагается, что α _j и ε _ij имеют нулевое ожидаемое значение и не коррелируют друг с другом. Кроме того, предполагается, что α _j одинаково распределены, а ε _ij считаются одинаково распределенными. Дисперсия α _j обозначается σ²
_αа дисперсия ε _ij обозначается σ²
_е.

Популяционный ICC в этой системе равен ^[6]

${\displaystyle {\frac {\sigma _{\alpha }^{2}}{\sigma _{\alpha }^{2}+\sigma _{\varepsilon }^{2}}}.}$

В этой схеме ICC представляет собой корреляцию двух наблюдений из одной группы.

[Доказательство]

Для модели односторонних случайных эффектов:

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\epsilon _{ij}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\sim N(0,\sigma _{\alpha }^{2})}$, , s и s независимы и s независимы от s. ${\displaystyle \epsilon _{ij}\sim N(0,\sigma _{\varepsilon }^{2})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \epsilon _{ij}}$

Дисперсия любого наблюдения равна: Ковариация двух наблюдений из одной и той же группы (для ) равна: ^[7] ${\displaystyle Var(Y_{ij})=\sigma _{\varepsilon }^{2}+\sigma _{\alpha }^{2}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\neq k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Cov}}(Y_{ij},Y_{ik})&={\text{Cov}}(\mu +\alpha _{i}+\epsilon _{ij},\mu +\alpha _{i}+\epsilon _{ik})\\&={\text{Cov}}(\alpha _{i}+\epsilon _{ij},\alpha _{i}+\epsilon _{ik})\\&={\text{Cov}}(\alpha _{i},\alpha _{i})+2{\text{Cov}}(\alpha _{i},\epsilon _{ik})+{\text{Cov}}(\epsilon _{ij},\epsilon _{ik})\\&={\text{Cov}}(\alpha _{i},\alpha _{i})\\&={\text{Var}}(\alpha _{i})\\&=\sigma _{\alpha }^{2}.\\\end{aligned}}}$

При этом мы использовали свойства ковариации .

Складываем вместе, получаем: ${\displaystyle {\text{Cor}}(Y_{ij},Y_{ik})={\frac {{\text{Cov}}(Y_{ij},Y_{ik})}{\sqrt {Var(Y_{ij})Var(Y_{ik})}}}={\frac {\sigma _{\alpha }^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}+\sigma _{\alpha }^{2}}}}$

Преимущество этой структуры ANOVA заключается в том, что разные группы могут иметь разное количество значений данных, что сложно обработать с использованием более ранней статистики ICC. Этот ICC всегда неотрицательен, что позволяет интерпретировать его как долю общей дисперсии «между группами». Этот ICC можно обобщить, чтобы учесть ковариатные эффекты, и в этом случае ICC интерпретируется как фиксирующий сходство внутри класса значений данных с поправкой на ковариат. ^[8]

Это выражение никогда не может быть отрицательным (в отличие от исходной формулы Фишера), и поэтому в выборках из популяции, у которой ICC равен 0, ICC в выборках будет выше, чем ICC популяции.

Был предложен ряд различных статистических данных ICC, не все из которых оценивают один и тот же параметр населения. Были серьезные споры о том, какая статистика ICC подходит для конкретного использования, поскольку они могут давать совершенно разные результаты для одних и тех же данных. ^{[9] [10]}

Связь с коэффициентом корреляции Пирсона

По своей алгебраической форме первоначальный ICC Фишера больше всего напоминает коэффициент корреляции Пирсона . Одно ключевое различие между этими двумя статистическими данными заключается в том, что в ICC данные центрируются и масштабируются с использованием объединенного среднего и стандартного отклонения, тогда как в корреляции Пирсона каждая переменная центрируется и масштабируется по своему собственному среднему и стандартному отклонению. Такое объединенное масштабирование для ICC имеет смысл, поскольку все измерения имеют одинаковую величину (хотя и для единиц в разных группах). Например, в парном наборе данных, где каждая «пара» представляет собой одно измерение, выполненное для каждой из двух единиц (например, взвешивание каждого близнеца в паре однояйцевых близнецов), а не два разных измерения для одной единицы (например, измерение роста и вес для каждого человека), ICC является более естественным показателем связи, чем корреляция Пирсона.

Важным свойством корреляции Пирсона является то, что она инвариантна к применению отдельных линейных преобразований к двум сравниваемым переменным. Таким образом, если мы соотносим X и Y , где, скажем, Y  = 2 X  + 1, корреляция Пирсона между X и Y равна 1 — идеальная корреляция. Это свойство не имеет смысла для ICC, поскольку нет основы для принятия решения о том, какое преобразование применить к каждому значению в группе. Однако если все данные во всех группах подвергнуть одному и тому же линейному преобразованию, ICC не изменится.

Использование при оценке соответствия среди наблюдателей.

ICC используется для оценки последовательности или соответствия измерений, выполненных несколькими наблюдателями, измеряющими одну и ту же величину. ^[11] Например, если нескольких врачей попросят оценить результаты компьютерной томографии на наличие признаков прогрессирования рака, мы можем спросить, насколько эти оценки согласуются друг с другом. Если правда известна (например, если компьютерная томография проводилась на пациентах, которые впоследствии перенесли диагностическую операцию), то основное внимание обычно будет уделяться тому, насколько оценки врачей соответствуют истине. Если истина неизвестна, мы можем рассматривать только сходство результатов. Важным аспектом этой проблемы является то, что существует вариабельность как между наблюдателями , так и внутри наблюдателя. Вариабельность между наблюдателями относится к систематическим различиям между наблюдателями — например, один врач может постоянно относить пациентов к более высокому уровню риска, чем другие врачи. Вариабельность внутри наблюдателя относится к отклонениям оценки конкретного наблюдателя у конкретного пациента, которые не являются частью систематической разницы.

ICC создан для применения к взаимозаменяемым измерениям, то есть сгруппированным данным, в которых нет значимого способа упорядочить измерения внутри группы. Если при оценке соответствия среди наблюдателей одни и те же наблюдатели оценивают каждый изучаемый элемент, то, вероятно, будут существовать систематические различия между наблюдателями, что противоречит идее взаимозаменяемости. Если ICC используется в ситуации, когда существуют систематические различия, результатом является составная мера изменчивости внутри и между наблюдателями. Одной из ситуаций, когда разумно можно предположить, что взаимозаменяемость сохраняется, является ситуация, когда образец, подлежащий оценке, скажем, образец крови, делится на несколько аликвот, и эти аликвоты измеряются отдельно на одном и том же приборе. В этом случае возможность замены будет сохраняться до тех пор, пока не будет наблюдаться влияние последовательности анализа проб.

Поскольку коэффициент внутриклассовой корреляции представляет собой совокупность изменчивости внутри наблюдателя и между наблюдателями, его результаты иногда считаются трудными для интерпретации, когда наблюдатели не взаимозаменяемы. Альтернативные меры, такие как статистика каппы Коэна , каппа Флейса и коэффициент корреляции согласия ^[12], были предложены как более подходящие меры согласия между необменяемыми наблюдателями.

Расчет в пакетах программ

Различные определения коэффициента внутриклассовой корреляции применялись к трем сценариям согласия между наблюдателями.

ICC поддерживается в пакете программного обеспечения с открытым исходным кодом R (с использованием функции «icc» в пакетах psy или irr или через функцию «ICC» в пакете psych.) Пакет rptR ^[13] предоставляет методы оценки ICC. и повторяемость для данных с гауссовым, биномиальным и пуассоновским распределением в рамках смешанной модели. Примечательно, что пакет позволяет оценивать скорректированный ICC (т. е. контролировать другие переменные) и вычисляет доверительные интервалы на основе параметрической начальной загрузки и значимости на основе перестановки остатков. Коммерческое программное обеспечение также поддерживает ICC, например Stata или SPSS ^[14].

Три модели:

• Односторонние случайные эффекты: каждый испытуемый оценивается разными наборами из k случайно выбранных оценщиков;
• Двусторонняя случайность: случайным образом выбираются k оценщиков, затем каждый испытуемый оценивается одним и тем же набором k оценщиков;
• Двустороннее смешанное: определены k фиксированных оценщиков. Каждый предмет оценивается k оценщиками.

Количество измерений:

• Одиночные измерения: даже если в эксперименте проводится более одного измерения, надежность применяется к контексту, где будет выполняться одно измерение одного оценщика;
• Средние показатели: надежность применяется к контексту, где показатели k оценщиков будут усредняться по каждому предмету.

Последовательность или абсолютное согласие:

• Абсолютное согласие: представляет интерес согласие между двумя оценщиками, включая систематические ошибки обоих оценщиков и случайные остаточные ошибки;
• Согласованность: в контексте повторных измерений одним и тем же оценщиком систематические ошибки оценщика аннулируются и сохраняется только случайная остаточная ошибка.

Согласованность ICC не может быть оценена в модели односторонних случайных эффектов, поскольку нет способа разделить межэкспертные и остаточные дисперсии.

Обзор и повторный анализ трех моделей для отдельных показателей ICC с альтернативным рецептом их использования также были представлены Liljequist et al. (2019). ^[18]

Интерпретация

Cicchetti (1994) ^[19] дает следующие часто цитируемые рекомендации по интерпретации показателей межоценочного соглашения каппа или ICC:

• Менее 0,40 – плохо.
• Между 0,40 и 0,59 — удовлетворительно.
• Между 0,60 и 0,74 — хорошо.
• Между 0,75 и 1,00 — отлично.

Другое руководство дано Ку и Ли (2016): ^[20]

• ниже 0,50: плохо
• от 0,50 до 0,75: умеренный
• от 0,75 до 0,90: хорошо
• выше 0,90: отлично

Смотрите также

• Коэффициент корреляции
• Эффект дизайна
• Размер эффекта#Эта-квадрат (η2)

Рекомендации

1. Кох Г.Г. (1982). «Коэффициент внутриклассовой корреляции». В Сэмюэле Коце и Нормане Л. Джонсоне (ред.). Энциклопедия статистических наук . Том. 4. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . стр. 213–217.
2. Бартко Дж. Дж. (август 1966 г.). «Коэффициент внутриклассовой корреляции как мера надежности». Психологические отчеты . 19 (1): 3–11. дои : 10.2466/pr0.1966.19.1.3. PMID  5942109. S2CID  145480729.
3. Фишер Р.А. (1954). Статистические методы для научных работников (Двенадцатое изд.). Эдинбург : Оливер и Бойд . ISBN 978-0-05-002170-5.
4. Харрис Дж. А. (октябрь 1913 г.). «О расчете внутриклассовых и межклассовых коэффициентов корреляции по классовым моментам при большом числе возможных комбинаций». Биометрика . 9 (3/4): 446–472. дои : 10.1093/biomet/9.3-4.446. JSTOR  2331901.
5. Доннер А., Коваль Дж. Дж. (март 1980 г.). «Оценка внутриклассовой корреляции при анализе семейных данных». Биометрия . 36 (1): 19–25. дои : 10.2307/2530491. JSTOR  2530491. PMID  7370372.
6. Доказательство того, что ICC в модели anova представляет собой корреляцию двух элементов: ocram [1], Понимание коэффициента внутриклассовой корреляции, URL (версия: 5 декабря 2012 г.): [2]
7. dsaxton (https://stats.stackexchange.com/users/78861/dsaxton), Модель случайных эффектов: наблюдения с одного и того же уровня имеют ковариацию $\sigma^2$?, ссылка URL (версия: 22 марта 2016 г.)
8. Стэниш В., Тейлор Н. (1983). «Оценка коэффициента внутриклассовой корреляции для анализа ковариационной модели». Американский статистик . 37 (3): 221–224. дои : 10.2307/2683375. JSTOR  2683375.
9. Мюллер Р., Бюттнер П. (декабрь 1994 г.). «Критическое обсуждение коэффициентов внутриклассовой корреляции». Статистика в медицине . 13 (23–24): 2465–76. дои : 10.1002/sim.4780132310. ПМИД  7701147.См. также комментарий:
   • Варга П. (1997). "Письмо редактору". Статистика в медицине . 16 (7): 821–823. doi :10.1002/(SICI)1097-0258(19970415)16:7<821::AID-SIM558>3.0.CO;2-B. ПМИД  9131768.
10. МакГроу КО, Вонг С.П. (1996). «Формирование выводов о некоторых коэффициентах внутриклассовой корреляции». Психологические методы . 1 : 30–46. дои : 10.1037/1082-989X.1.1.30.В статье есть несколько ошибок:
    • Макгроу, нокаут, Вонг С.П. (1996). «Исправление МакГроу и Вонга (1996)». Психологические методы . 1 (4): 390. дои : 10.1037/1082-989x.1.4.390.
11. Shrout PE, Fleiss JL (март 1979 г.). «Внутриклассовые корреляции: использование при оценке надежности оценщика». Психологический вестник . 86 (2): 420–8. дои : 10.1037/0033-2909.86.2.420. ПМИД  18839484.
12. Никерсон, Калифорния (декабрь 1997 г.). «Заметка о «Коэффициенте корреляции согласия для оценки воспроизводимости»". Биометрия . 53 (4): 1503–1507. doi : 10.2307/2533516. JSTOR  2533516.
13. Стоффель М.А., Накагава С., Шилзет Дж. (2017). «rptR: оценка повторяемости и разложение дисперсии с помощью обобщенных линейных моделей смешанных эффектов». Методы экологии и эволюции . 8 (11): 1639–1644. дои : 10.1111/2041-210x.12797 . ISSN  2041-210Х.
14. МакЛеннан Р.Н. (ноябрь 1993 г.). «Надежность Interrater с SPSS для Windows 5.0». Американский статистик . 47 (4): 292–296. дои : 10.2307/2685289. JSTOR  2685289.
15. МакГроу КО, Вонг С.П. (1996). «Формирование выводов о некоторых коэффициентах внутриклассовой корреляции». Психологические методы . 1 (1): 30–40. дои : 10.1037/1082-989X.1.1.30.
16. Руководство пользователя Stata, выпуск 15 (PDF) . Колледж-Стейшн, Техас: Stata Press. 2017. С. 1101–1123. ISBN 978-1-59718-249-2.
17. Хауэлл, округ Колумбия. «Коэффициенты внутриклассовой корреляции» (PDF) .
18. Лильеквист Д., Эльфвинг Б., Скавберг Роалдсен К. (2019). «Внутриклассовая корреляция. Обсуждение и демонстрация основных особенностей». ПЛОС ОДИН . 14 (7): e0219854. дои : 10.1371/journal.pone.0219854 . ПМК 6645485 . ПМИД  31329615. 
19. Чикетти Д.В. (1994). «Руководящие принципы, критерии и практические правила оценки нормированных и стандартизированных инструментов оценки в психологии». Психологическая оценка . 6 (4): 284–290. дои : 10.1037/1040-3590.6.4.284.
20. Ку Т.К., Ли М.И. (июнь 2016 г.). «Руководство по выбору и представлению коэффициентов внутриклассовой корреляции для исследований надежности». Журнал хиропрактики медицины . 15 (2): 155–63. дои : 10.1016/j.jcm.2016.02.012. ПМЦ 4913118 . ПМИД  27330520. 

Другие

• Сравнение двух показателей коэффициента внутриклассовой корреляции

Внешние ссылки

• AgreeStat 360: облачный анализ надежности между экспертами, каппа Коэна, AC1/AC2 Гвета, альфа Криппендорфа, Бреннан-Предигер, обобщенная каппа Фляйсса, коэффициенты внутриклассовой корреляции.
• Полезный онлайн-инструмент, позволяющий рассчитывать различные типы ICC.