Волна любви

Горизонтально поляризованные поверхностные волны

Как работают волны любви

В эластодинамике волны Лява , названные в честь Августа Эдварда Хафа Лава , представляют собой горизонтально поляризованные поверхностные волны . Волна Лява является результатом интерференции множества сдвиговых волн ( S-волн ), направляемых упругим слоем, который с одной стороны приварен к упругому полупространству, а с другой — граничит с вакуумом. В сейсмологии волны Лява (также известные как Q-волны ( Q uer: по-немецки «боковой»)) представляют собой поверхностные сейсмические волны , которые вызывают горизонтальное смещение Земли во время землетрясения . Август Эдвард Хаф Лав математически предсказал существование волн Лява в 1911 году. Они образуют особый класс, отличающийся от других типов сейсмических волн , таких как P-волны и S-волны (обе объемные волны ) или волны Рэлея (другой тип поверхностных волн). Волны Лява распространяются с меньшей скоростью, чем P- или S-волны, но быстрее, чем волны Рэлея. Эти волны наблюдаются только тогда, когда над слоем/подслоями с высокой скоростью лежит слой с низкой скоростью.

Описание

Движение частиц волны Лява образует горизонтальную линию, перпендикулярную направлению распространения (т.е. являются поперечными волнами ). Двигаясь глубже в материал, движение может уменьшаться до «узла», а затем попеременно увеличиваться и уменьшаться по мере изучения более глубоких слоев частиц. Амплитуда , или максимальное движение частиц, часто быстро уменьшается с глубиной.

Поскольку волны Лява распространяются по поверхности Земли, сила (или амплитуда) волн уменьшается экспоненциально с глубиной землетрясения. Однако, учитывая их приуроченность к поверхности, их амплитуда затухает только как , где представляет собой расстояние, которое волна прошла от землетрясения. Поэтому поверхностные волны затухают медленнее с расстоянием, чем объемные волны, которые распространяются в трех измерениях. Крупные землетрясения могут генерировать волны Лява, которые несколько раз обходят Землю, прежде чем рассеяться. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$ ${\displaystyle r}$

Поскольку они затухают так медленно, волны Любви наиболее разрушительны за пределами непосредственной области очага или эпицентра землетрясения. Это то, что большинство людей чувствуют непосредственно во время землетрясения.

В прошлом часто считалось, что животные, такие как кошки и собаки, могут предсказывать землетрясение до того, как оно произойдет. Однако они просто более чувствительны к вибрациям земли, чем люди, и способны обнаруживать более тонкие волны тела, которые предшествуют волнам Лава, такие как P-волны и S-волны. ^[1]

Основная теория

Сохранение линейного импульса линейно-упругого материала можно записать как ^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )=\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}}$

где — вектор смещения , а — тензор жесткости . Волны Лява — это особое решение ( ), удовлетворяющее этой системе уравнений. Обычно мы используем декартову систему координат ( ), чтобы описать волны Лява. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle x,y,z}$

Рассмотрим изотропную линейную упругую среду, в которой упругие свойства являются функциями только координаты , т. е. параметры Ламе и плотность массы могут быть выражены как . Смещения, создаваемые волнами Лява, как функции времени ( ) имеют вид ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \lambda (z),\mu (z),\rho (z)}$ ${\displaystyle (u,v,w)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle u(x,y,z,t)=0~,~~v(x,y,z,t)={\hat {v}}(x,z,t)~,~~w(x,y,z,t)=0\,.}$

Следовательно, это антиплоские сдвиговые волны, перпендикулярные плоскости. Функцию можно выразить как суперпозицию гармонических волн с различными волновыми числами ( ) и частотами ( ). Рассмотрим одну гармоническую волну, т.е. ${\displaystyle (x,z)}$ ${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

где - мнимая единица , т.е. Напряжения , вызванные этими смещениями, равны ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle \sigma _{xx}=0~,~~\sigma _{yy}=0~,~~\sigma _{zz}=0~,~~\tau _{zx}=0~,~~\tau _{yz}=\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\,\exp[i(kx-\omega t)]~,~~\tau _{xy}=ik\mu (z)V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]\,.}$

Если подставить предполагаемые смещения в уравнения сохранения импульса, то получим упрощенное уравнение

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\right]=[k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)]\,V(k,z,\omega )\,.}$

Граничные условия для волны Лява таковы, что поверхностные натяжения на свободной поверхности должны быть равны нулю. Другое требование заключается в том, что компонент напряжения в слоистой среде должен быть непрерывным на границах раздела слоев. Чтобы преобразовать дифференциальное уравнение второго порядка в два уравнения первого порядка, мы выражаем этот компонент напряжения в виде ${\displaystyle (z=0)}$ ${\displaystyle \tau _{yz}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \tau _{yz}=T(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

чтобы получить уравнения сохранения импульса первого порядка

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1/\mu (z)\\k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}\,.}$

Приведенные выше уравнения описывают задачу собственных значений , чьи собственные функции решения могут быть найдены с помощью ряда численных методов . Другим распространенным и мощным подходом является метод матрицы пропагатора (также называемый подходом матрицанта). ^{[ необходима цитата ]}

Смотрите также

• Продольная волна
• Антиплоскостной сдвиг

Ссылки

• AEH Love, «Некоторые проблемы геодинамики», впервые опубликовано в 1911 году издательством Cambridge University Press и повторно опубликовано в 1967 году издательством Dover, Нью-Йорк, США. (Глава 11: Теория распространения сейсмических волн)

1. «Что такое сейсмология?». Мичиганский технологический университет. 2007. Получено 28 июля 2009 г.
2. Предполагается, что объемная сила равна нулю, и используется прямая тензорная нотация. Для других способов записи этих основных уравнений см. линейную упругость .